2016年江苏省南京市溧水区中考数学二模试卷(解析版)

2016年江苏省南京市溧水区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰
有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．（2分）计算（﹣3x）2的结果是（）
A．6x2B．﹣6x2C．9x2D．﹣9x2
3．（2分）若△ABC∽△A′B′C′，AB＝2，A′B′＝4，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）
A．1：2B．2：1C．1：4D．4：1
4．（2分）无理数a满足：2＜a＜3，那么a可能是（）
A．B．C．2.5D．
5．（2分）把如图中的三棱柱展开，所得到的展开图是（）
A．B．
C．D．
6．（2分）如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，4）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直
接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）﹣5的绝对值是，4的算术平方根是．
8．（2分）新亚欧大陆桥东起太平洋西岸中国连云港，西达大西洋东岸荷兰鹿特丹等港口，横贯亚欧两大洲中部地带，总长约为10900公里，10900用科学记数法表示为．9．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．
10．（2分）某地区连续5天的最高气温（单位：℃）分别是30，33，24，29，24，这组数据的中位数是．
11．（2分）反比例函数y＝的图象过点P（2，6），那么k的值是．
12．（2分）如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线AF∥CD，则∠EAF的度数为°．
13．（2分）如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13cm，AB＝24cm，则CD＝cm．
14．（2分）已知圆心角为150°的扇形面积是15πcm2，则此扇形的半径为．15．（2分）小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买瓶甲饮料．
16．（2分）如图，抛物线C1是二次函数y＝x2﹣10x在第四象限的一段图象，它与x轴的交点是O、A1；将C1绕点A1旋转180°后得抛物线C2；它与x轴的另一交点为A2；再将抛物线C2绕A2点旋转180°后得抛物线C3，交x轴于点A3；如此反复进行下去…，若某段抛物线上有一点
P（2016，a），则a＝．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程：x2﹣3x﹣4＝0．
18．（6分）化简，求值：÷﹣1，其中a＝﹣．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，点F是AC上一点，连结BF，DF．
（1）证明：△ABF≌△ADF；
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．
20．（8分）甲、乙、丙三位歌手进入“我是歌手”冠、亚、季军决赛，他们通过抽签来决定演唱顺序，
（1）求甲第一位出场的概率；
（2）求甲比乙先出场的概率．
21．（8分）我区积极开展“体育大课间”活动，引导学生坚持体育锻炼，某校根据实际情
况，决定主要开设A：乒乓球，B：篮球，C：跑步．D：足球四种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调査，并将调查结果绘制成如下统计图．请你结合图中信息解答下列问题：
（1）求样本中最喜欢B项目的人数百分比和其所在扇形图中的圆心角的度数；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）已知该校有2000人，请根据样本估计全校最喜欢足球的人数是多少？
22．（8分）据报道，溧水到南京的轻轨将于2017年建成通车．通车前，客运汽车从溧水到南京南站的路程约为50km；通车后，轻轨从溧水到南京南站的路程比原来缩短5km．预计，轻轨的平均速度是客运汽车的平均速度的1.5倍，轻轨的运行时间比客运汽车的运行时间要缩短15min，试求轻轨的平均速度．
23．（8分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道L上确定点D，使CD与L垂直，测得CD的长等于24米，在L上点D 的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．
（1）求AB的长（结果保留根号）；
（2）已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41）
24．（8分）已知二次函数y＝x2+mx+m﹣5（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴一定有两公共点；
（2）若该二次函数的图象过点（0，﹣3），则将函数图象沿x轴怎样平移能使抛物线过原点？
25．（9分）某水电站兴建了一个最大蓄水容量为12万米3的蓄水池，并配有2个流量相同的进水口和1个出水口．某天从0时至12时，进行机组试运行．其中，0时至2时打开2个进水口进水；2时，关闭1个进水口减缓进水速度，至蓄水池中水量达到最大蓄水容量后，随即关闭另一个进水口，并打开出水口，直至12时蓄水池中的水放完为止．若这3个水口的水流都是匀速的，水池中的蓄水量y（万米3）与时间t（时）之间的关系如图所示，请根据图象解决下列问题：
（1）蓄水池中原有蓄水万米3，蓄水池达最大蓄水量12万米3的时间a的值为；
（2）求线段BC、CD所表示的y与t之间的函数关系式；
（3）蓄水池中蓄水量维持在m万米3以上（含m万米3）的时间有3小时，求m的值．
26．（10分）已知，如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．
（1）求证：AE＝BE；
（2）求证：FE是⊙O的切线；
（3）若FE＝4，FC＝2，求⊙O的半径及CG的长．
27．（9分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A＝70°，∠B＝80°．求∠C、∠D的度数．
（2）如图1，在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD为斜边AB边上的中线，过点D作DE⊥CD 交AC于点E，求证：四边形BCED是“等对角四边形”．
（3）如图2，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，CD平分∠ACB，点E在AC 上，且四边形CBDE为“等对角四边形”，则线段AE的长为．
2016年江苏省南京市溧水区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰
有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（2分）计算（﹣3x）2的结果是（）
A．6x2B．﹣6x2C．9x2D．﹣9x2
【解答】解：（﹣3x）2＝9x2，
故选：C．
3．（2分）若△ABC∽△A′B′C′，AB＝2，A′B′＝4，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）
A．1：2B．2：1C．1：4D．4：1
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为2：4＝1：2，
∴，
故选：C．
4．（2分）无理数a满足：2＜a＜3，那么a可能是（）
A．B．C．2.5D．
【解答】解：∵，，
∴无理数a可能是，
故选：B．
5．（2分）把如图中的三棱柱展开，所得到的展开图是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据两个全等的三角形，在侧面三个长方形的两侧，这样的图形围成的是三棱柱．
把图中的三棱柱展开，所得到的展开图是B．
故选：B．
6．（2分）如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，4）【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，
∵A（2，），
∴OC＝2，AC＝，
由勾股定理得，OA＝＝＝3，
∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，
∴OB＝2OC＝2×2＝4，
由旋转的性质得，BO′＝OB＝4，∠A′BO′＝∠ABO，
∴O′D＝4×＝，
BD＝4×＝，
∴OD＝OB+BD＝4+＝，
∴点O′的坐标为（，）．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直
接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）﹣5的绝对值是5，4的算术平方根是2．
【解答】解：﹣5的绝对值是5，4的算术平方根2，
故答案为：5，2．
8．（2分）新亚欧大陆桥东起太平洋西岸中国连云港，西达大西洋东岸荷兰鹿特丹等港口，横贯亚欧两大洲中部地带，总长约为10900公里，10900用科学记数法表示为 1.09×104．
【解答】解：10900＝1.09×104．
故答案为：1.09×104．
9．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥2．
【解答】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
10．（2分）某地区连续5天的最高气温（单位：℃）分别是30，33，24，29，24，这组数据的中位数是29．
【解答】解：数据从小到大排列为：24，24，29，30，33，
则最中间为：29，
故这组数据的中位数是：29．
故答案为：29．
11．（2分）反比例函数y＝的图象过点P（2，6），那么k的值是12．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象过点P（2，6），
∴k＝2×6＝12，
故答案为：12．
12．（2分）如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线AF∥CD，则∠EAF的度数为36°．
【解答】解：连接BE，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝108°，AB＝AE，
∴∠AEB＝∠ABE＝36°，
∵BE∥CD，AF∥CD，
∴BE∥AF，
∴∠F AE＝∠AEB＝36°．
故答案为：36．
13．（2分）如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13cm，AB＝24cm，则CD＝8cm．
【解答】解：由垂径定理，
AC＝AB＝12cm．
由半径相等，得
OA＝OD＝13cm．
由勾股定理，得
OC＝＝＝5．
由线段的和差，得
CD＝OD﹣OC＝13﹣5＝8cm，
故答案为：8．
14．（2分）已知圆心角为150°的扇形面积是15πcm2，则此扇形的半径为6cm．
【解答】解：∵扇形的圆心角为150°，它的面积为15πcm2，
∴设扇形的半径为：r，则：
15π＝，
解得：r＝6．
故答案为：6cm．
15．（2分）小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买3瓶甲饮料．
【解答】解：设小宏能买x瓶甲饮料，则可以买（10﹣x）瓶乙饮料，由题意得：
7x+4（10﹣x）≤50，
解得：x≤，
∵x为整数，
∴x＝0，1，2，3，
则小宏最多能买3瓶甲饮料．
故答案为：3．
16．（2分）如图，抛物线C1是二次函数y＝x2﹣10x在第四象限的一段图象，它与x轴的交点是O、A1；将C1绕点A1旋转180°后得抛物线C2；它与x轴的另一交点为A2；再将抛物线C2绕A2点旋转180°后得抛物线C3，交x轴于点A3；如此反复进行下去…，若某段抛物线上有一点
P（2016，a），则a＝24．
【解答】解：当y＝0时，x2﹣10x＝0，解得x1＝10，x2＝0，则A1（10，0）
所以OA1＝10，
所以A1A2＝A2A3＝10，
而2010＝10×201，
∴P（2016，a）在抛物线C202上，抛物线C202的开口向下，与x轴的两交点坐标为（2010，2020），
所以抛物线C202的解析式为y＝﹣（x﹣2010）（x﹣2020），
当x＝2016时，y＝﹣（2016﹣2010）（2016﹣2020）＝24，即a＝24．
故答案为24．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程：x2﹣3x﹣4＝0．
【解答】解：∵原方程可化为：（x+1）（x﹣4）＝0，
∴x+1＝0或x﹣4＝0，
解得，x1＝4，x2＝﹣1．
18．（6分）化简，求值：÷﹣1，其中a＝﹣．
【解答】解：原式＝•﹣1
＝﹣1
＝﹣．
当a＝﹣时，则原式＝﹣2．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，点F是AC上一点，连结BF，DF．
（1）证明：△ABF≌△ADF；
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．
【解答】（1）证明：在△ABC和△ADC中
∵，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABF和△ADF中
∵，
∴△ABF≌△ADF（SAS）；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠BAF＝∠ADC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝DC，
由（1）得：AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
20．（8分）甲、乙、丙三位歌手进入“我是歌手”冠、亚、季军决赛，他们通过抽签来决定演唱顺序，
（1）求甲第一位出场的概率；
（2）求甲比乙先出场的概率．
【解答】解：（1）∵甲、乙、丙三位歌手进入“我是歌手”冠、亚、季军决赛，
∴甲第一位出场的概率为；
（2）∵出场情况为：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲共6种情况，∴甲比乙先出场的情况有：甲乙丙，甲丙乙，丙甲乙，
∴甲比乙先出场的概率为：＝．
21．（8分）我区积极开展“体育大课间”活动，引导学生坚持体育锻炼，某校根据实际情况，决定主要开设A：乒乓球，B：篮球，C：跑步．D：足球四种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调査，并将调查结果绘制成如下统计图．请你结合图中信息解答下列问题：
（1）求样本中最喜欢B项目的人数百分比和其所在扇形图中的圆心角的度数；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）已知该校有2000人，请根据样本估计全校最喜欢足球的人数是多少？
【解答】解：（1）样本中最喜欢B项目的人数百分比是1﹣44%﹣28%﹣8%＝20%，
其所在扇形图中的圆心角的度数是20%×360°＝72°；
（2）总人数是8÷8%＝100（人），
B的人数是：100×20%＝20（人），
如图：
；
（3）根据题意得：
2000×28%＝560（人），
答：全校最喜欢足球的人数是560人．
22．（8分）据报道，溧水到南京的轻轨将于2017年建成通车．通车前，客运汽车从溧水到南京南站的路程约为50km；通车后，轻轨从溧水到南京南站的路程比原来缩短5km．预计，轻轨的平均速度是客运汽车的平均速度的1.5倍，轻轨的运行时间比客运汽车的运行时间要缩短15min，试求轻轨的平均速度．
【解答】解：设客运汽车的平均速度是xkm/h，
则轻轨的平均速度是1.5xkm/h．
根据题意，得：﹣＝，
解得：x＝80．
经检验，x＝80是原方程的解．
1.5x＝120；
答：轻轨的平均速度为120km/h．
23．（8分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道L上确定点D，使CD与L垂直，测得CD的长等于24米，在L上点D 的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．
（1）求AB的长（结果保留根号）；
（2）已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41）
【解答】解：（1）由題意得，
在Rt△ADC中，AD＝＝＝24≈36.33（米），
在Rt△BDC中，BD＝＝＝8，
则AB＝AD﹣BD＝16；
（2）超速．
理由：∵汽车从A到B用时2秒，
∴速度为16×1.73÷2＝13.84米/秒
13.84×3.6＝49.824千米/时＞45千米/小时．
∴此校车在AB路段超速．
24．（8分）已知二次函数y＝x2+mx+m﹣5（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴一定有两公共点；
（2）若该二次函数的图象过点（0，﹣3），则将函数图象沿x轴怎样平移能使抛物线过原点？【解答】解：（1）令y＝0得关于x的一元二次方程：x2+mx+m﹣5＝0，则△＝b2﹣4ac＝m2﹣4（m﹣5）＝m2﹣4m+20＝（m﹣2）2+16．
∵不论m为何值，（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+16＞0．
∴不论m为何值，一元二次方程x2+mx+m﹣5＝0一定有两个不相等的实数根，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴一定有两公共点．
（2）∵函数图象过点（0，﹣3），
∴m﹣5＝﹣3，m＝2，
∴二次函数表达式为y＝x2+2x﹣3，
∵令y＝0得：x2+2x﹣3＝0解得：x1＝1，x2＝﹣3．
∴函数的图象与x轴的两个交点为：（1，0）和（﹣3，0）．
∴将函数图象沿x轴向右平移3个单位或向左平移1个单位就能使抛物线过原点．25．（9分）某水电站兴建了一个最大蓄水容量为12万米3的蓄水池，并配有2个流量相同的进水口和1个出水口．某天从0时至12时，进行机组试运行．其中，0时至2时打开2个进水口进水；2时，关闭1个进水口减缓进水速度，至蓄水池中水量达到最大蓄水容量后，随即关闭另一个进水口，并打开出水口，直至12时蓄水池中的水放完为止．若这3个水口的水流都是匀速的，水池中的蓄水量y（万米3）与时间t（时）之间的关系如图所示，请根据图象解决下列问题：
（1）蓄水池中原有蓄水4万米3，蓄水池达最大蓄水量12万米3的时间a的值为6；（2）求线段BC、CD所表示的y与t之间的函数关系式；
（3）蓄水池中蓄水量维持在m万米3以上（含m万米3）的时间有3小时，求m的值．
【解答】解：（1）由图象可知，蓄水池中原有蓄水4万米3，蓄水池达最大蓄水量12万米3的时间a的值为：2+（12﹣8）÷（）＝6，
故答案为：4，6；
（2）∵B（2，8），C（6，12），设直线BC的函数关系式为y＝k1t+b1，
由题意，得
解得：
即直线BC所对应的函数关系式为y＝t+6（2≤t≤6），
∵C（6，12），D（12，0），设直线CD的函数关系式为y＝k2t+b2，
由题意，得
解得：
即直线CD所对应的函数关系式为y＝﹣2t+24（6≤t≤12）；
（3）设在BC上蓄水量达到m万米3的时间为t，则在CD上蓄水量达到m万米3的时间为（t+3）h，
由题意，得t+6＝﹣2（t+3）+24，
解得：t＝4，
∴当t＝4时，y＝4+6＝10
即m的值是10．
26．（10分）已知，如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．
（1）求证：AE＝BE；
（2）求证：FE是⊙O的切线；
（3）若FE＝4，FC＝2，求⊙O的半径及CG的长．
【解答】（1）证明：连接CE，如图1所示：
∵BC是直径，
∴∠BEC＝90°，
∴CE⊥AB；
又∵AC＝BC，
∴AE＝BE．
（2）证明：连接OE，如图2所示：
∵BE＝AE，OB＝OC，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，AC＝2OE＝6．
又∵EG⊥AC，
∴FE⊥OE，
∴FE是⊙O的切线．
（3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE2＝FC•FB．
设FC＝x，则有2FB＝16，
∴FB＝8，
∴BC＝FB﹣FC＝8﹣2＝6，
∴OB＝OC＝3，
即⊙O的半径为3；
∴OE＝3，
∵OE∥AC，
∴△FCG∽△FOE，
∴，
即，
解得：CG＝．
27．（9分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A＝70°，∠B＝80°．求∠C、∠D的度数．
（2）如图1，在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD为斜边AB边上的中线，过点D作DE⊥CD 交AC于点E，求证：四边形BCED是“等对角四边形”．
（3）如图2，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，CD平分∠ACB，点E在AC
上，且四边形CBDE为“等对角四边形”，则线段AE的长为1或．
【解答】（1）解：①若∠A＝∠C，∠B≠∠D，
则∠C＝70°，∠D＝360°﹣70°﹣70°﹣80°＝140°；
②若∠B＝∠D，∠A≠∠C，
则∠D＝80°，∠C＝360°﹣80°﹣80°﹣70°＝130°；
（2）证明：如图1，在Rt△ABC中，
∵CD为斜边AB边上的中线，
∴AD＝DB＝DC，
∴∠DCB＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB+∠ACD＝90°，
∴∠B+∠ACD＝90°．
∵DE⊥CD，
∴∠CED+∠ACD＝90°，
∴∠CED＝∠B，
且∠ECB≠∠EDB，
∴四边形BCED是“等对角四边形”；
（3）解：①若∠B＝∠DEC，∠BCE≠∠BDE，如图2．
在△CDE与△CDB中，
，
∴△CDE≌△CDB，
∴EC＝BC＝3，
∴AE＝AC﹣EC＝4﹣3＝1；
②若∠BCE＝∠BDE＝90°，∠B≠∠DEC，如图3．∵在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵CD平分∠ACB，
∴＝＝，
∴AD＝AB＝．
在△ADE与△ACB中，
，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，即＝，
∴AE＝．
综上所述，线段AE的长为1或．
故答案为1或．。