小学数学竞赛叁级教练员试卷参考答案

小学数学竞赛叁级教练员试卷参考答案
（1—10填空题，每题5分，11—20解答题，每题10分，共150分）
1．试在
71和61之间写出三个最简真分数：71< < < <6
1。

解：以下就是其中解答之一：6124425413226427428471=<<=<<=。

2．设A 表示一位数，四位数13AA 能被9整除，则A = 。

解：由条件知道，3+A +A +1=2A +4也能被9整除，其中A 是1到9的整数。

因此，2A +4只能等于9或18。

但当2A +4=9时，A 不是整数，不合题意。

所以，当 2A +4=18时，A =7。

3．一个六位数，它的各位数字之和是46，并且是13的倍数，这个六位数最大的是 。

解：各位数之和是46的最大六位数是999991，但它不是13的倍数。

再按数字之和是46依次减小，第一个能被13整除的数是999973，即为所求。

4．有两种糖水的质量相同，一种糖水中糖与水的质量比是1:5，另一种糖水中糖与水的质量比是1:4。

现将这两种糖水混合在一起，那么混合后的糖水中糖与水的质量比是 。

解：一种糖水中，糖的质量占糖水质量的
151+，水的质量占糖水质量的1
55+；另一种糖水中，糖的质量占糖水质量的141+，水的质量占糖水质量的144+。

混合后的糖水中糖与水的质量比是：
49:1130
49:3011)144155(:)141151(
==++++++。

5．小明一家是由小明和他爸爸、妈妈组成的三口之家，今年全家年龄之和是67岁，小明的爸爸比妈妈大2岁，6年前全家的年龄和是50岁。

今年他们三人的年龄分别是 。

解：由于六年前全家年龄和是67－6×3=49（岁），而题目中却说是50岁，相差了1岁。

这说明小明六年前的年龄是0岁。

所以，今年小明是6－1=5（岁）；爸爸是（67-5×2）÷2=32（岁）；妈妈是32－2=30（岁）。

6．某公路收费站对过往车辆的收费标准是：每辆大客车10元，每辆小客车6元，每辆小轿车3元。

某日通过该收费站的大客车与小客车的数量比是5:6，小客车与小轿车的数量比是4:7，共收取三种车辆路费470元，这一天共有 辆车通过该收费站。

解；因为大客车与小客车的数量比是5:6，小客车与小轿车的数量比是4:7，所以，大客车、小客车和小轿车的数量比为10:12:21。

所以三种车辆收取的过程费之比为：
(10×10):(6×12):(3×21)=100:72:63 。

则这一天通过该收费站的车辆共有：470÷（100+72+63）×（10+12+21）=86（辆）。

7．某班图书角的读物有诗歌、童话和故事书三类。

规定每人最多可以借阅两种读物。

则全班40名同学中，至少有 人从图书角借阅读物的种类相同。

解：每名同学从图书角借阅读物的情况只可能是以下七种情况里的一种：不借阅、借诗歌书、借童话书、借故事书、借诗歌和童话书、借诗歌和故事书、借童话和故事书。

由40÷7=5……5，5+1=6，可知，至少有6人从图书馆供阅读物的种类相同。

8．甲、乙两辆汽车同时从A 地出发，驶向B 地。

甲车每小时行60千米，乙车每小时行70千米。

与此同时，丙车也从B 地开出驶向A 地，每小时行80千米，丙车与乙车相遇后，又经过
2
1小时与甲车相遇。

那么A 、B 两地相距 千米。

解：设A 、B 两地相距x 千米，则 2180708060=+-+x x ，解得1050=x 。

则甲、乙两地相距1050千米。

9．如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，CE =4㎝。

则AEG S ∆= 。

解：连结AC ，则∠ACB =45°=∠EGB ，∴AC //EG ，82=⋅=
=∆∆EF CE S S CEG AEG （㎝2）
10．一个学习小组3名学生观察并测量一个长方体。

甲说：高增加2分米，它恰好是个正方体；乙说：长方体的前、后、左、右四个面的面积之和是96平方分米；丙说：它的底面周长是24分米。

则长方体的体积为 。

解：根据丙说：（长+宽）×2=24，得：长+宽=12。

根据乙说：（长×高+宽×高）×2=96，得：（长+宽）×高=48，12×高=48，高=4。

根据甲说：高+2=6，即4+2=6（分米），可知，长+宽=12，从而有 长=宽=6（分米）。

所以，这个长方体的体积为6×6×4=144（立方分米）。

11．某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元，但不超过300元，一律9折；（3）一次性购物超过300元，一律8折。

某人两次购物分别付款80元和252元。

若他将两次所购商品一次性购买，则应付款多少元？
解：252÷0.9+80=360(元)，360×0.8=288（元）；
或252÷0.8=315（元），（315+80）×0.8=316(元) 。

即他将两次所购商品一次性购买，则应付款288元或316元。

12．一架大磅秤少了一个20千克的秤砣，它只能称20千克以下或40千克以上的重量。

有甲、乙、丙三位同学体重都超过20千克，但又都少于40千克。

想一想，怎样才能称出每个人的体重？
解：先分别称出甲、乙体重和、甲、丙体重和以及乙、丙的体重和。

然后将它们相加再除以2，可以得到三个人的总重量。

然后用总重量减去甲、乙体重和可得到丙的体重；总重量减去甲、丙的体重和可得乙的体重；用总重量减去乙、丙体重和可得到甲的体重。

13．有一列数：1、1、3、5、11、21、43、85、171、341、683、1365、2371、…一共有2015个。

自第三个数开始，每个数是它往前数第二个数的2倍与往前数第一个数的和。

用7去除这2015个数，所得余数的和是多少？
解：将前面的一些数分别用7去除所得余数分别是：
1，1，3，5，4，0，1，1，3，5，4，0，1，…
可见，余数是周期现象，并且每隔6个循环一次，并且每组6个余数的和是：1+1+3+5+4+0=14，又2015=335×6+5，所以，2015个余数之和是14×335+1+1+3+5+4=4704 。

14．已知5|)20142013
(20142013b a +++，并且20≤≤a ，31≤≤b 。

求a 、b 。

解：考察 b a ++2014201320142013
及的个位。

n 2013的个位： 当14+=k n 时，个位是3；当24+=k n 时，个位是9；当34+=k n 时，个位是7；当k n 4=时，个位是1。

m 2014的个位：当12+=l m 时，个位是4；当l m 2=时，个位是6。

（1）当24+=k n 且l m 2=时，5|)20142013(m
n +，由于20≤≤a ，31≤≤b ，此时，2,1==b a 符合条件。

（2）当k n 4=且12+=l m 时，5|)20142013(m
n +，此时符合条件的b a ,不存在。

综上可得，2,1==b a 即为所求。

15．某小岛上住着的居民分为君子和小人两种。

君子只说真话，小人只说假话。

在一次调查中，一部分居民声称：“岛上的君子数是偶数。

”而剩下的另一部分居民则说：“岛上的小人数是个奇数。

”请问该岛上的居民数可否为2015？并说明理由。

解：该岛上的居民数不可能为2015。

理由如下：
若“君子数是偶数”为真，“小人数是奇数”必为假，则总人数为偶数；
若“君子数是偶数”为假，“小人数是奇数”必为真，则总人数为偶数。

因此，岛上居民数一定是偶数，不可能为2015。

16．甲、乙、丙、丁四人平均植树40多棵，甲植树的棵树是乙的
43，乙植树的棵树是丙的6
7，丁比甲多植4棵，那么丁植树多少棵？四人平均植树多少棵？ 解：设甲、乙、丙、丁四人植树的棵数分别是1x 、2x 、3x 、4x 。

由四人平均植树40多棵，可知 4504404321⨯<+++<⨯x x x x 。

又 ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=-==4674314322
1x x x x x x ， ∴20043
476341601111<++⋅++<x x x x ， ∴68.4485.341<<x 。

又∵1x 必须是整数，且3|1x ，7|1x ，
∴1x =42（棵）。

∴2x =3442⨯=56（棵），3x =487
656=⨯（棵），4x =42+4=46（棵）。

∴四人平均植树棵树是（42+56+48+46）÷4=48（棵）。

即丁植树46棵，四人平均植树48棵。

17．如图，大正方形的面积是1平方厘米，其它各点都是所
在边
的中点。

求阴影三角形的面积。

解：设图中最小正方形边长为a ，则阴影面积为 228
322121212121a a a a a a =⨯⨯⨯-⨯⨯-。

因为，最大正方形面积为1平方厘米，则依次正方形面积分别为2
1平方厘米、
4
1平方厘米。

所以，阴影部分面积 为3234183832=⨯=a =0.09375(平方厘米)。

18．用边长分别为1分米、2分米、3分米三种型号的正方形瓷砖正好铺满边长23米的正方形地面，至少要用这三种型号的瓷砖多少块？（瓷砖不能切割）
解：23米=230分米，230÷3=76……2，230÷2=115。

由此可知所用三种型号瓷砖为：
3×3的瓷砖76×76=5776（块），2×2的瓷砖115×2-1=229（块），1×1的瓷砖0块。

至少要用三种型号瓷砖为：5776+229=6005（块）。

19．有20个1升的容器，分别盛有1、2、3、…、20毫升水。

每次操作可由盛水多的A 容器向盛水少的B容器注水，注水量恰好是B容器原有的水量。

问经过若干次操作，能否使其中11个容器中各有11毫升水？
解：不能。

理由如下：
设A容器的水量为a，B容器的水量为b，注水前后两容器的水量和相等，即注水前注水后
A容器B容器A容器B容器
a+ b= (a－b) + 2b
奇奇偶偶
奇偶奇偶
偶奇奇偶
偶偶偶偶
由此可见，每次操作后的水量为奇数的容器数不会增加。

由于初始状态只有10个水量为奇数的容器。

经过若干次操作后，水量为奇数的容器不会多于10个，因而也不会有11个容器中各有11毫升的水。

20．有两个形状和大小都一样的长方体，老师让同学们将这两个长方体拼成一个大的长方体，然后计算这个大长方体12条棱长的和。

由于拼法不同，结果甲、乙、丙三个小朋友算得答案分别为2003厘米、2004厘米和2005厘米。

那么原来小长方体中最短的一条棱的长度是多少厘米？
解：设原小方体长、宽、高分别为a、b、c(厘米)（其中a>b>c）。

每当两个小长方体拼成一个大长方体时，原小长方体的8条棱长将在拼成的大长方体中消失，导致拼成的大长方体棱长和分别减少4(a+b)、4(a+c)、4(b+c),从而得出以下方程：
2×4×(a+b+c)－4(a+b)=2003 ①
2×4×(a+b+c)－4(a+c)=2004 ②
2×4×(a+b+c)－4(b+c)=2005 ③
化简①得4a+4b+8c=2003 ④
化简②得4a+8b+4c=2004 ⑤
化简③得8a+4b+4c=2005 ⑥
④+⑤+⑥得
16a+16b+16c=2003+2004+2005
16(a+b+c)=6012
a+b+c=375.75 ⑦
将⑦代入①得
8×375.75-4(a+b)=2003
a+b=250.75 ⑧
将⑧代入⑦得c=125
即原小长方体中最短的一条棱的长度是125厘米。