2015-2016学年浙江省温州市高三(上)开学数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年浙江省温州市高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）设全集U＝R，A＝{x|x≤2，x∈R}，B＝{1，2，3，4}，则B∩∁U A＝（）A．{4}B．{3，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4} 2．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如下图所示，则四棱锥P﹣ABCD的体积为（）
A．B．C．1D．
3．（5分）在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，则“a＝b”是“sin A＝sin B”的（）A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n
B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
D．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
5．（5分）不等式的解集为（）
A．B．
C．D．
6．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
7．（5分）函数的图象为（）
A．B．
C．D．
8．（5分）设F1，F2是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（+）•＝0（O为坐标原点），且|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．+1
二、填空题：（本大题共7小题，多空题每空6分，单空题每题4分，共36分．）
9．（6分）计算：lg0.01+log327＝；三个数最大的是．10．（6分）已知，则函数f（x）的最小正周期为，＝．
11．（6分）已知函数f（x）＝，则f（f（4））＝，f（x）的最大值是．
12．（6分）已知数列{a n}是公比为q的单调递增的等比数列，且a1+a4＝9，a2a3＝8，则a1＝，q＝．
13．（4分）已知单位向量的夹角为，设，，则与夹角的大小为．
14．（4分）若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于3，则m的值为．
15．（4分）设大于0的实数x，y满足xy＝1，则的最大值为．三、解答题：（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知△ABC的面积
．
（Ⅰ）求sin A与cos A的值；
（Ⅱ）设，若tan C＝2，求λ的值．
17．（15分）已知数列{a n}的相邻两项a n，a n+1是关于x的方程的两实根，且a1＝1．
（Ⅰ）求a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）求证：数列是等比数列，并求数列{a n}的通项公式．
18．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，BC＝CD＝2AB＝2，△P AD 是等边三角形，M、N分别为BC、PD的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面P AB；
（Ⅱ）若平面ABCD⊥平面P AD，求直线MN与平面ABCD所成角的正切值．
19．（15分）如图，过抛物线上的一点Q与抛物线相切于A，B两点．若抛物线的焦点F1到抛物线的焦点F2的距离为（Ⅰ）求抛物线C1的方程；
（Ⅱ）求证：直线AB与抛物线C1相切于一点P．
20．（15分）设函数f（x）＝x2+（2a+1）x+a2+3a（a∈R）．
（I）若f（x）在[0，2]上的最大值为0，求a的值；
（II）若f（x）在闭区间[α，β]上单调，且{y|y＝f（x），α≤x≤β}＝[α，β]，求a的取值范围．
2015-2016学年浙江省温州市高三（上）开学数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．【解答】解：∵全集U＝R，A＝{x|x≤2，x∈R}，B＝{1，2，3，4}，∴∁U A＝{x|x＞2，x∈R}，
则B∩∁U A＝{3，4}，
故选：B．
2．【解答】解：∵四棱锥P﹣ABCD的三视图俯视图为正方形且边长为1正视图和侧视图的高为2，
故四棱锥P﹣ABCD的底面面积S＝1，高h＝2
故四棱锥P﹣ABCD的V＝•1•2＝
故选：B．
3．【解答】解：由正弦定理得，a＝2R sin A，b＝2R sin B，
故a＝b⇔2R sin A＝2R sin B⇔sin A＝sin B，
即“a＝b”是“sin A＝sin B”的充要条件．
故选：A．
4．【解答】解：A，若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m、n平行、相交、或异面，不正确；
B，α∥β，m⊂α，n⊂β，m，n共面时，m∥n，不正确；
C，m⊥α，n⊥β，m⊥n，利用平面与平面垂直的评定定理，可得α⊥β，正确；
D，m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α、β平行或相交，不正确．
故选：C．
5．【解答】解：不等式可化为：
或，
解得：x≤﹣或x＞3，
则原不等式的解集为．
故选：B．
6．【解答】解：∵＝sin（2x+）
＝sin（2x+）＝sin[2（x+）+]
∴要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位，
故选：D．
7．【解答】解：f（1）＝1，f（3）＝3﹣|3﹣|＝，f（）＝3﹣|﹣3|＝，∴f（3）＝f（）＜f（1），
故选：D．
8．【解答】解：取PF2的中点A，则＝2
∵（）•＝0，∴2•＝0
∴⊥
∵O是F1F2的中点
∴OA∥PF1，
∴PF1⊥PF2，
∵|PF1|＝|PF2|，
∴2a＝|PF1|﹣|PF2|＝（﹣1）|PF2|，
∵|PF1|2+|PF2|2＝4c2，
∴c＝|PF2|，
∴e＝＝＝
故选：D．
二、填空题：（本大题共7小题，多空题每空6分，单空题每题4分，共36分．）9．【解答】解：①lg0.01+log327＝lg10﹣2+＝﹣2+3＝1；
②2﹣3＝，＜＝2，log25＞log24＝2，因此最大的数是log25．
综上可得答案分别为：1；log25．
10．【解答】解：∵，
∴f（x）的最小正周期T＝＝π，
＝2sin（2×+）＝2sin＝．
故答案为：π；．
11．【解答】解：函数f（x）＝，可得f（4）＝1﹣＝﹣1，
f（f（4））＝f（﹣1）＝2﹣1＝，
当x≥0时，f（x）＝1﹣递减，即有f（x）≤1；
当x＜0时，f（x）＝2x∈（0，1）．
综上可得x＝0时，取得最大值1．
故答案为：，1．
12．【解答】解：∵a1+a4＝9，a2a3＝8，
∴，a1＞0，q＞1．
解得a1＝1，q＝2．
故答案分别为：1；2．
13．【解答】解：∵＝1，＝＝．∴＝•＝﹣6+2+＝﹣．
＝＝＝，
＝＝＝．设与夹角为θ，
则cosθ＝＝＝﹣，
∴θ＝．
故答案为：．
14．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域为三角形，
由，得，即A（2，0），
则A（2，0）在直线x﹣y+2m＝0的下方，
即2+2m＞0，
则m＞﹣1，
则A（2，0），D（﹣2m，0），
由，解得，即B（1﹣m，1+m），
由，解得，即C（，）．
则三角形ABC的面积S△ABC＝S△ADB﹣S△ADC
＝|AD||y B﹣y C|
＝（2+2m）（1+m﹣）
＝（1+m）（1+m﹣）＝3，
即（1+m）×＝3，
即（1+m）2＝9
解得m＝2或m＝﹣4（舍），
故答案为：2．
15．【解答】解：大于0的实数x，y满足xy＝1，
∴＝
＝＝＝
＝＝，
令t＝x+y，则x+y≥2＝2，
由函数z＝4t﹣在（2，+∞）单调递增可知
当t＝x+y＝2时，z＝4t﹣取最小7，
∴原式取最大值
故答案为：．
三、解答题：（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．【解答】（本题满分为14分）
解：（Ⅰ）由题意可得：，…（3分）所以解得：sin A+2cos A＝2，
又因为sin2A+cos2A＝1，
解方程组可得．…（8分）
（Ⅱ）∵tan C＝2，C为三角形的内角，
∴易得，…（10分）
∴…（12分）
∴．…（14分）
17．【解答】（Ⅰ）解：∵a n，a n+1是关于x的方程的两实根，∴，
∵a1＝1，
∴a2＝1，a3＝3，a4＝5．
（Ⅱ）证明：∵．故数列是首项为，公比为﹣1的等比数列．
∴，
即．
18．【解答】（I）证明：取PC中点Q，连接MQ，NQ．…（2分）∵M，Q分别是BC，PC的中点，
∴MQ∥BP，∴MQ∥平面P AB．…（4分）
同理可证：NQ∥CD∥AB，∴NQ∥平面P AB…（5分）
∴面NQM∥面P AB，得MN∥面P AB；…（7分）
（Ⅱ）解：过N作NO⊥AD，
∵平面ABCD⊥平面P AD，
∴NO⊥平面ABCD，
连接MO，则直线MN与平面ABCD所成的角为∠MNO…（10分）
在△MNO中，…（13分）
直线MN与平面ABCD所成角的正切值为．…（15分）
19．【解答】（I）解：设抛物线C1的焦点坐标为，…（2分）抛物线C2的焦点坐标为…（4分）
则…（5分）
所以抛物线C1的方程为：y＝x2．…（6分）
（II）证明：设点，
切线AQ的方程是：，因为AQ与抛物线相切，
则，
则，则k1＝﹣2x1，…（8分）
∴直线AQ的方程是：，
同理BQ的方程是：．…（9分）
联立可以得到：．…（11分）
而直线AB的方程是：y＝﹣（x1+x2）x+x1x2，即，…（13分）
联立，可以得到：，，
则直线AB与抛物线相切．…（15分）
20．【解答】解：（Ⅰ）当，即：时，．故a＝﹣6（舍去），或a＝﹣1；
当，即：时，．
故a＝0（舍去）或a＝﹣3．
综上得：a的取值为：a＝﹣1或a＝﹣3．（5分）
（Ⅱ）若f（x）在[α，β]上递增，则满足：（1）；（2），即方程f（x）＝x在，+∞）上有两个不相等的实根．
方程可化为x2+2ax+a2+3a＝0，设g（x）＝x2+2ax+a2+3a，
则，解得：．（5分）
若f（x）在[α，β]上递减，则满足：
（1）；（2）．
由得，两式相减得（α﹣β）（α+β）+（2a+1）（α﹣β）＝β﹣α，即α+β+2a+1＝﹣1．
即β＝﹣α﹣2a﹣2．
∴α2+（2a+1）α+a2+3a＝﹣α﹣2a﹣2，即α2+（2a+2）α+a2+5a+2＝0．
同理：β2+（2a+2）β+a2+5a+2＝0．
即方程x2+（2a+2）x+a2+5a+2＝0在上有两个不相等的实根．
设h（x）＝x2+（2a+2）x+a2+5a+2，则，解得：．（5
分）
综上所述：．。