2016-2017学年河南省新乡四校联考八年级下期末数学试卷含解析

2016-2017学年河南省新乡四校联考八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每题3分，共10题，30分）
1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x≥B．x＞C．x≥D．x＞
2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（）
A．B． C．D．
3．（3分）某公司10名职工5月份工资统计如下，该公司10名职工5月份工资的众数和中位数分别是（）
A．2400元、2400元B．2400元、2300元
C．2200元、2200元D．2200元、2300元
4．（3分）在本学期数学期中考中，某小组8名同学的成绩如下：90、103、105、105、105、115、140、140，则这组数据的众数为（）
A．105 B．90 C．140 D．50
5．（3分）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）
A．1.5，2，2. 5 B．3，4，5 C．5，12，13 D．20，30，40
6．（3分）已知一组数据x1，x2，x3，…，x n的方差是7，那么数据x1﹣5，x2﹣5，x3﹣5，…，x n﹣5的方差为（）
A．2 B．5 C．7 D．9
7．（3分）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（）
A．x＜B．x＜3 C．x＞D．x＞3
8．（3分）名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：cm ）如下表所示：
设两队队员身高的平均数依次为
甲
，
乙
，身高的方差依次为S
甲
2
，S
乙
2
，则下列关系中完全正确的是
（ ）
A ．
甲
=
乙
，S ＞S B ．甲
=
乙
，S ＜S
C ．
甲
＞
乙
，S
＞S
D ．
甲
＜
乙
，S
＜S
9．（3分）如图，在Rt △ABC 中，角A=90°，AB=3，AC=4，P 是BC 边上的一点，作PE 垂直AB ，PF 垂直AC ，垂足分别为E 、F ，则EF 的最小值是（ ）
A ．2
B ．2.2
C ．2.4
D ．2.5
10．（3分）小亮家与姥姥家相距24km ，小亮8：00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程S （km ）与北京时间t （时）的函数图象如图所示．根据图象得到小亮结论，其中错误的是（ ）
A ．小亮骑自行车的平均速度是12km/h
B ．妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家
C ．妈妈在距家12km 处追上小亮
D ．9：30妈妈追上小亮
二．填空（每题3分，共15分）
11．（3分）直角△ABC 中，∠BAC=90°，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，已知DF=3，则AE= ．
12．（3分）若点A（1，y1）和点B（2，y2）都在一次函数y=﹣x+2的图象上，则y1y2（选择“＞”、“＜”、=”填空）．
13．（3分）一直角三角形两条边长分别是12和5，则第三边长为．
14．（3分）如图，菱形ABCD周长为16，∠ADC=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．
二．解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）计算
（1）（+3﹣2）×2
（2）（﹣1）2+（+2）2﹣2（﹣1）（+2）
17．（9分）如图，已知在四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE=CF，BF=DE，求证：四边形ABCD是平行四边形．
18．（9分）现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．快
餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿．检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个，记录它们的质量（单位：g）如表所示．
根据表中数据，回答下列问题：
（1）甲厂抽取质量的中位数是g；乙厂抽取质量的众数是g．
（2）如果快餐公司决定从平均数和方差两方面考虑选购，现已知抽取乙厂的样本平均数
乙=75，方差S乙2≈1.86．请你帮助计算出抽取甲厂的样本平均数及方差（结果保留小数点后两位），并指出快餐公
司应选购哪家加工厂的鸡腿？
19．（9分）直线y=ax﹣1经过点（4，3），交y轴于点A．直线y=﹣0.5x+b交y轴于点B（0，1），且
与直线y=ax﹣1相交于点C．求△ABC的面积．
20．（9分）（1）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE．求证：AF=BE．
（2）如图2，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ，判
断MP与NQ是否相等？并说明理由．
21．（10分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，
延长交BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．
22．（10分）小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：
服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500，则甲种服装最多购进多少件？
（2）在（1）的条件下，该服装店在6月21日“父亲节”当天对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？23．（11分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
2016-2017学年河南省新乡四校联考八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共10题，30分）
1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x≥B．x＞C．x≥D．x＞
【解答】解：根据题意得：2x﹣3≥0，解得x≥．
故选：A．
2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（）
A．B． C．D．
【解答】解：A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、满足最简二次根式的定义，是最简二次根式；
C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，
故选：B．
3．（3分）某公司10名职工5月份工资统计如下，该公司10名职工5月份工资的众数和中位数分别是（）
A．2400元、2400元B．2400元、2300元
C．2200元、2200元D．2200元、2300元
【解答】解：∵2400出现了4次，出现的次数最多，
∴众数是2400；
∵共有10个数，
∴中位数是第5、6个数的平均数，
∴中位数是（2400+2400）÷2=2400；
故选：A．
4．（3分）在本学期数学期中考中，某小组8名同学的成绩如下：90、103、105、105、105、115、140、140，则这组数据的众数为（）
A．105 B．90 C．140 D．50
【解答】解：这组数据中105出现的次数最多，则众数为105．
故选：A．
5．（3分）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）
A．1.5，2，2.5 B．3，4，5 C．5，12，13 D．20，30，40
【解答】解：A、1.52+22=2.52，符合勾股定理的逆定理，故错误；
B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故错误；
C、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故错误；
D、202+302≠402，不符合勾股定理的逆定理，故正确．
故选：D．
6．（3分）已知一组数据x1，x2，x3，…，x n的方差是7，那么数据x1﹣5，x2﹣5，x3﹣5，…，x n﹣5的方差为（）
A．2 B．5 C．7 D．9
【解答】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都减去了5，则平均数变为﹣5，
则原来的方差S12= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]=7，
现在的方差S22= [（x1﹣5﹣+5）2+（x2﹣5﹣+5）2+…+（x n﹣5﹣+5）2]
= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]=7，
所以方差不变．
故选：C．
7．（3分）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（）
A ．x ＜
B ．x ＜3
C ．x ＞
D ．x ＞3
【解答】解：∵函数y=2x 和y=ax +4的图象相交于点A （m ，3）， ∴3=2m ， m=，
∴点A 的坐标是（，3），
∴不等式2x ＜ax +4的解集为x ＜； 故选：A ．
8．（3分）名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：cm ）如下表所示：
设两队队员身高的平均数依次为
甲
，
乙
，身高的方差依次为S
甲
2
，S
乙
2
，则下列关系中完全正确的是
（ ）
A ．
甲
=
乙
，S ＞S B ．甲
=
乙
，S ＜S
C ．
甲
＞
乙
，S
＞S
D ．
甲
＜
乙
，S
＜S
【解答】解：∵=（173+175+175+175+177）÷5=175（cm ），
=（170+171+175+179+180）÷5=175（cm ），
∴
=
，
∵S 2甲= [（173﹣175）2+3×（175﹣175）2+（175﹣177）2]=1.6，
S 2乙= [（170﹣175）2+（171﹣175）2+（175﹣175）2+（179﹣175）2+（180﹣175）2]=16.4， ∴S 2甲＜S 2乙， 故选：B ．
9．（3分）如图，在Rt △ABC 中，角A=90°，AB=3，AC=4，P 是BC 边上的一点，作PE 垂直AB ，PF 垂直AC ，垂足分别为E 、F ，则EF 的最小值是（ ）
A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
【解答】解：连接AP，
∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠BAC=∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，
在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AC=4，AB=3，由勾股定理得：BC=5，
由三角形面积公式得：×4×3=×5×AP，
∴AP=2.4，
即EF=2.4，
故选：C．
10．（3分）小亮家与姥姥家相距24km，小亮8：00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程S（km）与北京时间t（时）的函数图象如图所示．根据图象得到小亮结论，其中错误的是（）
A．小亮骑自行车的平均速度是12km/h
B．妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家
C．妈妈在距家12km处追上小亮
D．9：30妈妈追上小亮
【解答】解：A、根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8=2小时，
∴小亮骑自行车的平均速度为：24÷2=12（km/h），故正确；
B、由图象可得，妈妈到姥姥家对应的时间t=9.5，小亮到姥姥家对应的时间t=10，10﹣9.5=0.5（小时），∴妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家，故正确；
C、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，此时小亮离家的时间为9﹣8=1小时，
∴小亮走的路程为：1×12=12km，
∴妈妈在距家12km出追上小亮，故正确；
D、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，故错误；
故选：D．
二．填空（每题3分，共15分）
11．（3分）直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF=3，则AE=3．
【解答】解：如图，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分别为AB、AC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=BC．
又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，
∴AE=BC，
∵DF=3，
∴DF=AE．
故填：3．
12．（3分）若点A（1，y1）和点B（2，y2）都在一次函数y=﹣x+2的图象上，则y1＞y2（选择“＞”、“＜”、=”填空）．
【解答】解：∵k=﹣1＜0，
∴函数值y随x的增大而减小，
∵1＜2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
13．（3分）一直角三角形两条边长分别是12和5，则第三边长为13或．
【解答】解：①12和5均为直角边，则第三边为=13．
②12为斜边，5为直角边，则第三边为=．
故答案为：13或．
14．（3分）如图，菱形ABCD周长为16，∠ADC=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，
则PE+PB的最小值是2．
【解答】解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠ADC=×120°=60°，
∵AB=AD（菱形的邻边相等），
∴△ABD是等边三角形，
连接DE，∵B、D关于对角线AC对称，
∴DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE，
∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵菱形ABCD周长为16，
∴AD=16÷4=4，
∴DE=×4=2．
故答案为：2．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使
点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为或3．
【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5﹣3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4﹣x）2，解得x=，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
二．解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）计算
（1）（+3﹣2）×2
（2）（﹣1）2+（+2）2﹣2（﹣1）（+2）
【解答】（1）解：（+3﹣2）×2
=（+）×2
=6+6．
（2）解：（﹣1）2+（+2）2﹣2（﹣1）（+2）
=[（﹣1）﹣（+2）]2
=9
17．（9分）如图，已知在四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE=CF，BF=DE，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解答】证明：∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴AD=BC，∠ADE=∠CBF，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
18．（9分）现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．快
餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿．检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个，记录它们的质量（单位：g）如表所示．
根据表中数据，回答下列问题：
（1）甲厂抽取质量的中位数是75g；乙厂抽取质量的众数是75g．
（2）如果快餐公司决定从平均数和方差两方面考虑选购，现已知抽取乙厂的样本平均数
乙=75，方差S乙2≈1.86．请你帮助计算出抽取甲厂的样本平均数及方差（结果保留小数点后两位），并指出快餐公
司应选购哪家加工厂的鸡腿？
【解答】解：（1）甲厂处在中间位置的数为第8个，为75克，故甲厂质量中位数为75克；乙厂75克出现了6次，故乙厂众数为75克．故答案为75，75．
（2）根据=×[（73﹣75）2×2+（74﹣75）2×4+（75﹣75）2×4+（76﹣75）2×3+（77﹣75）2×1+（78﹣75）2×1）]≈1.87．
∵＞，
∴快餐公司应选购甲加工厂的鸡腿．
19．（9分）直线y=ax﹣1经过点（4，3），交y轴于点A．直线y=﹣0.5x+b交y轴于点B（0，1），且
与直线y=ax﹣1相交于点C．求△ABC的面积．
【解答】解：∵直线y=ax﹣1经过点（4，3），
∴4a﹣1=3，解得a=1，此直线解析式为y=x﹣1．
∵直线y=﹣0.5x+b交y轴于点B（0，1），
∴b=1，此直线解析式为y=﹣0.5x+1，
∴，
解得，
∴点C（，），
∴△ABC的面积=×（|1|+|﹣1|）×||=
20．（9分）（1）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE．求证：AF=BE．（2）如图2，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ，判断MP与NQ是否相等？并说明理由．
【解答】证明：（1）∵AF⊥BE
∴∠EAF+∠AEB=90°
又∵正方形ABCD，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠EAF=∠ABE，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF，
即AF=BE；
（2）MP与NQ相等，
理由：作AF∥PM，BE∥NQ，
∵正方形ABCD，
∴AM∥FP，BN∥EQ，
∴四边形AMPF和四边形BNQE都是平行四边形，
∴AF=MP，BE=NQ，
又∵MP⊥QN，
∴BE⊥AF，
∵（1）结论知AF=BE，
∴MP=NQ．
21．（10分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．
【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
又∵AG=AG，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴△ABG≌△AFG（HL）；
（2）∵△ABG≌△AFG，
∴BG=FG，
设BG=FG=x，则GC=6﹣x，
∵E为CD的中点，
∴CE=EF=DE=3，
∴EG=3+x，
∴在Rt△CEG中，32+（6﹣x）2=（3+x）2，解得x=2，
∴BG=2．
22．（10分）小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：
服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500，则甲种服装最多购进多少件？
（2）在（1）的条件下，该服装店在6月21日“父亲节”当天对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？【解答】解：（1）设购进甲种服装x件，由题意可知：
80x+60（100﹣x）≤7500，解得：x≤75．
答：甲种服装最多购进75件．
（2）设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以65≤x≤75，
w=（120﹣80﹣a）x+（90﹣60）（100﹣x）=（10﹣a）x+3000，
方案1：当0＜a＜10时，10﹣a＞0，w随x的增大而增大，
所以当x=75时，w有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件；
方案2：当a=10时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；
方案3：当10＜a＜20时，10﹣a＜0，w随x的增大而减少，
所以当x=65时，w有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件．
23．（11分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线
段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；
（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴PC=PE，
∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD，∴∠CPF=∠EDF
∵∠ABC=∠ADC=120°，
∴∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE；。