九年级数学上册第3章图形的相似3.13.4同步练习(新版)湘教版

3.1～3.4
一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)
1．下列各组线段中，不是成比例线段的是( )
A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4
B．a＝1，b＝2，d＝3，c＝ 6
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
D．a＝2，b＝5，d＝2 3，c＝15
2．在比例尺是1∶8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25 cm，它的实际长度约为( )
A．320 cm B．320 m C．2000 cm D．2000 m
3．如图3－G－1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则( )
A.AD
AB
＝
1
2
B.
AE
EC
＝
1
2
C.AD
EC
＝
1
2
D.
DE
BC
＝
1
2
图3－G－1
图3－G－2
.如图3－G－2，点P在△ABC的边AC上，要判定△ABP∽△ACB，需添加一个条件，不正确的是( )
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC
C.AP
AB
＝
AB
AC
D.
AB
BP
＝
AC
CB
5．如图3－G－3①、②中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图②中AB，CD交于点O，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是( )
图3－G－3
A．都相似 B．都不相似
C．只有①相似 D．只有②相似
图3－G －4
6．如图3－G －4，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，则DE 的长为( )
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
7．如图3－G －5，P 是▱ABCD 的边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有( )
A ．0对
B ．1对
C ．2对
D ．3对
图3－G －5
图3－G －6
8．如图3－G －6，M 是Rt△ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一定点，过点M 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
9．已知x y ＝34，则x －y
y
＝________．
10．如图3－G －7，若△ABC ∽△DEF ，则∠D ＝________°.
11．一根2米长的竹竿直立在广场上，影长为1.6米，在同一时刻，测得旗杆的影长为17.6米，则旗杆高________米．
图3－G －7
图3－G －8
12．如图3－G －8，已知△ABC 中，E 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，若以A ，E ，F 为
顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是________．(写出一个即可) 13．如图3－G－9，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE∶AB＝2∶3，连接DE交BC于点F，则CF∶AD＝________．
图3－G－9
图3－G－10
14．如图3－G－10，△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为________．
三、解答题(本大题共4小题，共44分)
15．(10分)如图3－G－11，在▱ABCD中，M，N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB 于点E，连接EN并延长交CD于点F，求DF∶AB的值．
图3－G－11
16．(10分)如图3－G－12，AB
AD
＝
BC
DE
＝
AC
AE
.
求证：∠BAD＝∠CAE.
图3－G－12
17．(12分)如图3－G－13，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C 重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．
(1)求证：△BDE∽△CEF；
(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.
图3－G－13
18．(12分)如图3－G－14，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于点F，连接DF，过点E作EQ⊥AB 交AB的延长线于点Q.
(1)求线段PQ的长；
(2)当点P在何处时，△PFD∽△BFP？并说明理由．
图3－G－14
详解详析
1．C 2.D
3．B [解析] ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC .∵BD ＝2AD ，∴AD AB ＝DE BC ＝
AE AC ＝13，则AE EC ＝1
2
.故
选B.
4．D [解析] 选项A ，B ，C 中结合条件∠A ＝∠A 均可判定△ABP ∽△ACB ，只有选项D 无法得到△ABP ∽△ACB ，故选D.
5．A [解析] 图①中，∵∠A ＝35°，∠B ＝75°， ∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝70°.
∵∠E ＝75°，∠F ＝70°，∴∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F ，∴△ABC ∽△DEF ； 图②中，∵OA ＝4，OD ＝3，OC ＝8，OB ＝6，
∴OA OD ＝OC
OB
.
又∵∠AOC ＝∠DOB ，∴△AOC ∽△DOB .
6．C [解析] ∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B .∵∠ADE ＝∠EFC ，∴∠B ＝∠EFC ，∴BD ∥EF .又∵DE ∥BF ，∴四边形BDEF 为平行四边形，∴DE ＝BF .∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AD AB
＝
AD AD ＋BD ＝58，∴BC ＝85DE ，∴CF ＝BC －BF ＝3
5
DE ＝6，∴DE ＝10.故选C. 7．D [解析] △EAP ∽△EDC ，△EAP ∽△CBP ，∴△EDC ∽△CBP ，∴共有3对相似三角形．故选D.
8． C [解析] 如图，分别过点M 作△ABC 三边的垂线l 1，l 2，l 3，易证此时分别形成的三角形均与原三角形相似，所以共有3条．
9．－1
4
10.30
11．22 [解析] 设旗杆的高为x 米，∵在同一时刻物高与影长成正比，∴x 17.6＝2
1.6
，
∴x ＝22.
12．答案不唯一，如AF ＝1
2
AC 或∠AFE ＝∠ABC 等
13.35 [解析] 由题意可知CD ∥AE ，CD ＝AB ，∴△CDF ∽△BEF ，∴CD BE ＝CF BF
. ∵CD BE ＝AB BE ＝32，∴CF BF ＝32，∴CF BC ＝35
. ∵AD ＝BC ，∴CF BC ＝
CF AD ＝3
5
.
14 4
3或3 [解析] ∵∠ACD ＋∠DCE ＝∠B ＋∠A ，∠ACD ＝∠B ，∴∠DCE ＝∠A ，
∴∠A 与∠DCE 是对应角，
∴△DCE 和△ABC 相似有两种情况： (1)当△BAC ∽△ECD 时，BA CE ＝AC
CD
， ∴4CE ＝62，∴CE ＝43； (2)当△BAC ∽△DCE 时，BA CD ＝AC
CE
， ∴42＝6
CE
，∴CE ＝3. 综上所述，CE 的长为4
3
或3.
15．解：由题意可得DN ＝NM ＝MB ，△DFN ∽△BEN ，△DMC ∽△BME ， ∴DF ∶BE ＝DN ∶NB ＝1∶2，BE ∶DC ＝BM ∶MD ＝1∶2. 又∵AB ＝DC ， ∴DF ∶AB ＝1∶4＝1
4
.
16．[解析] 将已有的比例线段归属在两个三角形中观察，以寻找相似三角形，利用相似三角形的对应角相等证明．
证明： ∵AB AD ＝BC DE ＝
AC
AE
，
∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ， 即∠BAD ＝∠CAE .
17．证明：(1)∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C .
∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ， ∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ， 又∵∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF ， ∴△BDE ∽△CEF .
(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DE EF
. ∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ， ∴CE CF ＝DE EF ，∴CE DE ＝
CF
EF
.
又∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ， ∴△DEF ∽△ECF ， ∴∠DFE ＝∠CFE ， ∴FE 平分∠DFC .
18． (1)根据题意，得PD ＝PE ，∠DPE ＝90°， ∴∠APD ＋∠QPE ＝90°.
∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝90°， ∴∠ADP ＋∠APD ＝90°，
∴∠ADP ＝∠QPE .
∵EQ ⊥AB ，∴∠Q ＝90°＝∠A . 在△ADP 和△QPE 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠A ＝∠Q ，∠ADP ＝∠QPE ，PD ＝PE ，
∴△ADP ≌△QPE (AAS)， ∴PQ ＝AD ＝1.
(2)假设△PFD ∽△BFP ，则有
PB BF ＝PD PF
. ∵∠ADP ＝∠BPF ，∠FBP ＝∠A ， ∴△DAP ∽△PBF ， ∴PD PF ＝AP BF ，∴AP BF ＝
PB
BF
.
∴AP ＝PB ，∴AP ＝12AB ＝1
2
.
即当P 为AB 的中点时，△PFD ∽△BFP .。