一元二次方程的解题方法

一元二次方程的解题方法
一、直接开平方法
1. 方法原理
- 对于形如x^2=p(p≥0)的一元二次方程，可以直接开平方得x = ±√(p)。

对于形如(ax + b)^2=p(p≥0)的方程，先开平方得ax + b=±√(p)，然后再解关于x的一次方程。

2. 题目解析
- 例：解方程x^2=9。

- 解：根据直接开平方法，因为x^2=9，所以x=±√(9)，即x = 3或x=-3。

- 例：解方程(x - 1)^2=4。

- 解：先开平方得x - 1=±√(4)，即x - 1=±2。

- 当x - 1 = 2时，x=2 + 1=3；
- 当x - 1=-2时，x=-2 + 1=-1。

二、配方法
1. 方法原理
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，将方程左边配成完全平方式
(x+(b)/(2a))^2的形式。

具体步骤为：先将二次项系数化为1（方程两边同时除以a），然后把常数项移到方程右边，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，最后用直接开平方法求解。

2. 题目解析
- 例：解方程x^2+6x - 7 = 0。

- 解：
- 首先将常数项移到右边，得到x^2+6x=7。

- 然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，因为一次项系数6，一半为3，平方是9，所以方程变为x^2+6x + 9=7 + 9，即(x + 3)^2=16。

- 接着用直接开平方法，x+3=±√(16)，x + 3=±4。

- 当x+3 = 4时，x=4 - 3 = 1；当x+3=-4时，x=-4 - 3=-7。

三、公式法
1. 方法原理
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-
4ac}{2a}，其中b^2-4ac叫做判别式，记作Δ。

当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。

2. 题目解析
- 例：解方程2x^2-5x+3 = 0。

- 解：这里a = 2，b=-5，c = 3。

- 先计算判别式Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×3=25 - 24 = 1>0。

- 然后代入求根公式x=(-(-5)±√(1))/(2×2)=(5±1)/(4)。

- 当x=(5 + 1)/(4)=(3)/(2)；当x=(5-1)/(4)=1。

四、因式分解法
1. 方法原理
- 当一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的左边能分解为两个一次因式的积时，即ax^2+bx + c=(mx + p)(nx+q)，那么方程可化为mx + p = 0或nx+q = 0，从而求解。

2. 题目解析
- 例：解方程x^2-3x+2 = 0。

- 解：将方程左边因式分解，x^2-3x + 2=(x - 1)(x - 2)。

- 所以x - 1 = 0或x - 2 = 0。

- 解得x = 1或x = 2。