2020-2021学年河南省驻马店市新蔡县新蔡一高高一下学期3月份半月考试题及答案 数学

绝密★启用前
新蔡县第一高级中学2020级高一年级2021年3月半月
考数学试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题 1．集合
{}1013A =-，，，，集合{}
220B x x x x N
=--≤∈，，全集
{}14U x x x N =-≤∈，，则U A C B ⋂( )
A ．{}3
B ．{}1,3-
C ．{}1,0,3-
D ．{}1,1,3-
2．设函数122,2,()lg(1),2,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨
+>⎪⎩则((3))f f =（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，若过直线OP 的平面截圆锥所得的截面是面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．42π
B ．22π
C ．4π
D ．()
424π+
4．如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为等边三角形，则该几何体的体积为（ ）
A 83
)π B ．3(2)π
C 43
)π
D ．3(1)π
5．19
3
π-
是（ ） A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
6．已知函数()f x 是偶函数，当[
)0,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，(3)b f =，(0)c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A ．b a c <<
B ．c b a <<
C ．b c a <<
D ．a b c <<
7．倾斜角为45°，在y 轴上的截距是2-的直线方程为（ ）． A ．20x y -+= B ．20x y --= C ．220x y --=
D ．220x y ++=
8．在各棱长均相等的四面体A BCD -中,已知M 是棱AD 的中点，则异面直线BM 与AC 所成角的余弦值为（ ） A ．
2
3
B ．
25
C ．
36
D ．
26
9．函数()231x
f x lo
g x =-的零点个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．下列转化结果错误的是 ( )
A ．化成弧度是
B ．化成度是
C ．化成弧度是
D ．
化成度是
11．若扇形的圆心角为θ，面积为2
1m ，半径为1m ，则cos sin 2tan sin cos tan θθθ
θθθ
++=（ ） A ．0
B ．1-
C ．4
D ．2-
12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k(x ＋1)上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2
)
B ．[－2
，2
]
C ．[－，]
D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
二、填空题
13．已知：①1240︒，②300-︒，③420︒，④1420-︒，其中是第一象限角的为_________(填序号).
14．如图，以长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若点B 1的坐标为（4，3，2），则点C 1的坐标为___________．
15．已知函数()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，其中a ，b ，α，β都是非零实数，若()20161f =-，则()2017f =__________．
16．《九章算术》中记载了弧田(圆弧和其所对弦围成的弓形)的面积公式
2
S ⨯+⨯=
弧田弦矢矢矢
，其中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离
之差.已知一块弦长为63m 的弧田按此公式计算所得的面积为2
9932m ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，则该弧田的实际面积为______2m ． 三、解答题
17．在与角10030︒终边相同的角中，求满足下列条件的角.
（1）最大的负角；（2）最小的正角；（3）[)360720︒︒，
的角. 18．已知ABC ∆的顶点()4,3A ，AB 边上的高所在的直线的方程为30x y --=，D 为AC 中点，且BD 所在的直线的方程为370x y +-=.
（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求BC 边所在的直线方程. 19．如图，三棱台
的底面是正三角形，平面
平面
，
．
（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．
20．如图，,A B 是单位圆O 上的点，且点A 在第一象限，点B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，B 点的坐标为4,5y ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，2AOB π∠=.
（1）求y 的值；（2）设AOC θ∠=，求sin θ，cos θ，tan θ的值.
21．已知函数()f x 是定义域为R 上的奇函数，当0x >时，2
()2f x x x =+.
（1）求()f x 的解析式；
（2）若不等式(2)(21)0f t f t -++＞成立，求实数t 的取值范围；
（3）若函数()()21([2,1])g x f x ax x =-+∈--，求函数()g x 的最大值()h a .
22．宜昌一中江南新校区拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角（弧度）.
（1）求关于的函数关系式；
（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为，求关于的函数关系式，并求出的最大值. 参考答案 1．A
{}
{}{}2|20.|1 2.1,0,1,2,B x x x x N x x x N =--≤∈=-≤≤∈=- {}{}{}|1 4.|3 5.3,2,1,0,1,2,3,4,5U x x x Z x x x Z =-≤∈=-≤≤∈=---
{}{}{}{}3,2,3,4,5,1,0,1,33,2,3,4,53U U C B A C B =--∴⋂=-⋂--=
2．C ((3))(lg10)(1)2f f f f === 3．A
设圆锥的母线长为l ，则
1
42
l l ⨯⨯=，得22l =，即母线长为22 设圆锥的底面半径为r ，2
2
2
(2)16r l l =+=，解得2r ，即圆锥底面圆的半径为2，
圆锥的侧面积为
1
422422
ππ⨯⨯=. 4．C 22213-，由三视图可知，该几何体的左边是一个三棱锥，右边是一个半个圆锥，由此可求得几何体的体积为
211114223π2233232V =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ )8343π432π==+
5．D 依题意，19633π
ππ-
=--，所以193
π-是第四象限角. 6．A 由于()f x 是偶函数，故1122a f f ⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，由于()f x 在[)0,+∞上递减，且
1032<
<，所以()()1032f f f ⎛⎫
>> ⎪⎝⎭
，即b a c <<. 7．B 解：因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为tan 451k =︒=， 因为直线在y 轴上的截距是2-，
所以所求的直线方程为2y x =-，即20x y --=，
8．
C
各棱长均相等的四面体A BCD -中棱长为2，
设取CD 中点N ,连结,MN BN ，M ∴是棱AD 的中点，//MN AC ∴, BMN ∴∠是异面直线BM 与AC 所成角（或所成角的补角）
， 413,1AM BN MN ==-==，
2223cos 26
231BM MN BN BMN BM MN +-∴∠===
⨯⨯⨯⨯， ∴异面直线BM 与AC 所成角的余弦值为3，故选C.
9．B 解：函数()231x
f x lo
g x =-的零点，即方程23
10x
log x -=的解，
即213x
log x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，转化为函数2y log x =与13x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的交点，
在同一平面直角坐标系上作出函数2y log x =与13x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的图象，如下所示：
从函数图象可知，2y log x =与13x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
有两个交点，即方程2310x log x -=有两个实数
根，即函数()231x
f x lo
g x =-有两个零点，
故选：B 10．C
化成弧度是
rad ，故选C
11．D 设扇形的弧长为l ， 由扇形的面积公式可得1
12
lr =，1r =，解得：2l =， 所以2l
r
θ=
=，所以θ是第二象限角，所以sin 0θ>，cos 0θ<，tan 0θ<， 所以
cos sin 2tan 1122sin cos tan θθθ
θθθ
++=--=-. 故选：D
12．B ∵C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0，故圆心为C(2,0)，半径R ＝2. 设两个切点分别为A 、B ，则由题意可得四边形PACB 为正方形，故有|PC|＝R ＝2
，
∴圆心到直线y ＝k(x ＋1)的距离d≤|PC|＝2，
即d ＝
≤2
，
解得k 2
≤8，可得－2≤k≤2，
故选B. 13．②③④
因为12401080160︒=︒+︒，
30036060-︒=-︒+︒，
42036060︒=︒+︒， 1420436020-=-⨯+︒︒︒.
所以②300-︒，③420︒，④1420-︒是第一象限角， 故答案为：②③④ 14．()0,3,2
由图可知，若点B 1的坐标为（4，3，2），∴点C 1的坐标为（0，3，2）． 故答案为（0，3，2）． 15．1
由题设()()()2016sin 2016cos 2016sin cos 1f a b a b παπβαβ=+++=+=-，则
()()()()2017sin 2017cos 2017sin cos 11f a b a b παπβαβ=+++=--=--=，应填
答案1。

16．1293π- 如图所示，弦长AB 63=，设CD x =， 则弧田的面积为()
219S 63x x 9322
=
⨯+=+弧田， 即2x 63x 1839+=+， 所以(
)
2
(x 33)18
32+=+，所以22(x 33)9(31)+=+，
解得x 3=或x 633(=--不合题意，舍去)；
设OA R =，则OD R 3=-，所以222R (R 3)(33)=-+， 解得R 6=，所以2π
AOB 3
∠=
， 该弧田的实际面积为2AOB
11
S S S π663312π9332
=-=⋅-⨯⨯=-扇形． 故答案为12π93-．
17．（1）50-︒;（2）310︒;（3）670︒ 因为10030=36027+310︒⨯， 所有与10030︒终边相同的角可表示为：{}=310+360k k Z ββ︒⨯︒∈，
则1k =-，则=50β-︒ 则0k =，则=310β︒
令360310+360720k ︒≤︒⨯︒<︒ 得5413636
k ≤<，k Z ∈ 从而1k =，代入得=670β︒.
18．（1）70x y +-=；（2）1970x y ++=.
（1）设点B 的坐标为(),a b ，直线30x y --=的斜率为1， 由于直线AB 与直线30x y --=垂直，则直线AB 的斜率为
3
14
b a -=--，
整理得70a b +-=，
又因为点B 在直线370x y +-=，则370a b +-=，
所以70370a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，解得07
a b =⎧⎨=⎩，即点B 的坐标为()0,7，
因此，AB 边所在的直线方程为7y x =-+，即70x y +-=； （2）设点C 的坐标为(),m n ，由AC 的中点43,2
2m n D ++⎛⎫
⎪⎝⎭在直线370x y +-=上， 所以
()343
7022
m n +++-=，整理得310m n ++=， 又因为点C 在直线30x y --=上，30m n ∴--=，
所以31030m n m n ++=⎧⎨--=⎩，解得125
2m n ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，即点15,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭.
则直线BC 的斜率为
5
7219102
+
=--， 因此，BC 边所在直线的方程为197y x =-+，即1970x y +-=. 19．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)8.
（I ）取的中点为，连结.
由
是三棱台得，平面
平面
，从而
.
， ，
四边形为平行四边形， .
，为的中点，
， . 平面平面
，且交线为
，平面，
平面
，而
平面
，
. (Ⅱ)连结.
由
是正三角形，且为中点得，
.
由(Ⅰ)知，
平面
，
.
20．（1）35y =
（2）4sin 5θ=；3cos 5
θ=；4
tan 3θ=
（1）由题意得：2
2415OB y ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭
且0y >，解得：35y = （2）设COB α∠=，则有：3sin 5α=，4cos 5
α=-，3
tan 4α=- 由2
πθα=-
得：
4sin sin cos 25πθαα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭；3cos cos sin 25πθαα⎛
⎫=-== ⎪⎝
⎭；sin 4tan cos 3θθθ==
21．（1）222,0()0,
02,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪-+<⎩
； （2）1(,)3+∞； （3）()247,322,2322,2
a a h a a a a a a -≥⎧⎪
=-+<<⎨⎪-≤⎩. （1）因为函数()f x 是定义域为R 上的奇函数，当0x >时，2
()2f x x x =+，
设0x <，则0x ->，
可得()()22
[()2()]2f x f x x x x x =--=--+-=-+，且()00f =， 所以函数()f x 的解析式为222,0()0,
02,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪-+<⎩
. （2）由（1）可得函数222,0()0,
02,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪-+<⎩
，作出函数()f x 的图象如图所示： 可得函数()f x 在定义域上为单调递增函数，
又由函数()f x 为奇函数，所以不等式(2)(21)0f t f t -++>，
可化为(2)(21)(21)f t f t f t ->-+=--，
所以221t t ->--，解得13
t >，即实数t 的取值范围是1(,)3
+∞.
（3）当[2,1]x ∈--，
可得函数22
()()21221(22)1g x f x ax x x ax x a x =-+=-+-+=-+-+， 则函数()g x 开口向上，且对称轴的方程为1x a =-，
当12-≤-a 时，即3a ≥，函数()g x 在区间[2,1]--单调递减，
所以当2x =-时，函数()g x 取得最大值，最大值为()(2)47h a g a =-=-； 当211a -<-<-时，即23a <<，函数()g x 在区间[2,1]a --单调递增，
在区间[1,1]a --单调递减
所以当1x a =-时，函数()g x 取得最大值，最大值为()2
(1)22h a g a a a =-=-+； 当11a -≥-时，即2a ≤，函数()g x 在区间[2,1]--单调递增，
所以当1x =-时，函数()g x 取得最大值，最大值为()(1)22h a g a =-=-，
所以函数()g x 的最大值()247,322,2322,2a a h a a a a a a -≥⎧⎪=-+<<⎨⎪-≤⎩
.
22．（1）由题可知，所以，. （2）花坛的面积为（）， 装饰总费用为
， 所以花坛的面积与装饰总费用之比为
. 令，，则， 当且仅当时取等号，此时，. 故花坛的面积与装饰总费用之比为，且的最大值为.。