北京市昌平区新学道临川学校2020-2021学年高二上学期期末考试数学(文)试题

临川学校2020-2021学年度第一学期期末考试
高二数学文科试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在等差数列{}n a 中，若,84=a 42=a ，则6a ＝（ ）
A ．0
B ．6
C ．12
D ．16 2. 在等比数列{a n }中，a 1＝8，q ＝
2
1
，则a 2 ＝ （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D.4 3．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( )
A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋23
4. 在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( )
A. 3 B ．3 C. 5 D ．5
5．过点P(－1，m)和Q(m,8)的直线斜率等于2，那么m 的值等于( )
A ．-17
B ．2
C ．5
D ．10 6. 直线
被圆截得的弦长为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．
7. 已知两圆分别为圆C 1：x 2＋y 2＝49和圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，这两圆的位置关系是
( )
A ．相离
B ．外切
C ．内含
D ．相交
8．已知以原点为中心的椭圆C 的左焦点为F ()01-，
，离心率等于，则C 的方程是（ ） A ． B ． C ． D ． 9. 已知双曲线2221x y a -=（a>0）的离心率是2
5
，则 a =（ ）
22240x y x y +--
=2
1
14322=+
y x 13422=+y x 12422=+y x 1342
2=+y x
A
． B ．4 C ．2 D ．
12
10. 已知抛物线22y px =(0p >)的准线经过点()1,2-，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A ．(－2，0)
B ．(2，0)
C ．(0，1)
D ．(0，-1)
11. 若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（ ）
A. 2
B. 1
C.
D. 12. 过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若
，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．直线023=++y x 在y 轴上的截距为 ．
14.已知双曲线22
:163
x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距
离是_________．
16．斜率为1
3
直线l 经过椭圆221(0)x y a b a b +=>>的左顶点A ，且与椭圆交于另一个点B ，若在
y 轴上存在点C 使得ABC △是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率
为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17题10分，第18~21题每题12分.
P 12
22
=+y x 1F 2F 9021=∠PF F 21PF F ∆232
122
221x y a b
+=(0)a b >>1F x P 2F 1260F PF ∠=1213
17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知18,831-=-=S a ． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．
18.设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝2bsin A.
(1)求B 的大小．
(2)若a ＝33，c ＝5，求b.
19．已知等差数列的前项和满足，．
（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和．
{}n a n n S 30S =55S =-{}n a 2121
1
{}n n a a -+n
20. 已知椭圆C :22221(0)x y a b a b
+=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为2.直线(1y k x =-）
与椭圆C 交于不同的两点M,N. （1）求椭圆C 的方程；
（2）当k =1时，求△AMN 得面积.
21．已知过点)30(，A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()2)3(222
=-+-y x 交于,M N 两点．
（Ⅰ）求k 的取值范围；
（Ⅱ）若1124+=•OM ，其中O 为坐标原点，求l 的方程．
22．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3
斜率为k 的直线l 与椭圆
M 有两个不同的交点A ，B. （1）求椭圆M 的方程； （2）若1k =，求||AB 的最大值；
（3）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交
点为D.若C,D 和点
71
(,)44
Q -共线，求k.
临川学校2020-2021学年度第一学期期末考试
高二文科数学参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
13.-2 14. ()4122
=+-y x 15． (1). (
)
3,0
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17题10分，第18~21题每题12分.
17.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
,81-=a 183-=S ，∴,81-=a 18331-=+d a
解得,8a 1-=2d =，∴()10211-=-+=n d n a a n ； （2）
,81-=a 2d =，102-=n a n ， ∴4
81
)29(9)182(21)(22221n --=-=-=+=
n n n n n a a n S n ， ∴当4n =或5时，前n 项的和n S 取得最小值为-20．
18. 解 (1)∵a ＝2b sin A ，∴sin A ＝2sin B ·sin A ， ∴sin B ＝12.∵0<B <π
2
，∴B ＝30°.
(2)∵a ＝33，c ＝5，B ＝30°. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B
＝(33)2＋52－2×33×5×cos 30°＝7. ∴b ＝7.
19．【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则n S =1(1)
2
n n na d -+。

由已知可得111330,
1, 1.5105,a d a d a d +=⎧==-⎨+=-⎩解得
{}=2-.n n a a n 故的通项公式为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
212111111
(),(32)(12)22321
n n a a n n n n -+==-----
从而数列21211n n n a a -+⎧
⎫⎨
⎬
⎩⎭
的前项和为1111111-+-++
)2-111323
2112n
n n n
-=
---（. 20.【解析】（1）由题意得
2
2222a c
a a
b
c =⎧⎪
⎪=
⎨⎪=+⎪⎩
解得b =所以椭圆C 的方程为22142x y +=. （2）由22(1)142
y k x x y =-⎧⎪⎨+
=⎪⎩得2222
(12)4240k x k x k +-+-=.
设点M ,N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则11(1)y k x =-，22(1)y k x =-，
2122412k x x k +=
+，2122
24
12k x x k -=+．
所以|
MN
. 由因为点A (2,0)到直线(1y k x =-
）
的距离d =，
所以△AMN 的面积为
1|
|2S MN d =⋅==
解得1k =±.
21. 【解析】（Ⅰ）由题设，可知直线l 的方程为3+=kx y ．
因为l 与C 交于两点，所以
21
3322
<++-k k ．
解得11<<-k ．所以k 的取值范围是()1,1-． （Ⅱ）设1122(,y ),(,y )M x N x ．
将3+=kx y 代入方程()2)3(222
=-+-y x ，整理得，024)1(2
2=+-+x x k
所以，．14221+=
+k x x ，1
2
2
21+=k x x ，∴
11241
12119)(3)1(2212122121+=++
=++++=+=⋅k k
x x k x x k y y x x ， 解得221=k ,21=k (舍去)，所以l 的方程为322+=x y ．(∴3
6
2=MN )
22.【解析】（1
）由题意得2c =
，所以c =
又3
c e a =
=
，所以a = 所以2221b a c =-=，
所以椭圆M 的标准方程为2
213
x y +=．
（2）设直线AB 的方程为y x m =+，
由22
13
y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2
2
2
3644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，21233
4
m x x -=，
则12|||2
AB x x =-==，
易得当20m =
时，max ||AB ，故||AB
． （3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，
则221133x y += ①，22
2233x y += ②，
又(2,0)P -，所以可设1
112
PA y k k x ==
+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122
(2)13
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=，
则2113211213k x x k +=-+，即2
1312
1
1213k x x k =--+， 又1112y k x =
+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以11
11712(
,)4747
x y C x x --++，
同理可得22
22712(
,)4747
x y D x x --++．
故3371(,)44QC x y =+
-，4471(,)44
QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171
()()()()04444
x y x y +--+-=，
将点,C D 的坐标代入化简可得
12
12
1y y x x -=-，即1k =．
【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查数形结合思想，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.解决椭圆的方程问题，常用基本量法，同时注意椭圆的几何量的关系；弦长的计算，通常要将直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解.。