高考数学总复习 64 基本不等式课件 苏教版

考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作度为v(米/单位时间)，单位时间
内用氧量为cv2(c为正常数)；②在水底作业需5个单位时间，每个单
位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为
v 2
(米/单位时间)，
单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y.
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◆方法与技巧 1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式” 转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不 等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用 基本不等式的切入点．
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2．恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要 进行适当变形．比如：
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∴ab≤14.故原不等式成立．
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【点评】 本题的方法称为平均值法，平均值法是指借助算术 或几何平均数来证明含有对称式的条件不等式的一种特殊方法．它 一般用于转换不等式的证明，也常用来求具有相同结构特征的函数 的最值．依据求证式的结构，凑出常数因子，是解决此类问题的关 键．第(2)题也可用分析法给出证明．
(1)将 y 表示为 x 的函数； (2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最 少总费用．
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【解】 (1)设矩形的另一边长为 a m， 则 y＝45x＋180(x－2)＋180×2a ＝225x＋360a－360. 由已知 xa＝360，得 a＝3x60， 所以 y＝225x＋36x02－360(x>2)． (2)∵x>2，∴225x＋36x02≥2 225x×36x02 ＝10 800. ∴y＝225x＋36x02－360≥10 440. 当且仅当 225x＝36x02时，等号成立． 即当 x＝24 m 时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是 10 440 元．
＝
1 5
3yx＋4＋9＋1x2y
＝
13 5
＋
1 5
3yx＋1x2y
≥
13 5
＋
1 5
×2
5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.
答案：5
3yx·1x2y ＝
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4．(课本改编题)设x，y都是正实数，且x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是__________．
＝2.我们知道算术平均数a＋2 b与几何平均数 ab的大小关系，其余各
式作差(作商)比较即可．
答案：②
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2．设点P(
t 2
＋
2 t
，1)(t＞0)，则|
O→P
|(O为坐标原点)的最小值是
________．
解析：|O→P|＝ 1＋2t ＋2t 2＝ 1＋t42＋t42＋2≥ 3＋2＝ 5，当
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【基础自测】
1．(2011·高考陕西卷)设 0<a<b，则下列不等式中正确的是
________．
①a<b<
a＋b ab< 2
②a<
a＋b ab< 2 <b
③a<
a＋b ab<b< 2
④
a＋b ab<a< 2 <b
解析：代入 a＝1，b＝2，则有 0<a＝1< ab＝ 2<a＋2 b＝1.5<b
故1a＋1b＝a＋abb＝a1b≥a＋21 b2＝1212＝4. 当且仅当a＝b＝12时上式取“＝”． 答案：4
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考向一 利用基本不等式求最值
值；
(1)已知x＞0，y＞0，lg
x＋lg
y＝1，求z＝
2 x
＋
5 y
的最小
(2)x＞0，求f(x)＝1x2＋3x的最小值；
(3)x＜3，求f(x)＝x－4 3＋x的最大值；
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2．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明：∵a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ab＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．
几何平均数．
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3．基本不等式的变形不等式
①a2＋b2≥2ab，(a，b∈R)
②a＋b≥2 ab(a，b∈R＋)，ab≤a＋2 b2(a，b∈R＋)
③ba＋ab≥2(a，b∈R＋，或ab＞0)
④1a＋2 b1≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a，b∈R＋)
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4．利用基本不等式求最值问题 已知x＞0，y＞0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是 2 p.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是 p42.(简记：和定积最大)
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(2)∵a＞0，b＞0，且 a＋b＝1.
∴原不等式⇔
⇔a＋b＋1＋2
a＋12＋
b＋212≤4
a＋21b＋12≤4
⇔2＋2
a＋12b＋12≤4
⇔
a＋21b＋12≤1
⇔a＋12b＋12≤1⇔ab＋12(a＋b)＋14≤1
⇔ab＋12×1＋14≤1⇔ab≤14.∵a＞0，b＞0，
∴1＝a＋b≥2 ab(当且仅当 a＝b＝12时取等号)．
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【点评】 合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的 目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和 为定值．
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1．(1)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则
1 x
＋
1 y
的最小值为
________；
(2)当x>0时，则f(x)＝x22＋x 1的最大值为________．
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(3)∵x＜3，∴x－3＜0，∴3－x＞0， ∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋(x－3)＋3 ＝－3－4 x＋3－x＋3 ≤－2 3－4 x·3－x＋3＝－1， 当且仅当3－4 x＝3－x，即 x＝1 时，等号成立． 故 f(x)的最大值为－1. (4)令 u＝sin2x＋1,0≤sin2x≤1，∴1≤sin2x＋1≤2，而 f(u)＝u ＋u5在(0， 5]上是减函数，∴在[1,2]也是减函数，∴sin2x＋1＝2 时， f(x)＝2＋52＝92最小．故 f(x)的最小值为92.
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当 52c>5，即c<1225时，y′＝30c－1v22＝30cvv22－12<0， 因此函数y＝30cv＋2＋1v2在(0,5]上为减函数， 所以当v＝5时，y的最小值为150c＋252. 综上， 当c≥1225时，下潜速度为 52c时，用氧量最小为2＋12 10c； 当0<c<1225时，下潜速度为5时，用氧量最小为150c＋252.
第4节 基本(jīběn)不等式
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【知识梳理】
1．基本不等式
不等式成立的 等号成立的条
基本不等式
条件
件
ab≤a＋2 b a＞0，b＞0
a＝b
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2.算术平均数与几何平均数
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为
a＋b 2
，几何平均数为
ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的
解析：x＋4y≥2 4xy； ∴4 xy≤40， ∴xy≤100， ∴lg x＋lg y＝lg (xy)≤lg 100＝2. 答案：2
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5．若a>0，b>0且ln(a＋b)＝0，则1a＋1b的最小值是________．
a＋b＝1
解析：由a>0，b>0，ln(a＋b)＝0得a>0
.
b>0
解析：(1)∵x>0，y>0，且2x＋y＝1，
∴1x＋1y＝2xx＋y＋2xy＋y
＝3＋xy＋2yx≥3＋2 2.
当且仅当xy＝2yx时，取等号．
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(2)∵x>0，∴f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝ 1时取等号．
答案：(1)3＋2 2 (2)1
(1)当x＞2时，x＋x－1 2＝(x－2)＋x－1 2＋2≥2＋2＝4. (2)0＜x＜83，x(8－3x)＝13(3x)(8－3x) ≤133x＋28－3x2＝136.
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◆失误与技巧 1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提 “一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三 个条件缺一不可． 2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等 技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件． 3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何 一次的字母取值存在且一致．
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考向三 基本不等式的实际应用 (2013·扬州模拟)围建一个面积为 360 m2 的矩形场地，要求
矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新 建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如图所示．已 知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧 墙长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位：元)．
(4)x∈R，求f(x)＝sin2x＋1＋sin25x＋1的最小值．
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【解】 (1)由已知条件 lg x＋lg y＝1， 可得 xy＝10. 则2x＋5y＝2y＋105x≥2 1100xy＝2. ∴(2x＋5y)min＝2. (当且仅当 2y＝5x，即 x＝2，y＝5 时等号成立．) (2)∵x＞0， ∴f(x)＝1x2＋3x≥2 1x2·3x＝12， 等号成立的条件是1x2＝3x，即 x＝2， ∴f(x)的最小值是 12.
且仅当t＝2时取等号．
答案： 5
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3．(2012·高考浙江卷)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的 最小值是________．
解析：将已知条件进行转化，利用基本不等式求解．
∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy得151y＋3x＝1.
∴3x＋4y＝15(3x＋4y)1y＋3x
(1)将y表示为v的函数；
(2)设0<v≤5，试确定下潜速度v，使总的用氧量最少．
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解：(1)潜入水底用时3v0，用氧量为3v0×cv2＝30cv； 水底作业时用氧量为5×0.4＝2； 返回水面用时6v0，用氧量为6v0×0.2＝1v2. 所以y＝30cv＋2＋1v2(v>0)． (2)y＝30cv＋2＋1v2≥2＋2 30cv×1v2＝2＋12 10c. 当且仅当30cv＝1v2，即v＝ 52c时取等号． 当 52c≤5，即c≥1225时，v＝ 52c时，y的最小值2＋12 10c.
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【点评】 (1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读 题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意 列出相应的函数关式系，然后用基本不等式求解．(2)在求所列函数 的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求 解．
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3．(2013·南京市、盐城市高三年级第三次模拟考试)在某次水下
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考向二 利用基本不等式证明不等式
已知a＞0，b＞0且a＋b＝1.求证：
(1)1a＋1b≥4；(2)
a＋21＋ b＋21≤2.
【证明】 (1)∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1.
∴1a＋1b＝(a＋b)a1＋1b＝2＋ba＋ab ≥2＋2 ab·ab＝4. 当且仅当ba＝ab，即a＝b＝12时，等号成立． ∴原不等式成立．