二维直角平面内偏心圆形衬砌对稳态入射平面SH波的散射

二维直角平面内偏心圆形衬砌对稳态入射平面SH波的散射二维直角平面内偏心圆形衬砌对稳态入射
平面SH波的散射
JournalofMechanicalStrength机械绣度2007,29(3):442—448
二维直角平面内偏心圆形衬砌对稳态入射平面SH波的散射
SCATIERINGOFCIRCULARECCENTRICLININGINRIGHT.ANGLE
PLANESPACETOSTEADYINCIDENTPLANESH.WAVE 史文谱褚京莲.巩华荣胡爱芹.
(1.烟台大学机电汽车工程学院,烟台264005)(2.烟台大学光电学院,烟台264005) (3.烟台工程职业技术学院教务处,烟台264006)
SHIWenPuCHUJingLian2GONGHuaRong3HUAIQ (1.Electro-MechanicalInstitute,YantaiUnirersity,Yantai264005,China)
(2.PhotoelectricalInstitute,YantaiUnire瑙ity,Yantai264005,China)
(3.YantaiEngineeringVocationalTrainingCollegeofTechnology,Yantai264006,C hina)
摘要利用复变函数法,多极坐标变换及傅里叶级数展开技术求解二维直角平面内偏心圆形衬砌对稳态入射平面
SH(shearinghorizonta1)波的散射问题.首先构造出介质内不存在偏心圆形衬砌时的入射波场和反射波场;其次建立介质
内存在偏心圆形衬砌时由衬砌外边界产生的能够自动满足直角边应力自由条件的散射波解和衬砌外边界向衬砌介质内
的折射波解以及衬砌内边界的散射波解,从而利用叠加原理可写出衬砌介质内外的总波场.利用衬砌外边界处应力位
移的连续条件和内边界处应力自由条件以及傅里叶级数展开方法列出求解波解中未知系数的无穷代数方程组,在满足
计算精度的前提下通过有限项截断,得到相应有限代数方程组的解,最后通过算例具体讨论衬砌内边界处的动应力集中
系数和水平直边界位移幅度比及其相位随无量纲波数,人射波入射角,衬砌位置及其偏心度的不同而变化的情况,结果
表明文中算法的有效实用性.
关键词二维直角平面SH(s量lhorizonta1)波散射偏心圆形衬砌复变函数法多
极坐
标变换动应力集
中系数位移幅度相位
中图分类号0343.440343.7
AbstractComplexfunctionmethodandmulti-polarcoordinateandFourierseriesexpansiontechnologyareusedheretostudythe scatteringofcirculareccentriclininginright-angleplanespacetosteadyincidentplaneSH—
wave(shearinghorizontalwave).Atfirst,the
scatteringsolutionexcitedbytheexternalbouna~yofthecirculareccentricf iningexistinginthespace,whichsatisfiesthefreestress
conditionsofthetworight-angleboundariesandtherefractionwavesolutionexcitedbytheexteriorbounderof theliningandthereflec-
tionwavesolutionexcitedbytheinteriorboundaryoftheliningareformulated ;thentheincidentwaveandthereflectionwaveinthe
right-angleplanespacewhichhasnocirculareccentricliningaleconstructed;therefore ,thetotaldisplacementfieldsinsideandoutside
theliningCanbeconstructedusingoverlappingprinciple.Aninfinitealgebra icequationsofunknowncoefiqcientsexistinginthescattering
andrefractionsolutionfieldscallbegainedusingmulti-polarcoordinatetransformationandFourierseriesexpansiontechnologyandthe conditionsofdisplacement/stressattheboundariesofthecirculareccenll'i clining.itcallbesolvedbyusinglimititemsintheinfinitege-
rieswhichCangiveahighcomputationprecision.Anexampleisgiventoillustra tethevariationsofDSCF(dynamicstressconcentration
factor)attheinteriorbouna~yofthecirculareccentricliningandthevariati onsofdisplacementratioandthephaseofthedisplacement
onthehorizontalboundaryoftheright-angleplanespacevsthevariationsofdimensionlesswavenumberandtheincidentang leandthe
locationandtheeccentricityofthecirculareccentriclining,theresultsoft heexampleshowthe
effectivenessandefiqciencyofthemethod introducedhere.
KeywordsRight-
angleplanespace;Circulareccentriclining;Scatter~gofSn(shea~horlzen ta1)wave;Complex
method;Multi.polarcoordinatetransformation;Dynandcstressconcentratio nfactor(DSC
F);Amplituderatio;Phaseangle Correspondingauthor:SHIWenPu,E-
mail:swp666666@eyou.corR,Tel:+86—535—6888064
Manuscriptreceived20050930,inrevisedform20051209.
*20050930收到初稿,20051209收到修改稿.烟台大学博士启动基金资助项目(Jx03B5).
枭*史文谱,男,1963年lO月生,山东烟台人,汉族.博士,副教授,硕士生导师,主要从事固体波动理论及应用研究.
第29卷第3期史文谱等:二维直角平面内偏心圆形衬砌对稳态人射平面SH波的散射
1引言
研究缺陷或异质体对弹性波的散射与动应力集中
问题,无论在理论还是在工程应用中均有十分重要的
意义.至今在已经发表的有关这类问题的诸多研究成
果中,多以半空间问题,全空间问题及分层空间问
题居多,而有关直角平面空间问题的研究却不多见.
目前研究弹性波散射的方法主要有解析法和数值法两
种,其中解析法对于理解和透视物理现象的本质有数
值法不能替代的优点,并且解析法的正演理论也是探
讨和研究反演理论和数值解法的基础,但由于问题的
复杂性及数学理论和方法的限制,解析法能求解的问
题毕竟有限,为了解决工程实际问题,数值法以其适用
广泛,方法统一而得到大量应用,但数值法在求解高频
问题时表现出来的不稳定性也在一定程度上限制了它的应用,在这种情况下寻求理论上的发展,解析和处理也是必然.反平面剪切(shearinghorizontal,SH)波散
射理论是弹性波散射中最简单的模型,它不但自身有广泛的工程应用背景,而且其理论对研究面内纵波和面内SV(shearingvertica1)波的散射问题也是有重要参考价值的;另外由于在反平面剪切波散射中仍有许多复杂边值问题待解,因此继续探讨有关反平面剪切(SH) 波的散射理论不仅必要而且很有意义.衬砌问题一直是弹性波散射理论研究的主要对象之一,衬砌本身也是工程中多见的人工结构,但由于制造上的偏差,其本身内外界面不可能绝对保证同心,因而为了更好地把握其安全性,必须从理论上对其进行研究.本文利用复变函数法,多极坐标变换和傅里叶级数展开技术,探讨直角平面内偏心圆形衬砌对稳态入射平面反平面剪切(SH)波的散射问题,通过算例具体讨论衬砌内自由边界处的环向动应力集中系数和直角平面水平直边界的位移幅度及相位随无量纲波数,入射角,衬砌位置及其偏心度的不同而变化的情况.结果表明本文算法的有效性和实用性.
2计算模型及理论分析
如下图1所示,均质,各向同性的二维直角平面线弹性介质空间内一偏心圆形衬砌在图示坐标系oy内的位置坐标为(一d,,h),其内部圆孔圆心位置为 (一d,一h);并另外建立图示两个局部坐标系,0,Y, 和oY.介质材料的剪切模量和体密度分别为,ul, lD;衬砌材料的剪切模量和体密度分别为,lD.由于稳态入射平面sH波的作用,介质内产生的位移W(, ),,t)垂直于,,平面,并且满足如下方程.
aW1aW…
aav一at
,
rHy2R2
一
l
娩
.
I/0?\一
d.1一
,
,
\
l
//
图1直角平面内圆形偏心衬砌对入射平面反平面剪切波的散射
Fig.1Thescatteringofcirculareccentricliningintherigl1tangle
planetotheincidentplaneanti—planeshearing(SH)wave
其中l/=~//p是介质中反平面剪切波的传播速度.
而应力与位移的关系是
r=aW/3xr=aW/3y(2) 引入复数变量z=+i),,三=—iy,在复数平面上,运动方程(1)可写为
3z3z:4t?l/;d一
对于稳态反平面剪切(SH)波散射问题,位移可假设为
(z,三,t):Re[W(z,三)exp(一kot)](4) 其中(z,三,t)是z,三的复函数;cU是波函数的圆频
率,它与外部扰动频率是一样的.将方程(4)代入方程 (3),则有如下Helmhohz
方程
aWl(aza-z)=(i/2)(5) 其中K:co/V是波数,方程(5)略去了时间因子 exp(一i),以下讨论中都将如此处理.相应的应力复数形式为
r=(aW/3z+aW/3z)(6) r=i/z(aW/3z—aW/3z)(7) 若式(6)和式(7)以极坐标形式表示,则为 r=(iaaW/3z+e一aW/3z)(8) r&:i,u(e1oaW/3z—e-18aW/az)(9) 从图1容易看出问题的边界条件为边界rH处
r
'
=
0(10)
边界r处
r
"
=
0(11)
边界r砌处
r
"
:r
'""
="'(12)
边界r处
r=0(13)'陀一\,
其中r,"?分别是直角平面介质内的总剪切应力
机械强度20O7焦
和总位移,(t2,W"分别是衬砌介质内的总剪切应力和总位移.
求解方程(5),并让该解预先满足二维直角平面两条直角边应力自由条件,则由衬砌外边界在介质内产生的散射波幅"(z,三)(在坐标系oY.内)可表达为?4
'(三.)=?A?s(14)
其中s"=o(lz.){z/lz.)" s=(n1)(.lz:1){z/z:l s:(一1)"K.1z1){z/1zi) s:(一1)"(nl(.1z}){z/lz1)" "(?)是n阶第一类Hankel(汗克耳)函数,(z.,z) 是坐标系.o.Y.内点的复数坐标,A(n=0,?1,…) 是待定系数.
由式(8),(9)和式(14)可得到相应的散射应力场如下
r"
=
(i./2)?A[e?一e-?n=一?J=【J=1 (16)
其中":.(.z.1){z/lz.l :一
日.(K.{z1){Z2/1z1 :一(一1,n/_/(1+)(.lz,1){z/lzl一
:
(一1)".(lz1){z/lz) "
:一日.(K.Iz.1){Zl/lz.l :
'
n
"
-(1zI){z2/1z:1
"n- :(一1)"日
(K1z1){z/Izl
(n4:一(一1,n..H~l+).(lz1){z/lz1)"?
另外,由于衬砌外边界的折射和衬砌内边界的散射,衬砌介质内将分别产生如下折射波(?)和散射波'(?)
W(三):?B.H~2(K2J)(/j)"(17)?
W'(z,):?c日(nl(K2{z1)×
(z/1zI)"(18)
其中=/是衬砌介质内的反平面剪切(SH)波的波数,Vs2=,/r是衬砌介质内反平面剪切(sH) 波的传播速度,lD分别为衬砌介质的剪切模量. zt=r1exp(i1),z2=zi 一2hli,z3zl一2dl,z4: z,一2hi;(r,0.)是直角坐标系oY内点的极坐
标.z=r2exp(i0),而三是z的共轭复数, (r,0)是局部直角坐标系o:Y内点的极坐标., C(n=0,?1,?2,…)是未知系数.(?)是n阶第二类Hankel(汗克耳)函数.这样衬砌介质内的总位移波场和总应力场分别为
'
=?(zl,三1)+'(z,三)(19)
r=r(.,三.)+r(,三)(20)
r:r(?)+r(z,三)(21)
其中"和(t2,分别是衬砌介质内的总位移场和总应力场;而公式(20),(21)中右面的应力分别为 r(三):?B[eiO1.(K2IZl1)×
(厂(((22)
r(三.):?B[ei81.(1Zl1)×
()日(K2I)"】(23)
r
z(z,三):~2/(2×
妻c(1)(高
(K2I)1)(高()
z(,三):×
妻c(K2I2)1)(嵩
.
(GI)『)((25)
其中(?)是n阶第二类Hankel(汗克耳)函数. 在本文中假设(稳态)入射平面反
平面剪切(SH) 波在坐标系xoy内表示为
W'(r,0):Woexp{i[K1FCOS(0一))(26) 其中是入射波的入射方向角.
在介质内不存在衬砌的情况下,由于入射波 W'(r,0)的作用,两条直角边界J1
和J1将在介质内产生如下形式的反射波(它们满足两直角边应力自由边界条件) (r,)=Woexp{i[K.FCOS(0+)])(27)
(r,0)=Woexp{i[一K.rcos(0+)])(28) (r,)=Woexp{i[一K.rcos(a一)])(29)
若在坐标系xoy内引入复坐标z=rexp(i0),三=
rexD(一iO),则上述入射波和反射波的复数表达形式分别为
W'(,三)=Woexp{iKJ/2?)(30)
1J
5
"n(
?川
e
+
Un
?
e
A?一
2
II
r
第29卷第3期史文谱等:二维直角平面内偏心圆形衬砌对稳态入射平面SH波的
散射
'(,三)=Woexp{iK/2z(,)(31) (,三)=Woexp{一iK/2)(一)(32)
(,三)=Woexp{一iKl/2ZJ)(33) 其中)[?=zexp(一ia)+zexp(ia) )[(r】
=zexp(ia)+zexp(一ia)
)[一=zexp(ia)+zexp(一ia)
)["=zexp(一ia)+zexp(ia) 为了应用衬砌边界处的应力和位移边界条件,可利用多极坐标移动技术,将上述入射波和反射波转换到局部坐标系0Y内有W'=Woexp{iKl/2[ZIe一+三lei]z0l(34) =Woexp{iK/2[ZIe+ZIe.i]z(35) "
=
Woexp{e+ZIe-ia(36) =p
](37) {eeI口
其中..=exp{一iK/2[Z0e.i+三.e]) l=exp{一iKl12[zoe+三oe.j]}
2exp{iKl/2[Z0e+三oe])
3=exp{iKl/2[Z0e.i+三0e])
o=dl+i.)zl
这样由入射波和反射波而共同产生的应力r, r可分别写为
r:[G?+?W(rG](38)
r=
半[?F?+?Fir](39)
其中G=exp[i(0一a)]+exp[一i(0l—a)] G:一=exp[i(0l+a)]+exp[一i(0l+a)] G=一G(r】
G=一G"'
F'=exp[i(0一a)]一exp[一i(0一a)] rl"=exp[i(0+a)]一exp[一i(0+a)] =
一
(r】
=一
最后,在入射平面反平面剪切(SH)波'的作用下,由于衬砌的散射和两直角边的
反射,二维直角平面介质内产生的总位移场""和总应力场r可表为
如下形式
"
:'+(4O)
r
"
=r"+r(41)
r=r+r(42)
由边界条件(12)和(13)可列出求解未知系数,
B,C(I1,=0,?1,?2,…)的方程组为 ?++c=(1=1,2,3)(43)rl=一? 44
其中=eiOl?+e-io!?
?(nl':一[:K21(ffK)][e?(K2I-1)× (/1)一e-iOl(lI)(/l.I)"]
q(nl':一[ff2K21(K)]e-(K2I)× ()/1)一e-(I)
(/I)"]
=一
i[W"'G"'+?G=l
4
:
?5
'
:一
'(lj)(/jj)" q':一
(n1)(K2'1)(/1)" 3
:
_[W"+?
【n3:0
'
:e(J})(/J})一
e-iOl(K2l1)(/l1)" q':eiOl"
n-'(K2I.1)(/I:SI)一
e-iOl(K21)(/蚰I)"
r/(:0
其中
l=Rleil,=R2ei,l2=一
(d2+ih2)+(dl+ih1) =l+(d2+ih2)一(dl+ih1) 为了求解方程组(43),应在方程组前两个方程两边同时乘以因子exp(一i),在最后一个方程两边同时乘以exp(一i),并分别在区间[一兀,兀]内积分,得
到如下方程
?+'+cg'=
(1=1,2;m=0,?1,?2,…)(44) ?+c=0(45)
其中:
1/(2兀)re-i-dOJ一
=
l/(2~r)Ie.idOd一
g:l/(2~r)Ige.i-dO1 '
:
l/(2~r)Ie.idOl :
l/(2~r)I(n3e,m02dO:J一
g=l/(2~r)Ige以dO
机械强度2007年
在满足计算精度的情况下,对方程组(44)和(45) 通过有限项截断得到具有有限
个未知数的方程组,并求解它即可得到未知系数A,B,(=0,?1,?2, …
).
对于衬砌散射问题,可以计算衬砌内边界处的环向动应力集中系数y以及直角
平面区域水平边界处的位移幅度比l""/l和相位角度,其中y和"D 具体可分别表
达为
y&=5r/rol,:(46) '")
:tan一『Im'"/Re"](47)
这里,r=/~KWo是人射波产生的剪切应力幅度,而 r2'可由式(21)计算;W""由式(4o)计算;此外,在计算y和l""/l时,由于分别是在偏心衬砌内边界和直角平面
水平边界上进行的,故对两种边界上的点应分别假设为=R:ei02和.=+i^.,其中是直角平面水平边界上的点在直角坐标系.O.Y.中的横坐标.作为算例,本文计算
衬砌内边界处的环向动应力集中系数(dynamicstressconcentrationfactor,DSCF)
和直角平面水平边界上点的位移幅度比和相位角随无量纲波数,衬砌偏心度,
入射角及衬砌位置的不同而变化的情况.
3算例及分析
羹墨
箸善《
萋量山
O1OO200300
角度Angle/(.)
无量纲距DimensionlessdistanceX/Rl (a)
本文算例已知的有关参数,衬砌介质和二维直角平面介质的剪切模量之比./:
为2.90,剪切波速之比l/为1.50,衬砌的内外半径比为:/R.=1/2; 假设二维平面
介质中SH波的无量纲波数,: 1.5,2.5,3.5,人射平面波人射角度a分别取0,hi2,
衬砌的位置坐标参数(d./R.,hl/R.)的取值为(1.1,1.1) 和(100,100),衬砌的无量
纲偏心度81R.取值为0和 0.001.计算结果如图2.其中是衬砌内外圆心的偏心距.
(1)图2a和图2b是人射角a分别为0,rd2,偏心度为
81RI=0,dI/RI=1.1,hI/RI=1.1,h2/RI=1.1
时的计算结果.
(2)图2c和图2d是人射角a分别为0,rd2,偏心度为
81Rl=0.001,dl/RI=1.1,hI/RI=1.1,h2/Rl=
1.1时的计算结果.
(3)图2e和图2f是人射角a分别为0,hi2,偏心度为
8/RI=0.001,dI/R1:100,hI/RI=100,h2/RI=
i00时的计算结果.显然,由本文方法还可以计算相应参数取其他数值时的问题.
从上述图可以看出如下结论
1)当衬砌具有偏心度时,衬砌内边界处的动应力集中系数明显比不具有偏心度时大,而直角平面水平
边界点的位移幅度比变化不明显.
辍
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.
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无量纲距DimensionlessdistanceX/RI
无量纲距DimensionlessdistanceX/R
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第29卷第3期史文谱等:二维直角平面内偏心圆形衬砌对稳态入射平面sH波的
散射447 赧
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6
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3—2—10
无量纲距DimensionlessdistanceX/R 无量纲距DimensionlessdistanceX/R (c)
角度Angle/(.)
无量纲距DimensionlessdistanceX/R 一
3-2—101
无量纲距DimensionlessdistanceX/R (e)
蓥《
20
0100200300400
角度Angle/(.)
无量纲距DimensionlessdistanceX/R 无量纲距DimensionlessdistanceX/R (d)
角度Angle/(.)
无量纲距DimensionlessdistanceX/R 无量纲距DimensionlessdistanceX/R (f)
图2衬砌内边界处环向动应力集中系数(oscr)和直角平面水平边界点位移幅度比及其
相位角随无量纲波数,衬砌位置,偏心度和入射角的不同而变化的情况
Fig.2Thevariations0fDSCFattheinteriorboundary0ftheliningandthedisplaceme ntamplit
uderatioanditsphaseangleofthepoints atthehorizontalboundary0ftherigh 卜angleplaneVSdifferentdimensionlesswavenumbersanddifferent locationofthelininganddifferenteccentricityofthelininganddifferentin cidentangle
U?0
籁壬疽爵
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嘏U?0簌壬疽爵
U?0
簌壬疽爵
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趟警楼
0一甚110暑l1盘暑
趟馨稳
譬\o—M毫蛊
躲避
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絮_】,.l暑毫蛊
嘏翼
机械强度2007年
2)衬砌远离直角边界情况下(如图2e和图2f的情形),当入射角为0.时,衬砌内边界处的环向动应力集中系数明显关于0.和180.角位置对称;而当人射角为
7c/2时,衬砌内边界处的环向动应力集中系数明显关于 0和270.角位置对称,这说明直角平面区域两直角边界对衬砌内边界处的环向动应力集中系数的影响可以忽略,这与无限大平面内相同偏心衬砌对人射平面SH 波的散射结果一致.
3)容易看出,当衬砌远离两直角边界时(如图2e 和图2f的情形),直角平面水平边界点的最大位移幅度比明显下降,说明此时衬砌边界的散射波对直角平面水平边界点的位移幅度比影响减少.
4结束语
本文利用复变函数法和多极坐标变换技术求解一
类新的反平面边值问题.所用理论和方法可为直角平
面介质(二维直角平面)内衬砌结构的强度设计提供
理论参考,为确定衬砌的容许偏心度提供力学上的理
论依据,对于相关的无损探伤反演问题研究也具有实
际指导意义.利用本文方法和保角映射技术也可求解
直角平面二维区域内含有椭圆孔洞或夹杂等异质体对
人射平面反平面剪切波的散射问题.
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