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大庆铁人中学高三学年上学期期末考试
文科数学试题
试卷说明：
1、本试卷满分150分，答题时间120分钟。

2、请将答案直接填涂在答题卡上，考试结束只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 满分60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.) 1．若集合{}
02A x x =≤≤，{}
21B x x =>，则=A B ⋂( )
A ．{}01x x ≤≤
B ．{}01x x x ><-或
C ．{}12x x <≤
D ．{}
02x x <≤ 2．若复数
312a i
i
+-（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ( ) A ．-2 B ．4 C ．-6 D ．6
3．甲、乙两名运动员各自等可能的从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为( ) A ．
1
3
B ．
12 C ．14 D ．16
4．已知等比数列{}n a 满足11353,21,a a a a =++=则357a a a ++= ( )
A ．21
B . 42
C . 63
D . 84
5．设函数
()f x =
{
1-33,1
1log ,1x x x x ≤->，则满足()3f x ≤的x 的取值范围是( )
A ．[)0+∞，
B ．[]-1,3
C ．[]0,3
D ．[)1+∞， 6．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )
A .
233 B .476 C ．6 D ．7 7．过三点()()()13,42,17A B C -，，
，的圆交y 轴于,M N 两点，则=MN ( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10
8．当m ＝7，n ＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为(
)
A ．7
B ．42
C ．210
D ．840
9．在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，90,301ACB BAC BC ∠=∠==o o
，，且三棱柱
111ABC A B C -的体积为3，则三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为 ( )
A ．16π
B ．12π
C ．8π
D ．4π
10．函数y ＝1
1－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
11．已知集合()22,1,94x y M x y ⎧⎫⎪⎪
=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
(){},,N x y y kx b ==+若k R ∃∈，使得M N ⋂=∅成立，则实数b 的取值范围是( ) A ．[]-3,3
B ．()()--33+∞⋃∞，，
C ．[]-2,2
D ．()()--22+∞⋃∞，，
12．设()()2
,,,f x ax bx c a b c R e =++∈为自然对数的底数.若()()
'ln f x f x x x
>
，则( ) A ．()()()()22ln 2,2f f e f e f e <> B ． ()()()()
22ln 2,2f f e f e f e << C ． ()()()()22ln 2,2f f e f e f e >< D ．()()()()
22ln 2,2f f e f e f e >>
第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知平面向量()()2,3,,6p q x =-=，且//p q ，则p q +的值为________。

14．若变量,x y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，
y ≥0，
且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为________。

15. 已知双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近线为2y x =，则双曲线的离心率为________。

16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55
5,15a S ==，则数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前100项和为 。

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17（本小题满分10分)已知命题p ：存在实数m ，使方程2
10x mx ++=有两个不等的负根；命题q ：存在实数m ，使方程()244210x m x +-+=无实根.若“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求m 的取值范围.
18（本小题满分12分) 如图，在ABC ∆中，=
3
B π
∠，8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，
1cos 7
ADC ∠=。

()I 求sin BAD ∠； ()II 求,BD AC 的长。

18题图
19（本小题满分12分）已知数列{}n a 是首项为11
4
a =
，公比为14q =的等比数列，设
()14
23log n n b a n N *+=∈，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅.
(1)求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n c 的前n 项和n S .
20. （本小题满分12分) 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点． (1)证明：BE ⊥DC ；
(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；
(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值．
21. (本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点P (1，3
2
)．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设过F 1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，问在椭圆C 上是否存在一点M ，使四边形AMBF 2为平行四边形，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．
22(本小题满分12分) 已知函数14341ln )(-+-=x
x x x f ． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）设42)(2
-+-=bx x x g ，若对任意)2,0(1∈x ，[]2,12∈x ，不等式)()(21x g x f ≥恒成立，
求实数b 的取值范围．
大庆铁人中学高三学年上学期期末考试文科数学参考答案
CDABAA CCADDB
13 12
-
5
100
101
17【解】若方程x 2
＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎩⎪⎨
⎪
⎧
Δ＝m 2
－4>0m>0
，解得m ＞2，
即m ＞2时，p 真.若方程4x 2
＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2
－16＝16(m 2
－4m ＋3)＜0，解得1＜m ＜3，即1＜m ＜3时，q 真.
因“p ∨q ”为真，所以命题p 、q 至少有一个为真， 又“p ∧q ”为假，所以命题p 、q 至少有一个为假，
因此，命题p 、q 应为一真一假，即命题p 为真，命题q 为假或命题p 为假，命题q 为真.
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m>2
m ≤1或m ≥3或⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ≤2
1<m<3，解得m ≥3或1＜m ≤2.
18解：（1）在ADC ∆中，因为1
cos 7
ADC ∠=
，所以43sin 7ADC ∠=，
所以()sin sin BAD ADC B ∠=∠-∠
sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠ 431137272
=
⨯-⨯33
14= （2）在ABD ∆中，由正弦定理得，
33
8sin 14=
3sin 43
7
AB BAD BD ADB ⨯
⋅∠==∠ 在ABC ∆中，由余弦定理得，
2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅
221
85285492
=+-⨯⨯⨯=
所以 7AC =
19. 解:(1)由题意，知a n ＝(14
)n (n ∈N *
)，
又b n ＝14
3log 2n a -，故b n ＝3n －2(n ∈N *
)．
(2)由(1)，知a n ＝(14
)n ，b n ＝3n －2(n ∈N *
)， 所以c n ＝(3n －2)×(14)n (n ∈N *
)．
所以S n ＝1×14
＋4×(14
)2
＋7×(14
)3
＋…＋(3n －5)×(14
)
n －1
＋(3n －2)×(1
4
)n ，
于是14S n ＝1×(14
)2
＋4×(14
)3
＋7×(14
)4
＋…＋(3n －5)×(14
)n
＋(3n －2)×(14
)n ＋1
.
两式相减，得
34S n ＝14＋3[(14)2＋(14)3＋…＋(14)n ]－(3n －2)×(14)n ＋1＝12－(3n ＋2)×(1
4
)n ＋1.
所以S n ＝2
3－
3n ＋23×(1
4
)n (n ∈N *)． 20. (1)证明 如图(2)，取PD 中点M ，连接EM ，AM .
由于E ，M 分别为PC ，PD 的中点，故EM ∥DC ，且EM ＝1
2DC .又由已知，
可得EM ∥AB 且EM ＝AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以BE ∥AM . 因为P A ⊥底面ABCD ，故P A ⊥CD .而CD ⊥DA ， 从而CD ⊥平面P AD .因为AM ⊂平面P AD ， 于是CD ⊥AM .又BE ∥AM ，所以BE ⊥CD .
(2)解 如图(2)，连接BM .由(1)有CD ⊥平面P AD ，得CD ⊥PD .而EM ∥CD ，故PD ⊥EM . 又因为AD ＝AP ，M 为PD 的中点，故PD ⊥AM ，所以PD ⊥平面BEM .故平面BEM ⊥平面PBD ， 所以，直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM .而BE ⊥EM ，可得∠EBM 为锐角，
故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD ＝22，而M 为PD 中点，可得AM ＝2，所以BE ＝2，故在Rt △BEM 中，tan ∠EBM ＝EM BE ＝AB BE ＝12，因此，sin ∠EBM ＝3
3.
所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为3
3
.
21.解 (1)∵c ＝1，1a 2＋94b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)假设存在符合条件的点M (x 0，y 0)，设直线l 的方程为x ＝my －1，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝my －1，
3x 2＋4y 2＝12，消去x 得：(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，由条件知Δ>0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，∴AB 的中点为(－43m 2＋4，3m
3m 2＋4)，
∵四边形AMBF 2为平行四边形，∴AB 的中点与MF 2的中点重合， 即⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0
＋12＝－4
3m 2
＋4
，y 0
2＝3m
3m 2
＋4.∴M (－3m 2＋123m 2＋4，6m
3m 2＋4
)，
把点M 的坐标代入椭圆C 的方程得：27m 4－24m 2－80＝0，解得m 2＝20
9，
∴存在符合条件的直线l ，其方程为：y ＝±35
10
(x ＋1)．
22.解：（I ）
143
41ln )(-+-=x
x x x f )0(>x ，22243443411)(x x x x x x f --=
--=' 由0>x
及0)(>'x f 得31<<x ；由0>x 及0)(<'x f 得310><<x x 或，
故函数
)(x f 的单调递增区间是)3,1(；单调递减区间是),3(,)1,0(∞+
（II ）若对任意)2,0(1∈x ，[]2,12∈x ，不等式)()(21x g x f ≥恒成立，
问题等价于
max min )()(x g x f ≥，由（I ）可知，在(0,2)上，1x =是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，
故也是最小值点，所以
min 1
()(1)2
f x f ==-
； []2()24,1,2g x x bx x =-+-∈ 当1b <时，max ()(1)25g x g b ==-；
当12b ≤≤
时，2max ()()4g x g b b ==-；当2b >时，max ()(2)48g x g b ==-；
问题等价于11252b b <⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ 或2
12142b b ≤≤⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ 或21482
b b >⎧⎪
⎨-≥-⎪⎩ 解得1b < 或14
12
b ≤
≤
或b ∈∅
即14
2
b ≤
，所以实数b 的取值范围是14,2⎛⎤
-∞ ⎥ ⎝⎦
．。