19.2 正比例函数(原卷版)

【变式5-2】（2022秋•任城区校级期末）在正比例函数y＝（m+1）x|m|﹣1中，若y随x的增大而减小，则m＝．
【变式5-3】（2022秋•句容市期末）在正比例函数y＝（m﹣2）x中，y的值随着x值的增大而减小，则m的取值范围是．
【变式5-4】（2022春•曲阜市期末）已知正比例函数y＝（3m﹣1）x|m|（m为常数），若y随x的增大而减小，则m＝．
【变式2-7】已知正比例函数y x，下列结论：①y随x的增大而增大；②y随x的减小而减小；③当x＞0时，y＞0；④当x＞1时，y＞1．其中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-8】（2022秋•渠县校级期中）三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（ ）
C．y随x的增大而减小
D．它的图象经过第二、四象限
【变式2-2】（2022秋•太原期中）下列正比例函数中，y随x的增大而增大的是（ ）
A．y＝2xB．y＝﹣2xC．y xD．y＝﹣8x
【变式2-3】（2021•湘西州模拟）下列图象中，表示正比例函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-4】在下列各图象中，表示函数y＝﹣kx（k＜0）的图象的是（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第一、四象限D．第二、四象限
解题技巧提炼
本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，根据正比例函数的性质判断k的范围是解题的关键．
【变式2-1】（2022春•古冶区期末）下列关于正比例函数y＝3x的说法中，正确的是（ ）
A．当x＝3时，y＝1
B．它的图象是一条过原点的直线
是（ ）
A．k＞3B．k＜3C．k＜﹣3D．k＜0
解题技巧提炼
由正比例函数的性质y随x的增大而增大（或减小），可以判断比例系数的符号，当y随x的增大而增大时，比例系数大于0，反之，比例系数小于0.
【变式5-1】（2023•惠阳区开学）已知正比例函数y＝mx|m|，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m的值为．
A．2B．1C．0或2D．0
【变式1-6】（2022春•丰南区期末）若函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，则k的值为（ ）
A．0B．±1C．1D．﹣1
【变式1-7】（2022春•金川区校级期末）已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+n﹣4是正比例函数，则m+n＝．
【变式1-8】（2022春•信都区期末）若一次函数y＝b﹣2x是正比例函数，则b＝，此时的比例系数是．
A．a≠4且b≠0B．a≠﹣4且b＝0C．a＝4且b＝0D．a≠4且b＝0
【变式1-4】（2021秋•静安区校级期末）下列问题中，两个变量成正比例的是（ ）
A．圆的面积和它的半径
B．长方形的面积一定时，它的长和宽
C．正方形的周长与边长
D．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高
【变式1-5】（2022秋•蜀山区校级月考）已知y＝（m﹣2）x|m﹣1|是关于x的正比例函数，则m的值为（ ）
（2）比例系数k是常数，且k≠0，必须同时满足这两个条件的才是正比例函数.
◆1、正比例函数的图象：
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过原点（0,0）和点(1，k)的一条直线.
◆2、正比例函数的性质：
正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．
当k＞0时，直线y＝kx依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；
◆2、求正比例函数解析式一般步骤是：
（1）设：设出正比例函数解析式y＝kx；
（2）代：将自变量与函数的一组对应值代入所设的解析式，得到关于待定系数k的方程；
（3）解：解方程求出待定系数k的值；
（4）还原：写出函数解析式．
【例题1】（2022秋•金塔县期中）下列函数中y是x的正比例函数的是（ ）
A．y＝x﹣3B．y C．y＝3﹣xD．y
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．b＞c＞a
【变式2-9】已知正比例函数y＝（m﹣1） 的图象在第二、四象限，求m的值．
【例题3】画出正比例函数y＝2x的图象．
解题技巧提炼
正比例函数的图象是一条经过原点的直线，因此可以用“两点法”画正比例函数的图象，所以经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．
【变式1-9】（2022秋•高陵区期末）若y＝（m+1）x|m+2|﹣2n+8是正比例函数，求m，n的值．
【变式1-10】（2021秋•临渭区期末）已知：函数y＝（b+2） 且y是x的是正比例函数，5a+4的立方根是4，c是 的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求2a﹣b+c的平方根．
【例题2】（2022•南京模拟）正比例函数y＝﹣3x的图象经过坐标系的（ ）
解题技巧提炼
利用正比例函数的性质比较函数值的大小的方法一般有三种：
（1）利用求值比较法；（2）利用数形结合的思想；（3）利用函数的增减性来比较大小.
【变式4-1】已知，函数y＝3x的图象经过点A（1，y1），点B（﹣2，y2），则（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2
C．y1＝y2D．y1、y2无法比较大小
八年级下册数学《第十九章一次函数》
19.2正比例函数
◆正比例函数的概念：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
◆正比例函数反应的是两个变量之间的关系，是正比例关系.
【注意】判断一个函数是正比例函数：（1）所给等式是形如y＝kx的等式，自变量的指数只能是1.
【变式3-5】（1）画出函数y＝﹣x的图象；
（2）判断点A（ ， ），B（0，0），C（ ， ）是否在函数y＝﹣x的图象上．
【例题4】（2022春•仓山区校级期中）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），那么一定有（ ）
A．m＞0，n＞0B．m＞0，n＜0C．m＜0，n＞0D．m＜0，n＜0
【变式5-10】已知函数y （k为常数）．
（1）当k为何值时，该函数是正比例函数？
（2）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而增大？
（3）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小？
【例题6】（2022秋•南海区校级月考）已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个正比例函数的表达式是（ ）
A．y＝x+5B．y xC．y xD．y＝﹣2x+3
【变式5-8】按照下列条件求k的取值范围：
（1）正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过一、三象限；
（2）正比例函数y＝（1 k）x中，y随x的增大而增大；
（3）已知y＝（1﹣m） 的图象经过一、三象限．
【变式5-9】已知正比例函数y＝（3m﹣2）x3﹣|m|的图象经过第一、三象限．
（1）求m的值；
（2）当 x＜2时，求y的最小值．
（1）在同一坐标系内画出函数的图象．
（2）探索发现：
观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与y轴的位置关系有何变化？
（3）灵活运用
已知正比例函数y1＝k1x；y2＝k2x在同一坐标系中的图象如图所示，则k1与k2的大小关系为．
【例题5】（2022春•道里区期末）已知函数y＝（k﹣3）x，y随x的增大而减小，则常数k的取值范围
A．y＝xB．y＝x+1C．y＝x2D．y
【变式1-2】（2022春•长安区校级期中）已知函数：①y＝2x﹣1；②y ；③y ；④y＝2x2，其中属于正比例函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】（2022秋•无为市月考）若y关于x的函数y＝（a﹣4）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（ ）
B．y1＞y2
C．y1＜y2
D．y1，y2的大小关系不确定
【变式4-4】（2022秋•玄武区期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣5x图象上的两个点，若x1﹣x2＜0，则y1y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【变式4-5】（2022秋•丹东期末）已知点A（﹣1，m），点B（2，n）在直线y＝8x上，则mn（填“＞”“＜”或“＝”）．
【变式5-5】（2021秋•上蔡县校级月考）若正比例函数y＝（a﹣2）x的图象经过第一、三象限，化简 的结果为．
【变式5-6】（2021秋•杨浦区期中）如果函数y＝（m﹣1） 是正比例函数，且y的值随x的值的增大而增大，那么m的值．
【变式5-7】（2021•包河区校级开学）已知正比例函数y＝kx，当﹣2≤x≤2时，函数有最大值3，则k的值为．
【变式4-6】（2022•宾阳县二模）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣3x上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y3＞y1＞y2D．y3＜y1＜y2
【变式4-7】（2022•榆阳区一模）若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数，如果A（1，a）和B（﹣1，b）在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（ ）
当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
◆3、若某函数图象是直线且经过原点（坐标轴除外），那么它对应的函数是正比例函数.
◆4、正比例函数的图象的位置、函数的增减性是由比例系数k的符号决定的；反过来也是成立的.
◆1、确定正比例函数的解析式就是确定正比例函数解析式y＝kx（k≠0）中的常数k．
【变式4-2】已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y＝﹣3x上的两点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2
C．y1＝y2D．以上都有可能
【变式4-3】已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函数y＝x的图象上的两点，则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＝y2
【变式3-1】请在同一平面直角坐标系上画出函数y＝2x，y x，y＝﹣0.6x的图象．
【变式3-3】在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象．
（1）y x；（2）y＝﹣3x．
【变式3-4】用你认为最简单的方法画出下列函数的图象．
（1）y＝5x；（2）y x．
A．﹣15B．15C． D．
【变式6-2】（2022春•望城区期末）已知y关于x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣6，则当x＝1时，y的值为（ ）
A．3B．﹣3C．12D．﹣12
【变式6-3】（2022春•聊城期末）若正比例函数y＝kx（k≠0）经过点 ，则k＝ ．
【变式6-4】（2021•碑林区校级模拟）若一个正比例函数的图象经过A（m，6），B（5，n）两点，则m，n一定满足的关系式为（ ）
A．a＜bB．a＞bC．a≤bD．a≥b
【变式4-8】（2021春•沙河口区期末）已知正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限，如果A（1，a）和B（﹣1，b）在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（ ）
A．a≥bB．a＞bC．a≤bD．a＜b
【变式4-9】已知函数y＝x；y＝﹣2x．y x，y＝3x．
解题技巧提炼
求正比例函数解析式一般步骤是：
（1）设：设出正比例函数解析式y＝kx；
（2）代：将自变量与函数的一组对应值代入所设的解析式，得到关于待定系数k的方程；
（3）解：解方程求出待定系数k的值；
（4）还原：写出函数解析式．
【变式6-1】（2022•广州）点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，则k的值为（ ）
A．m+n＝11B．m﹣n＝1C．mn＝30D．
【变式6-5】（2021•上海）已知函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1），请写出一个符合条件的函数解析式．
【变式6-6】（2021春•晋江市期末）已知y是x的正比例函数，且当x＝2时，y＝﹣6．
解题技巧提炼
正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
【变式1-1】（2022春•汶上县期末）下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-5】在直角坐标系中，y随x的增大而减小的正比例函数y＝kx的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-6】（2022秋•丰顺县校级期末）在y＝k1x中，y随x的增大而减小，k1k2＜0，则在同一平面直角坐标系中，y＝k1x和y＝k2x的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．