2020北师大高考数学(理科)模拟试卷A

３
１．
z２
绝密★启用前
考生须知:
2 0 2 0 北师大高考模拟试卷(三)
理科数学(A卷)
考生必须在答题卡上答卷,否则成绩无效;选择题的答案涂到答题卡对应题目的标号上,非选择题的答案书写在答题卡指定区域内
２．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡内
３．本试卷满分１５０分．考试时间１２０分钟
一、选择题(本题共１２小题,每小题５分,共６０分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)
１．已知集合A＝{x|x２－２x－３≥０},B＝{x|l o g２x≤１}．则A
∩B＝A．(０,２]B．[－１,２]C．[２,３]
D．∅
２．设z１,z２为共轭复数,且２z１＋z２＝３＋i,
则
z１
＝A．１B．i C．－i
D．(１＋i)/２
３．已知a＝l o g２３,３b＝２,c＝
π
,则
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
４．函数f(x)＝x(x＋s i n x)的图像大致是
５．一名奥林匹克１００m短跑选手在赢得比赛后,跑步向人群挥手,最后停下来观看体育场馆的大屏幕上比赛片段的重放．下面最能表示选手从比赛开始到比赛片段重放结束,选手跑过所有路程的速度变化的图象是
第１页共４页
３ ２ C ． D ． ２ ２ ２
３
３
２
２
３
a ２ ２
b
２ ６． 北京与上海空中直线距离大约１１６０k m ．民航机空中飞行的时间大约１３５ m i n ．
飞机升空后,一位乘客从飞机的舷窗垂直俯看地面的景物,他发现地面上的一个湖面大约要用１
m i n 的时间从舷窗中移过．已知飞机舷窗玻璃的宽度大约为２５c m ,
乘客看地面时眼睛与舷窗的视线距离大约为３０c m ．根据这些信息估算,飞机距地面的高度大约是 A ．１１６k m B ．１０３k m C ．９６k m D ．８４k m
７． 某公交车站每隔１０分钟来一辆公交车到站,乘客到车站的时间是任意的,一位乘客候车
时间不超过３分钟的概率是
A . １
B . １ ３ ７
１０
１０
８． 已知平面向量a ＝(x ,１),b ＝(１－x ,２x ),若(a ＋b )(a －b )＝０,
则x ＝ A ．０ B ．１ C ．０或１ D ．０,１
或１
９． 阅读右面的程序框图,其中输入的变量x 是在０,１ 两个数中
等可能产生,运行相应的程序,程序运行输出的结果可能性最大的是 A ．０或３
B ．１
C ．２
D ．１或２
１０．已知等差数列{a n
}的公差不为零,且a １ ＝ － ２
,a ２ ＋a ４ ＝a ３,S n 为 其前n 项和,则S ９＝
A ．－１８
B ．６
C ．１９
D ．７ １１．已知双曲线x ２ －y ２
＝１ 的焦点分别为F １,F ２,P 是双曲线上一点,
且∠F １P F ２＝１３５°,△F １P F ２ 的面积为２ ２－２,则b ２
＝
A ．
２
B ．１
C ．２
D ．２
１２．四面体 P ＧA B C ,∠A P B ＋ ∠A P C ＋ ∠B P C ＝９０°,且∠P A B ＝ ∠B A C ＝ ∠P A C ＝９０°
, A B ＝１,A C ＝２．则四面体P ＧA B C 的体积为 A ．１
B ．２
C ．
５
D ．
２
二、填空题 (本题共４小题,每小题５分,共２０分．
) １３．曲线f (x )＝a x ２
－l n x 在 (１,f (
１))处的切线方程是y ＝２x －１,则a ＝ ．１４．已知等比数列 {a n
}各项皆为正数,且公比q ≠１,a １＝３,S n 为其前n 项和,对任意的正整数a 有l o g a S ４－l o g a S ２＝l o g a
a ３,则S ４＝ ． 第２页 共４页
２
１５．
甲乙两人都想去看电影,但他们只有一张电影票,两人决定轮流掷一枚均匀的正反两面的硬币,正面先累计出现３次,甲去看电影,反面先累计出现３次,乙去看电影．当硬币掷出两次正面一次反面时,甲最终可以得到这张电影票的概率是 ． １６．已知椭圆Q :x ２
＋y ２＝１ (x ＞０),O 为直角坐标系原点,点A ,B 在椭圆Q 上移动,且满足∠A O B ＝９０°．则△A O B 面积的最小值是 ．
三、解答题(共７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第１７~２１ 题为必考题,
每个试题考生都必须作答．第２２、２３题为选考题,
考生根据要求作答．) (一)必考题 (共６０分．
) １７．(１２分)在△A B C 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c 满足条件a １c －
１
＝c o s A
．
(１)求c o s C ;
(２)若c ＝１,求△A B C 在边A B 上的高h 的最大值． １８．(１２分)如右图所示,在边长为１ 的正方体 A B C D ＧA １B １C １D １中,E ,F 分别是边A １D １,C １D １ 上的点,且D １E ＝
D １F ＝a , ０＜a ＜１．连接
E
F ,A E ,A C ,C F ．
(１)证明:平面A E F C ⊥平面B D D １B １;
(２)求平面A E F C 与平面B B １C １C 所成锐二面角的余弦值,
以及当a ∈(０,１
)时,这个锐二面角的变化范围． ３b c a b
１９．(１２分)在直角坐标系x O y 中,抛物线Q :y ２
＝x 与过(１,０)的直线l 相交于不同的A ,B 两点,抛物线在点A ,B 处的切线分别是l １,l ２．
(１)求两条切线交点的轨迹; (２)如果抛物线方程为y ２＝２p x ,p ＞０,所求轨迹方程是否与p 有关? 如果有,写出和p 相关的轨迹方程,若没有,请说明理由; (３)如果直线l 过(m ,０),m ＞０,则(１)中所求轨迹是否有变化? 若有,写出新的轨迹方程,若没有,请说明理由．
２０．(１２分)已知函数f (x )＝a x ２－x s i n x －c o s x ,a 是大于０的常数． (１)判断f (x )的奇偶性; (２)若f (x )在定义域内只有唯一的极小值点,求a 的取值范围; (３)在(２)的情况下,证明f (x )只有两个零点;并简述当a 越来越小,接近于０ 的时候,
f (
x )的零点个数的变化情况． 第３页 共４页
＝
s i n ,αy － －
２１．(１２分)
李华家里的扫地机器人发生了故障,只能向左右两个方向随机移动,且碰到墙壁就会停下来不再移动．如果机器人正处于房间的某个位置它的左侧是一面墙壁,右侧是充电 插座所在墙面,如果机器人移动到右侧墙壁就正好可以碰到插座进行充电,如果移动到左侧墙壁就只能停下来不再移动也不能充电．假设机器人每秒钟移动一次,每次可以移动长度为单位长度的一格,每次向左边移动一格的概率为p ,向右移动一格的概率为q ,p
≠ q ,p ＋q ＝１．
以左侧墙壁为原点,从左到右为正方向建立坐标轴,如下图所示,O 为左侧墙壁,
充电插座的位置在n 处．现假设扫地机器人在i 处．
(１)用 X 表示扫地机器人在i 处发生第一次移动所到达的位置坐标,求X 的分布列;(２
)设Q i 表示扫地机器人从i 出发左右随机移动,最终可以到达充电插座进行充电的概率,则有Q i ＝p Q i ＋１＋q
Q i －１,且Q ０＝０,Q n ＝１． (ⅰ)证明 {Q i ＋１－Q i },i ＝０,１,２,,n －１ 是等比数列; (ⅱ)令p ＝０４,q ＝０６,求通项公式Q i ; (ⅲ)如果p ＝q ＝０５,求Q i ． (３
)由前面结果,推断充分长时间后扫地机器人的行为,会在两个墙壁之间无休止的移动下去吗?
(二)选考题(共１０分．请考生在第２２、２３ 题中任选一题作答．
如果多做,则按所做的第一题计分．) ２２．【选修４Ｇ４:坐标系与参数方程】(１０分)
在直角坐标系x O y 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C １ 的极坐标
方程为:ρc o s θ－ρs i n θ＋１＝０,曲线C ２ 的参数方程为
x ＝２c o s α,
其中α 为参数． (１
)写出C １ 与C ２的直角坐标方程; (２
)求C １ 与C ２ 的交点坐标． ２３．【选修４Ｇ５:不等式选讲】(１０分) 已知a ,b 都是大于零的实数,且a ＞b ．
(１)证明a b １b ２ ≥a
４
２
; (２)证明
a b １
b ２ ＋a ≥３．
第４页 共４页
D
F E
2 0 2 0 北师大高考模拟试卷（三)
理科数学(A 卷)阅卷标准
1. D
B = {x ∣0＜x ≤2} ⇒ A∩B = ∅
2. B
解析：设 z 1 = x + yi ， z 2 = x - yi 则3x + yi = 3 + i
∴ x = 1， y = 1， z 1 = 1+ i ， z 2 = 1- i
z 1
= i 2
3. A
解析： a ＞1，b ＜1
c ≈ 1.04
而 2a = 3 ， 3
22
= 2 ⨯
2 ≈ 2 ⨯1.414
∴ a ＞ 3
＞c ＞b
2
4. C
， '显然，x ＜0 时， f '(x ) ＜0
x ＞0 时， f '(x ) ＞0
5. B
解析：C 、D 可立刻排除，A 到 100m 后速度没有减下来，不合理。

6. B
A
解析：如右图所示，A 为人眼所在位置，DE 是舷窗宽 宽度， BC 是地面的湖，FG 是飞机的高度，则 AF = DE
AG BC
其中，AF = 30cm ，DE = 25cm ， BC =
代入计算得： AG ≈ 10.3 km 1160 ⨯105 cm
135
∴ FG = AG - AF ≈ 10.3 k m
B
G
C
1 8
3
8
1 2
1 2
1 2
7. C
解析：几何概型Ω={ x│x∈[0,10] }
事件A={x│x∈[7,10] }
∴P( A) =3
8. C
解析：略
9.D
解析：输出结果实际为三次循环所得，记为S =x
1 +x
2
+x
3
其中x
1 ，x
2
，x
3
取值为0 或 1
则S = 3 和0 的概率都，S = 1 和2 的概率都是。

10. B
解析：a
2 +a
4
=a
3
，又a
2
+a
4
= 2a
3
∴ a
3
=0
可知公差11.D d =
1
3
S
9
= 6
解析：设PF
1 =m ，PF
2
=n
则m - n =2a
又4c2=m2+n2+ 2mn ⋅ cos∠F PF
= (m -n)2+ 2mn(1- cos∠F PF )
= 4a2+ 2mn(1- cos∠F PF )
又由面积条件知2 2 - 2 =1
mn ⋅sin ∠F PF
于是b
2= (2 2 - 2) ⋅
= 2
2 1 2
1- cos135o
sin135o
解析：将四面体沿PA 展开，并补成一个正方形。

易知PA = 3
体积=1
⨯ 3⨯
1
⨯1⨯ 2 = 1 3 2
⎪ A
2
13.
3 2
14.
15.
解析：略 9
(
2 + 2
)
4
解析： q = 2 2
3 4
解析：写出全部 5 次掷硬币的结果即可。

H ，T 分别表示硬币正面向上和反面向上。

(HHT)HT ，(HHT)HH ，(HHT)TH ，(HHT)TT ，
16.
2 3
解析：设 OA 所在直线的方程为 y = kx ， 则
OB 所在直线的方程为 1
k
⎧ y = kx
⎧x 2
= 2 ⎨ x 2 ⎪ A ⇒ ⎨ + y 2 = 1 2k 2 +1 2k 2
⎪⎩ 2 ⎪ y 2 =
⎩⎪
A 2k 2 +1
OA 2
= x A
2 + y 2 = 2k 2 + 2
2k 2
+1
同理得
OB 2 = 2 1 + 2 k 2
2 1
+1 k 2
S
V AOB
= 1
OA 2 ⨯ OB 2 4
k 2 + 1 + 2
= k 2
2k 2 + 2 1 + 5
k 2
= 1- 3
2k 2 + 2 1
+ 5
k 2
≥ 1- 3 = 2
9 3
uv u u v n 1 n 2
1 (a -1)2
+ 2
sin B - 1
sin A = sin C ⋅ cos A
3
⇒ sin( A + C ) - 1
sin A = sin C ⋅ cos A
3 ⇒ cos C ⋅ sin A - 1
sin A = 0
3
⇒ cos C =
1 5 分
3
（2）等价于求V ABC 面积最大值。

S = 1 hc = 1
h V ABC
2 2
又 S
= 1 ab sin C = 2 ab V ABC
2 3
∴ h =
2
3
2ab 又由余弦定理： 代入 c = 1 得
a 2 +
b 2 -
c 2 =2ab cos C 22
- 2 3
≥ 2ab - 2
ab
3 =
4 ab 3
∴ ab ≤ 3 ⇒ 4
∴ h 的最大值是
h = 2
3
2
2
2ab ≤ 2
2 7 分
18. （1）显然 AC ⊥BD ，且 AC ⊥BB 1
∴ AC ⊥面 BDD 1B 1
⇒
AEFC ⊥BDD 1B 1
（2）建立直角坐标系，D 是原点（0,0）
DD 1 在 z 轴上，DA 在 y 轴上，DC 在 x 轴上
则 A （0,1,0）
C （1,0,0） E （0,a ,1）
uv u u u v u u u v
4 分
AEFC 的法向量 n 1 = AC ⨯ AE = (-1, -1, a -1) uuv
BB 1C 1C 1 的法向量 n 2 = (-1, 0, 0)
设二面角为θ， cos θ= n 1 ⋅ n 2
= 7 分
a ∈(0,1) 时， 3 ＜ cos θ＜ 3 2
，θ不小于 45° 1 分
2
x 1 x 2 2 x 1 2 x 2 1 2 x 1
1 2 x 2
x 1 x 2 x 2 x 1 ⋅ x 2
x 1 x 2 x 1x 2 ⎩ 19. 解：（1）设 l 方程为 y = k (x -1) ， A (x 1, y 1 ) B (x 2 , y 2 )
⎧ y = k (x -1) ky 2 - y - k = 0
⎨x = y 2
⇒ y 1 y 2 = -1 ⇒ = - y 1 y 2 = 1
不妨设 y 1 ＞0， y 2 ＜0，
则在 A 、B 处切线的斜率分别是（求导得）： 1
， - 1
则切线l ： y - y = (x - x )
① A 1 1
切线l ： y - y = - (x - x )
②
B 2 2
① - ②： y 2 - y 1 = x ( 2 x 1 + x x x 2 ) - 1 ( + )
2 1 2
由 y 1 = ， y 2 =- 以及 = 1 代入得
x = - ∴ x = -1
6 分
（2）不论 p 取何值，可以判断轨迹必为直线：
x = c （ c ＜0）
可重复前面的过程得： x = -1
或对特殊情况求交点：在(1, 2 p ) 和(1, - 2 p ) 处的切线的交点坐标为(-1, 0)
∴ x = -1
3 分
（3）若l 过(m , 0) ， l 的方程是 y = k (x - m )
⎧ y = k (x - m )
⎨ ⇒ ky 2 - y - k m = 0 ⎩ x = y 2
∴ y 1 ⋅ y 2 = -m ， = - y 1 y 2 = -m
∴ x = - = -m
3 分
x 1 x 1 ⋅ x 2
20. （1） f (-x ) = f (x ) 偶函数 （2） f '(x ) = x (2a - cos x )
f '(0) = 0 ，是可疑极值点
2 分
若 2a - cos x = 0 无解，则必恒大于 0 或恒小于 0，从而 f (x ) 在 x ＜0 和 x ＞0 时的单调性必(0, ) n -1
n ，。