杨辉三角与二项式系数的性质一ppt课件

最大项与增减性
增减性的实质是比较 Cnk与Cnk1的大小.
Cnk
k
!
n! (n
k)!
n
k k
1
(k
1)!
n! (n
k
1)!
n
k k
1
C k1 n
所以C
k n
相对于C
k n
1的增减情况由
nk 1 1 k n1
nk k
1 决定．
k
可知，当
k
n
1
2
时，
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后
1 C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
6 15 20 15 6 1
你知道这是什么图表吗？
《 杨辉 三角
详
解
九 章
杨
算
辉
法
》
记
载
的
表
以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的
《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角，
杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪
(3)a1 a3 a5 a7 (4)a0 a2 a4 a6
解 : 设f (x) (1 2x)7
(3) f (1) a0 a1 a2 a7 f (1) a0 a1a2 a3 a7
2(a1 a3 a5 a7) f (1) f (1)
a1 a3 a5 a7
倒序相加法
知识对接测查3
1.C110 C120
C 10 10
2_1_0__1_; 1023
2 1024C171
C191
C 11 11
_1_0 ___ .
2.求证：Cn0 2Cn1 3Cn2 n 1Cnn n 2 2n1
证明：∵ 2 Cn0 2Cn1 3Cn2 n 1Cnn Cn0 2Cn1 3Cn2 n 1 Cnn
6
1
O nn
2
n为偶数； 如n=6
f（r）
35
30
n为奇数； 如n=7
20 10
O r
3 n4
7
n
2
①关于r=n/2对称
②r=3和r=4时取得最大值
总结提炼3:
n是偶数时，中间的一项 取得最大值；
n
C2 n
11 121
n1 1 3 3 1
当和值n。C是nn奇21 数相时等，，中且间同的时两取项得最C大n2 1
4
6
4
1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
知识探究4:
1 二项式系数求和： 1 20
11
2 21
1 21 13 31 14641
4 22 8 23 16 24
1 5 10 10 5 1
32 25
1 6 15 20 15 6 1 64 26
猜想 : Cn0 Cn1 Cn2....... Cnn 2n
总结提炼2:
C C m
nm
n
n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
第1行———
C
10C
1 1
第2行——
C
0 2
C
1 2
C
2 2
第3行—-
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
第4行—
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
对称
11 121
1 33 1
1 4641
第5行--
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于 11世纪。杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我 国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。
11
观察：从图中你能得 出哪些性质？
121 1 33 1 1 4641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
思考：会证明这些性质吗？
系数和是______
分析: 设f (x) (1 x x2 x3)4
a0 a1x a2x2 ... a12x12 f (1) a0 a1 a2 a12 44
f (1) a0 a1a2 a3 a12 0
思考1求证: (Cn0 )2 (Cn1 )2 (Cn2 )2
总结提炼1:
a).表中每行两端都是1。 b).除1外的每一个数都等
于它肩上两个数的和。
11
例如：2+1=3
1 22 11 1 3 33 1 1 44 66 4 1 1 5 1100 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
4C+160C=1110
C +C =C = 因为：C21
0 2
C2221
复习提问
1.二项式定理的内容
(a+b)n= Cn0an+C1nan-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn
右边多项式叫(a+b)n的二项展开式；
2.二项式系数: Cn0 ,Cn1 ,Cn2 ,Cnr ,Cnn
3.二项展开式的通项Tk+1= Cnk ankbk
针对(a+b)n的 标准形式而言
(b+a)n，(a-b)n的通项则分别为:
得
7
2 5
r
8
2 5
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为
T9 C280 312 28 x12 y8
（3）因为系数为正的项为奇数项，故可 设第2r-1项系数最大。（以下同2）
r=5.
1.研究斜行规律 2.研究杨辉三角与斐波那契数列的关系
1.研究斜行规律：
第一条斜线上：
1+1+1+1+1+1=6
n 1 Cn0 nCn1 2 Cnn1 Cnn
n 2 (Cn0 Cn1 Cn2 Cnn )
n 2 2n 倒序相加法
Cn0 2Cn1 3Cn2 n 1Cnn n 2 2n1
类型：求展开式中系数最大的项
例5： 求1 2x10的展开式中系数最大的 项
方法:利用通项公式建立不等式组
思考3在(3x -2y)20的展开式中，求：(1)二项 式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3)
系数最大的项;
解:(2)设系数绝对值 最大的项是第r+1项.
则
C2r0
320r
2r
C r1 20
319r
2r1
C2r0
320r
2r
C r1 20
321r
2r1
即
3(r+1)>2(20-r) 2(21-r)>3r
C 2322
3
C +C =C = 10 1
2
2
C
0 3
4C
1 3
4C
2 3
C5
3 3
c c c + = C
0 4
C
1r-1
n4
C
2r
4n
C
4n3r +1C
4 4
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
当n不大时，可用该表来求C 6二0 C项61 式C系62 数C。63 C
4 6
C
5 6
C
6 6
即
Crr
Cr r 1
Cr r2
Cnr1
Cnr 1 (n
求证 : Cn0 Cn1 Cn2....... Cnn 2n
证明:
在（a+b）n＝Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+ …+ Cnran-rbr+ …+Cnnbn
令a=b=1，则
2n
C
0 n
Cn1
C
2 n
C
r n
Cnn
启示：在二项式定理中a,b可以取任意数或式子，
因此我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决 二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
（1）令x 0 即f (0) (1 2 0)7 1,
展开式右边即为a0
a0 f (0) 1
（2）令x 1 f (1) (1 21)7 1
a1
a2
...
a7
(aa0 0aa11a2
a7
a7 ) a0
f (1) f (0) 11 2
例2
已知(1 2x)7 a0 a1x a2x2 a6x6 a7x7
．．．＋
C1 ＝ n1
2 （第2条斜线 ）
n
C 1＋3＋6＋
．．．＋
C2 ＝ n1
3 （第3条斜线 ）
n
C C 1＋4＋10＋ ．．．＋ 3 ＝ n1
4 （第4条斜线 ）
n
? C r r
Cr r 1
Cr r2
Cr n1
C r1 n
(n>r)
结论1：杨辉三角中，第m条斜(从右上 到左下)上前n个数字的和，等于第m+1 条斜线上第n个数
新课引入
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
C10
C
1 1
C
0 2
C
1 2
C
2 2
C30
C
1 3
C32
C
3 3
11 121 1 33 1
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
1 4641
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C55
1 5 10 10 5 1
(C
n n
)2
C2nn .
略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开
后比较xn的系数得：
C
C0 n
nn
C
C1 n1
nn
Cn2Cnn2
Cnn1Cn1
CnnCn0
C
n 2n
再由
Cnm
C nm n
得
(C
0 n
)2
(C
1 n
)2
(C
2 n
)2
(Cnn )2
C
n 2n
.
思考2求证C：n0 2Cn1 3Cn2 n 1Cnn n 2 2n1
Tk 1 Cnkbnk ak ;Tk 1 Cnk ank (b)k
4.在定理中，令a=1，b=x，则
(1 x)n Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnr xr Cnn xn
观察猜想
(a+b)n= Cn0an+C1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn
展开式的二项式系数Cn0 ,Cn1 ,Cn2 ,Cnr ,Cnn 有什么变化规律？二项式系数最大的是哪 一项？ 为了研究它的一般规律，我们先来观察 n为特殊值时，二项展开式中二项式系 数有什么特点？
半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
还有没有其他解释呢？
知识探究3:
函数角度：
Cr n 可以看成以r为自变量的函数
f（r），其定义域是｛0,1,···,n｝。
图象法解释
①当n=6时，二项式系数 C（6r 0≤r≤6）用图象表示：
7
f(r)
个
20
孤
立
14
的
点
6
O
36
r
图象法解释
f（r）
20
15
进一步思考: （2）试证明在(a+b)n的展开式中，奇
数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数
的即和证.：Cn0
C
2 n
Cn1 Cn3
2n1
证明：在展开式Cn0an Cn1an1b Cnnbn中
令a=1，b=－1得
(1 1)n
Cn0
Cn1
C
2 n
Cn3
(1)n Cnn
即0 Cn0 Cn2 Cn1 Cn3
3 5
C
4 5
C
5 5
1 5 10 10 5 1
第6行-
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
1 6 15 20 15 6 1
知识探究3:
(a+b)1
(a+b)2
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
11 121
(a+b)3
C
0 3
C13
C
2 3
C
3 3
1 33 1
(a+b)4
C
0 4
C
1 6
第二条斜线上：
1+2+3+4+5=15
C2 6
第三条斜线上：1+3+6+10=20 C 3 6
第四条斜线上：1+4+10=15
C4 6
猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下） 上前n个数字的和，等于 第m+1条斜线上的第n个数.
1＋1＋1＋ ．．．＋1＝ 1 （第1条斜线 ）
Cn
C 1＋2＋3＋
求:(1) a1 a2 a7 ； -2
(2) a1 a3 a5 a7 ； 1094
(3)a0 a2 a4 a6
;
37 1 1093 2
(4)| a0 | | a1 | | a7 | 2187
小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解
练习（: 1 x x2 x3）4的展开式中奇次项
证明：∵ 2 Cn0 2Cn1 3Cn2 n 1Cnn Cn0 2Cn1 3Cn2 n 1 Cnn
n 1 Cn0 nCn1
2
C n1 n
Cnn
n 2 (Cn0 Cn1 Cn2 Cnn )
n 2 2n
Cn0 2Cn1 3Cn2 n 1Cnn (n 2) 2n1
f (1) f (1) 2
1 37 2
(4)2(a0 a2 a4 a6 ) f (1) f (1)
课外作业:
1.若（2x 3)4 a0 a1x a2 x2 a3 x3 a4 x4 ,
则（a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 的值是____.
已知 (1 2x)7 a0 a1 x a2 x2 a7 x7
C
0 n
C
2 n
C
1 n
C
3 n
小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特
定的值1，-1等来整体得到所求。
还有没有其他思考方法呢？
赋值法
已知(1 2x)7 a0 a1x a2x2 a6x6 a7x7 求：(1)a0 (2)a1 a2 a3 ... a7