3-4函数的单调性曲线的凹凸与拐点

y x3在(,)上单调增加.
y x3,
y y f (x)
y
o
x0
xo
x0
x
显然y f ( x)单调上升
当上升情况有明显的不 同
x0 : 称为拐点
定义：连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
y
y f (x) B
f ( x) 递增 y 0
A
f (x)
oa
bx
y y f (x)
综上可知，方程f ( x) 0，即 x a sin x 1(0 a 1)在 ( , )内有且仅有一个实根.
曲线的拐点及其求法
1、定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
2、拐点的求法
与极值点的判别类似，f ( x) 0的点和 ff((xx))不存的在点
曲线拐点的求法
f ( x) 0的点和 f ( x)不存在的点，是拐点横坐标的 可疑点。
如果在 x0 的左右两侧邻近 f ( x)变号，则 x0 , f ( x0 )
是曲线的拐点；
如果在x0 的左右两侧邻近, f ( x)不变号,则 x0 , f ( x0 )
不是拐点。
x (, 0)
0
(0, 1 )
4
1 4
y +
不存在 –
0
y
拐点(0,0)
拐点 (1 , f (1))
44
(1 , ) 4
+
思考题
设 f ( x)在(a, b)内二阶可导，且 f ( x0 ) 0 ， 其中 x0 (a, b)，则( x0 , f ( x0 ))是否一定为 曲线 f ( x)的拐点？举例说明.
的点，是拐点横坐标的可疑点。如果在x0 的左右两
侧邻近 f ( x)变号，则x0 , f ( x0 ) 是曲线的拐点；如 果在x0 的左右两侧邻近, f ( x)不变号, 则 x0 , f ( x0 )不
是拐点。
例2 求曲线 y 3x 4 4x 3 1的拐点及凹、凸的区间.
3.4.3利用函数的单调性证明不等式
例4 试证：当x 1时，2 x 3 1 . x
证 设 f ( x) 2 x 3 1 ？ f (1) 0
x
f ( x)
1 x

1 x2

1 x2
(
x
3 2
1)
f ( x) 在 [1, ) 上连续, 又对 x (1,), f ( x) 0
f (t ) e t 在 ( x, y) 或 ( y, x) 是凹的.
于是 1[ f ( x) f ( y)] f ( x y)
2
2
即
ex
ey
x y
e 2
2
思考题解答
因为 f ( x0 ) 0只是( x0 , f ( x0 ))为拐点
的必要条件，
故( x0 , f ( x0 ))不一定是拐点.
例 f ( x) x4 x (,) f (0) 0
但f ( x) 12 x 2 0 (当x 0时)
故(0,0)并不是曲线 f ( x)的拐点.
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
当x 0时,导数不存在.
y 3 x2
当 x 0时， f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
3.4.2 单调区间求法
y 3 x2
y 4
5
x 3,
3
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是凹的;
在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的. 点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
y
凸的
单增
y f ( x)单增
注：拐点是曲线上的点,从而拐点的坐标需用横坐标 与纵坐标同时表示,不能仅用横坐标表示.这与驻点及 极值点的表示方法不一样.
例2 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及 凹、凸的区间.
凹凸区间为 (,0], [0, 2 3], [2 3 ,).
方法2: 设函数 f ( x) 在 x0 的邻域内三阶可导,且 f ( x0 ) 0,而 f ( x0 ) 0,那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x)的拐点.
函数单调减少；
f (x) e x 1
在(0,)内, y 0, 函数单调增加.
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导 数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的 导数符号来判别一个区间上的单调性．
例2 讨论函数 f ( x) 3 x 2 的单调性.
解 D : (,).
1 x 1 x f ( x) C[0,), 又 x (0,), 有 f ( x) 0
f ( x) 在 [0,) 上递增 当x 0时，f ( x) f (0) 0
即 x ln(1 x) 0
3.4.4利用函数的单调性证明方程仅有一 根
例6 证明方程 x a sin x 1(0 a 1)在(, )内有且仅有一个实根。
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
定义 设 f ( x) CI , 若对 x1、x2 I ,有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
2
2
则称 f ( x) 在 I 上的图形是(向上)凹凸的
y
y f (x)
0
x1
x1 x2
x2
x
2
利用函数的凹凸性证明不等式
证 设 f ( x) x a sin x 1,则 f ( x) 在(,)内连续，
f ( x) 1 a cos x 0, f ( x)在 (,)内至多有一个实根
又f (0) 1 0, f ( ) 1 0, 又 f ( x) 在[0, ]内连续， 由零点定理，f(x) 0在区间(0 , )内至少有一个实根.
y f (x)
f (x)
B
oa
bx
定理3.4.1 设 y f ( x) C [a,b]、 D(a,b),
若对 x (a,b),有 10. f ( x) 0, 则 f ( x)在 [a,b]上递增; 20. f ( x) 0,则 f ( x)在 [a,b]上递减 .
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, y x3 , y 3x2 0, y x0 0,
4
4
在[0,2]内曲线有拐点为 (3 ,0), (7 ,0).
4
4
例5 判断曲线 y (x 1)3 x5 的凹性, 并求其拐点.
解
定义域为 (-, )
而
y

8
5
x3

5
2
x3
3
3
y 10 4x 1 9 3x
令y 0 x 1 4
当x 0 时, y 不存在. 列表如下 :
34函数的单调性曲线的凹凸与拐点函数的单调性函数单调性函数单调性教案函数的单调性与最值函数单调性说课稿复合函数的单调性复合函数单调性函数单调性的定义函数的单调性教案反比例函数单调性
第四节函数的单调性 曲线的凹凸与拐点
y
A oa
y f (x) B
f ( x) 0
f (x)
bx
f ( x) 0 y A
• P.200 第2题
定义 设 f ( x) CI , 若对 x1、x2 I ,有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
2
2凹
则称 f ( x) 在 I 上的图形是(向上)凸的
例6
证明不等式 e x
ey
x y
e 2 ,(x
y).
2
证 令 f (t ) e t 则 f (t ) f (t) e t 0
y x3
y 6x
0, 0,
x0 x0
y x3
注意: 若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x)的拐点.
y
y3 x
例 求曲线 y 3 x 的拐点.
o
x
解
当x 0时,y 1 Nhomakorabea2
x 3,
定义:若函数在其定义域的某个区间
内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 如右图，函数在定义区间上不是单调的，但在各 个部分区间上单调．
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点．
方法:用方程 f ( x) 0的根及 f ( x)不存在的点 来划分函数 f ( x)的定义区间,然后判断区间内导 数的符号.
f ( x) 在 [1,) 上递增.
则对 x 1, 有 f ( x) f (1). 即 f ( x) 2 x 3 1 0 f (1)
x
例5 当x 0时,试证x ln(1 x)成立.
证 设f ( x) x ln(1 x), 则 f ( x) 1 1 x
例3 确定 f ( x) 2x 3 9x 2 12 x 3 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)(x 2) 解方程f ( x) 0 得， x1 1, x2 2. 当 x 1时， f ( x) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时， f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x 时， f ( x) 0, 在[2,)上单调增加； 单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
B
f ( x) 递减 y 0
A
o
ax
f (x)
b
定理 设 f ( x) C[a,b], 在 (a, b) 上具有二阶导数
若对 x (a,b),有 10. f ( x) 0, 则 f ( x) 在 [a,b]上是凹弧；
20. f ( x) 0, 则 f ( x) 在 [a,b]上是凸弧.
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
曲线凹凸的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
y f (x)
y
y f (x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
单减
凹的
拐
点
极
小
值
a
o
单减
极拐
大点
值
拐
点
极 拐小 点值
bx
函数的作图需要研究函数的几何性态, 是 导数应用的综合考察.
3.4.1 函数的单调性的判断
例1 讨论函数y e x x 1的单调性.
解 y e x 1.又 D : (,). 在(,0)内, y 0,
例3 求曲线 y sin x cos x ([0,2]内) 的拐点.
解 y cos x sin x , y sin x cos x ,
y cos x sin x .
令
y 0,
得
x1

3 4
,
x2

7 4
.
f (3) 2 0, f (7) 2 0,
解 D : (,) y 12x3 12x2, y 36x( x 2).
令y 0,
得
x1

0,
x2

2 3
.
3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23 ,)
f ( x)
0

0

f ( x) 凹的
拐点 (0,1)
凸的
拐点 (2 3 ,1127)
凹的