全国高中物理竞赛几何光学训练题答案

【训练题答案】
1、两块平面镜宽度均为5=L cm ，相交成角︒=12α，如图（a ）所示，构成光通道。

两镜的右端相距为2=d cm ，左端靠在光接收器的圆柱形的感光面上。

试问入射光线与光通道的轴成的最大角度m ax ϕ为多少，才能射到光接收器上？
解：从最大角度射入的光线应当与光接收器表面相切。

为了简化解题，可以讨论入射光线在两块平面镜之间未经受多次反射就通过平面镜系统的情况。

如图（b ）所示，由三角形AOC 得到光接收器圆柱形表面的半径 2
sin
2α
d r L =
+
L d r -=
2
sin
2α
由于平面镜的反射不会影响到光线到接收器圆心的垂直距离，故可以不考虑多次反射的情况。

从三角形ABO 中可以知道
477.02
sin 21sin =-=+=
αβd L r L r 故 ︒=5.28β
于是 ︒=+=5.342max αβϕ
2、如图（a ）所示，两平面镜A 和B 的镜面分别与纸面垂直，两镜面的交线过图中的O 点，两镜面间夹角为︒=15α，今自A 镜面上的C 点处沿与A 镜面夹角
︒=30β的方向在纸面内射出一条光线，此光线在两镜
面经多次反射后而不再与镜面相遇。

设两镜面足够大，
1=CO m 。

试求：
（1）上述光线的多次反射中，最后一次反射是发生在哪块镜面上？ （2）光线自C 点出发至最后一次反射，共经历多长的时间？ 解：首先就一般情况进行讨论，如图（b ）。

设光线第一次在平面镜B 上发生反射时，CD 为入射光线，DE 为反射光线，又设图中的A 为平面镜A 关于OB 的对称镜面，则图中E D '
图（a ） 图（b ）
图(a)
与DE 也关于OB 对称，即DE E D ='。

又由光的反射定律和图中的对称关系容易得出：C 、D 、E '三点在同一直线上，且E D '对平面镜1A 的入射角等于DE 对平面镜A 的入射角。

因此光线由E D C --所经过的路径和它将进一步发生反射的情况，可以用光线在D 处不发生反射而沿直线前进至镜面1A 上的情况来代替。

对于E 点反射后的光线EF ，通过同样的分析也可用F E ''来代替，其中平面镜1B 为平面镜B 关于1A 的对称镜面，F '为直线
CD 与平面镜1B 的交点。

显然，对于以后的各次反射，我们按照上法依次类推下去，其等效关系都能照样成立。

根据以上分析，我们自OB 出发，每隔α角画一块对称镜面，如图（c ）所示。

令其自OB 镜面起，依次为第1、第2、…第n 、第)1(+n 块镜面，再做射线CD ，使其依次与所有可能相交的镜面相交，设其相交后的最后一块镜面为第n 块，其交点K ，则有 αn AOK =∠
这样得出的图的意义是：CD 射线与每一块镜面相交一次，则相当于光线在AB 两镜面间反射一次，在K 点相当于发生最后一次反射，此后的光线不再与第)1(+n 块镜面相遇，即光线此后将在AB 两镜面间平行于某一镜面向外射出。

由图可见，由于第n 块镜面与CD 射线相交，而第)1(+n 块镜面与CD 射线不相交，故
n 值应满足关系式是
βαβα++≤︒<+)1(180n n 所以 1180+≤-︒<
n n α
β
（*）
（1）根据（*）式结合本题所给的条件有
10180=-︒α
β
故得9=n ，即光线自C 点出发后，还将分别在A 、B 镜面上总共发生9次反射，这样便可确定其最后一次反射是发生在平面镜B 上。

（2）光线自C 点出发至最后一次在B 镜面上发生发射，所经历的总路程长等于图中CK 的长度。

在图中OCK ∆中，有
图（b ）
E A
图（c ） B
A
︒==∠135αn COK ︒=--︒=∠15180αβn CKO
以θ表示CKO ∠，由正弦定理有
)
sin(sin αθn CK
OC = 73.22
3222sin )
sin(=-
=
⋅=
θ
αn CO CK （m ）
光线由C 至K 所经历的时间即为光线由C 出发，在A 、B 间多次反射至最后一次在B 镜面上反射所经历的总时间，即
98101.910
373
.2-⨯=⨯==
c CK t （s ）
3、在半径2=R m ，孔径5.0=d m 的凹面镜的焦点位置上，放置一块圆形屏幕，使平行于轴的所有入射光线经凹面镜反射后都能到达该圆形屏幕。

试求圆形屏幕直径。

解：对凹面镜的所有近轴光线，经凹面镜反射后都将会聚于啊凹面镜的焦点上，显然，本题中的平行于主轴的光线不能看成近轴光线。

如图（a ）所示，O 为凹面镜的曲率中心，F 为其焦点，h 表示凹面镜孔径之半。

过P 点的平行于主轴的光线反射后交主轴于1F 点，则
2
cos 21
1R
R OF OF FF -=-=α 在直角三角形FQ F 1中，应用小量近似，可得
2
32
1122
sin )cos 1(sin 2sin 2
sin 2sin )2
cos 2(2sin 2tan R h R R R
R R
R FF FF x ≈⋅
=-=-=-=≈=ααααα
ααααα
将数值代入后可得95.1=x mm 。

因此，圆形屏幕直径为3.9mm 。

4、有一只厚玻璃缸，底厚5cm ，内盛4cm 深的水，如图（a ）所示。

已知玻璃和水的折射率分别为1.8和1.33。

如果竖直向下看，看到缸底下表面离水面的距离是多少呢？
F O Q
1F P α2 α
h
α 图（a ）
解：所谓的“竖直向下看”，可以理解成小角度的折射，这是一个重要的条件。

在图（b ）中，从缸底A 点发出一条光线经过F 、E 向J 方向射出，入眼观察后感觉A 点在D 处，人看到缸底下表面离水面的距离就是KD CK CD +=。

过F 做JD 的平行线FH ，有
KLD ∆≌BFH ∆，BH KD =， 所以 BH IL CD += ①
因为当时θ很小时，有θθsin tan =，而α、β、γ都很小，所以在ILE ∆，有 ααsin tan IE IE IL == ② 在IFE ∆中，有
ββsin tan IE IE IF == ③ 由②、③式可得
水n IF IF
IL ==α
β
sin sin ④ 在BHF ∆中有 ααsin tan BF BF BH == ⑤ 在BAF ∆中有 γγsin tan BF BF BA == ⑥ 由⑤、⑥式可得
玻璃n BA BA BH ==α
γ
sin sin ⑦ 将④⑦式代入①式，可得
)
cm (4.36.8163.314BA =+=+=）（玻璃
水n n IF CD
5、（第十七届全国中学生物理竞赛预赛）有一水平放置的平行平面玻璃板H ，厚3.0 cm ，折射率 1.5n =。

在其下表面下2.0 cm 处有一小物S ；在玻璃扳上方有一薄凸透镜L ，其焦距30cm f =，透镜的主轴与玻璃板面垂直；S 位于透镜的主轴上，如图（a ）所示。

若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到S 的像就在S 处，问透镜与玻璃板上表面的距离为多少?
解：物体S 通过平行玻璃板及透镜成三次像才能被观察到。

设透镜的主轴与玻璃板下表面和上表面的交点分别
为A 和B ，S 作为物，通过玻璃板H 的下表面折射成像于点1S 处，由图（b ），根据折射定律，有
sin sin n i n r '=
式中 1.0n '=是空气的折射率，对傍轴光线，i 、r 很小，sin tan i i ≈，sin tan r r ≈，则
AD AD
n SA S A
= β
α 图（b ）
B
H
F
C
I
水
玻璃
E
y A
J
K L D 图（a ）
式中SA 为物距，1S A 为像距，有
1S A nSA = （1） 将1S 作为物，再通过玻璃板H 的上表面折射成像于点2S 处，这时物距为11S B S A AB =+．同样根据折射定律可得像距 12S B
S B n
=
（2） 将2S 作为物，通过透镜L 成像，设透镜与H 上表面的距离为x ，则物距2u x S B =+．根据题意知最后所成像的像距
()v x SA AB =-++，代入透镜成像公式，有
2111
f
x S B x SA AB -=+++ （3）
由（1）、（2）、（3）式代入数据可求得
1.0cm x = （4） 即L 应置于距玻璃板H 上表面1.0 cm 处。

6、如图所示，全反射棱镜上方6cm 处放置一物体AB ，棱镜直角边长为6cm ，棱镜右侧10cm 处放置一焦距的
101=f cm 的凸透镜，凸透镜
右侧15cm 处再放置一焦距为
102=f cm 的凹透镜，求该光
学系统成像的位置和放大率（全反射棱镜的折射率
1.5n =）。

解：物体AB 经斜面全反
射，在它的右侧成像，但像的位置却不能根据平面镜成像的特点确定，因光线经直角面时均要发生折射。

对斜面来说，它看到的物体AB 离三棱镜上侧直角面的距离
13
69(cm)2
h nh ==
⨯= 经棱镜斜面成的像在棱镜的右侧（垂直于图中主轴），离右侧直角面的距离应为 13315(cm)l h =++=
但对棱镜右侧的凸透镜来说，它看到的像离棱镜右侧直角面的距离应为视深2h ，即
151.510(cm)h l h ===
图（b ）
6cm
6cm
10cm 15cm A
B
︒45
︒45
所以对凸透镜来说
)cm (20cm )1010(1=+=u 由凸透镜成像公式
1
11111f v u =+ 得 cm 201=v 则对凹透镜来说
215(cm)u d v =-=- 由成像公式
2
22111f v u =+ 得 210cm v =
结果表明最后的像成在凹透镜右侧距离凹透镜10cm 处，为倒立实像。

最后像的放大率为1212
|
|||2v v
m u u =⋅=。

7、球形介质中物体的视深会发生变化。

有一个直径为8cm 的实心玻璃球内有一个小气泡，当观察者沿着气泡和球心连线的方向观看时，气泡似距球面2cm ，那么气泡和球面的实际距离是多少呢？（玻璃的折射率 1.5n =）
解：如图所示。

设气泡位置在P 点，气泡发出的光线经D 点折射后射入人眼。

因为人是沿着气泡和球心连线的方向观看，所以α，β，i ，r ，θ角都很小。

入射角i βθ=-，折射角r αθ=-，气泡的视深CP '。

1sin sin i i n r r βθ
αθ
-===
- 因为 sin BD BD
P D P C αα===
'' sin BD BD
PD PC ββ=== sin BD
OD
θθ==
所以
1BD PC BD OD n BD P C BD OD
-='-
P ' α P β C
B
θ O
r
i D
解得 2.4(cm)(1)
n OD P C
PC OD P C n '⋅⋅=='+-
8、(第十九届全国中学生物理竞赛复赛）薄凸透镜放在空气中时，两侧焦点与透镜中心的距离相等。

如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为1n 和2n ，则透镜两侧各有一个焦点（设为1F 和2F ），但1F 、2F 和透镜中心的距离不相等，其值分别为1f 和2f 。

现有一个薄凸透镜L ，已知此凸透镜对平行光束起会聚作用，在其左右两侧介质的折射率及焦点的位置如图（a ）所示。

1．试求出此时物距u ，像距v ，焦距1f 、2f 四者之间的关系式。

2．若有一傍轴光线射向透镜中心，已知它与透镜主轴的夹角为1θ，则与之相应的出射线与主轴的夹角2θ多大？
3．1f ，2f ，1n ，2n 四者之间有何关系？
解：利用焦点的性质，用作图法可求得小物PQ 的像P Q ''，如图（b ）所示。

（1）用y 和y '分别表示物和像的大小，则由图中的几何关系可得
1
212
u f f y y f v f -=='- （1） 1212()()u f v f f f --=
简化后即得物像距公式，即u ，v ，1f ，2f 之间的关系式
12
1f f u v
+= （2） （2）薄透镜中心附近可视为筹薄平行板，入射光线经过两次折射后射出，放大后的光
图（a ）
Q
Q '
P ' P F 1
F 2
u
v
n 1 n 2
y
y '
f 1
f 2
图复解 19-5-1 图（b ）
路如图（c ）所示。

图中1θ为入射角，2θ为与之相应的出射角，γ为平行板中的光线与法线的夹角。

设透镜的折射率为n ，则由折射定律得
1122sin sin sin n n n θγθ== （3） 对傍轴光线，1θ、2θ≤1，得11sin θθ≈，
22sin θθ≈，因而得
1
212
n n θθ=
（4） （3）由物点Q 射向中心O 的入射线，经L 折射后，出射线应射向Q '，如图（d ）所示，
在傍轴的条件下，有
1122tan tan y y u v
θθθθ'
=≈=≈， （5） 二式相除并利用（4）式，得
1
2
n y u yv n '=
（6） 用（1）式的11//()y y f u f '=-代入（6）式，得
1112
()f u n
u f v n =-
即 1121n uv
f n u n v
=
+ （7）
用（1）式的22/()/y y v f f '=-代入（6）式，得
21
22
()v f u n f v n -= 即 2221n uv
f n u n v
=
+ （8）
n 1 n 2
θ1
θ2
γ γ
n 图复解 19-5-2
图（c ）
Q
Q '
P
P '
F 1 F 2
L
θ2
u
v u
y
θ1 y '
n 1
n 2
图复解 19-5-3 图（d ）
从而得1f ，2f ，1n ，2n 之间关系式 22
11
f n f n =
9、（第十八届全国中学生物理竞赛复赛）有一放在空气中的玻璃棒，折射率 1.5n =，中心轴线长45cm L =，一端是半径为110cm R =的凸球面．
1．要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴线为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？ 2．对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光柬与玻璃棒的主光轴成小角度1φ时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度，求21/φφ（此比值等于此玻璃棒望远系统的视角放大率）．
解：1. 对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，
如图（a ）所示，图中1C 为左端球面的球心．
由正弦定理、折射定律和小角度近似得
11111111111sin 11
sin()(/)11AF R r r R i r i r i r n -=≈=≈---- （1） 即
11111
AF R n -=- （2） 光线1PF 射到另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心
2C 一定在端面顶点B 的左方，2C B 等于球面的半径2R ，如图（a ）．
仿照上面对左端球面上折射的关系可得
图（a ）
121
11
BF R n -=- （3） 又有 11BF L AF =- （4） 由（2）、（3）、（4）式并代入数值可得
25cm R = （5） 即右端为半径等于5cm 的向外凸的球面．
2. 设从无限远处物点射入的平行光线用①、②表示，令①过1C ，②过A ，如图（b ）所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点M ，即为左端球面对此无限远物点成的像
点．现在求M 点的位置。

在1AC M ∆中
11111sin()sin sin()
R AM AC
πφφφφ=='-- （6）
又
11sin sin n φφ'= （7）
已知1φ，1φ'均为小角度，则有
11
11(1)
R AM
n
φφ≈
- （8）
与（2）式比较可知，1AM AF ≈，即M 位于过1F 垂直于主光轴的平面上．上面已知，玻璃棒为天文望远系统，则凡是过M 点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线．容易看出，从M 射出2C 的光线将沿原方向射出，这也就是过M 点的任意光线（包括光线①、②）从玻璃棒射出的平行光线的方向。

此方向与主光轴的夹角即为2φ，由图（b ）可得
图（b ）
11111
22112
C F AF R C F BF R φφ-==- （9） 由（2）、（3）式可得
111
2
12
AF R R R BF R -=
- 则
21
12
2R R φφ== （10）
10、望远镜的物镜直径D ＝250cm ，其焦距f ＝160cm 。

要用此望远镜对相距L ＝320km ，直径d ＝2m 的人造地球卫星拍摄照片，试问：（1）照像底片应该放在距焦点多远的位置上？（2）人造卫星的像的大小是多少？（3）在冲洗好的照片中卫星的直径是多大。

解：因卫星离观察者的距离大于透镜焦距，故可认为像在底片的焦点外侧很近处，根据这个关键可进行适当近似。

（1） 设照像底片应放在焦点外侧相距x ∆处，由透镜成像公式的变形得
()v fu u f =-
将像矩v f x =+∆，物距u L =代入上式得
22
fL f f x f L f L f L
∆=-=≈-- （L f ）
代入数据后得 8cm x ∆=（）
（2） 设人造卫星像的直径为d ，人造卫星的直径为D ，m 为放大率，则有
v f x f d mD D D D u L L
+∆==
=≈（f x ∆）
代入数据后得 d ＝1（mm ）
（3）由于人造卫星很远，由卫星发出的光线进入望远镜时都可视为平行线，如图所示，由光路图可得
22h x
D f
∆=
代入数据后得冲洗后的像片中卫星的直径是
h ＝1.25（mm ）
11、有一薄透镜如图（a ），1S 面是旋转椭球面（椭圆绕长轴旋转而成的曲面），其焦点为1F 和2F ；2S 是球面，其球心C 与2F
重合。

已知此透镜放在空气中时能使从无穷远处位
于椭圆长轴的物点射来的全部入射光线（不限于傍轴光线）会聚于一个像点上，椭圆的偏心率为e 。

（1）求此透镜材料的折射率n （要论证）。

（2）如果将此透镜置于折射率n '的介质中，并能达到上述的同样要求，椭圆应满足什么条件？
解：（1）根据题设，所有平行于旋转椭球长轴
的入射光线经旋转椭球面和球面两次折射后全部都能会聚于同一像点，可作如下论证：如果经椭球面折射后射向球面的光线都射向球心C ，即射向旋转椭球面的第二焦点2F ，则可满足题设要求。

光路图如图（b ）所示：PA 为入射线，AC 为经椭球面折射后的折射线，BN 为A 点处椭球面的法线，i 为入射角，r 为折射角。

根据椭圆性质，法线BN 平分12F AF ∠，故1AF 与法线的夹角也是r ，由正弦定律可得
11sin sin F A i
n F B r ==，
22sin sin F A i
n F B r
== 从而可求得
121221
2F A F A a n F B F B c e
+=
==+
2a 为长轴的长度，2c 为焦点间的距离；即只要n 满足以上条件，任意入射角为i 的平
行于旋转椭圆球长轴的入射光线都能会聚于C （即2F 点）。

（2）如果透镜置于折射率为n '的介质中，则要求
sin 1
sin i n r n e
==' 即椭圆的偏心率e 应满足n e n
'
=
由于椭圆的1e <，如果n n '>就无解，只要n n '<，总可以找到一个椭球面能满足要求。

12、有一薄平凹透镜，凹面半径为0.5m ，玻璃的折射率为1.5，且在平面上镀一层反射层，如图所示。

在此系统的左侧主轴上放一物S ，S 距系统1.5m ，问S 成像于何处？
解：本题可等效为物点S 先经薄平凹透镜成像，其像为平
1F
C 1F
1S 2S
• • 图（a ）
图（b ）
面镜的物，平面镜对物成像又为薄平凹透镜成像的物，根据成像规律，逐次求出最终像的位置。

根据以上分析，首先考虑物S 经平凹透镜的成像S '。

根据公式 1
1111P P f +=' 其中
12
1
111(1)()11
(1.51)()0.51m n f R R -=--=---∞
=- 故有
1
1111.5P +=-' 10.6m P '=-
成像在左侧，为虚像。

该虚像再经平凹透镜成像S ''后，其像矩为
2210.6m P P P ''=-=-=
成像在有限额，为虚像。

该虚像再经平凹透镜成像S '''，有
33111P P f
+=' 其中 320.6m P P '==，
11
1m f
-=- 故
31110.6
P +=-' 30.375m P '=-
成虚像于系统右侧0.375m 处。

13、如图（a ）所示，一半径为0.128m R =的玻璃半球，过球心并与其平面部分垂直
的直线为其主轴，在主轴上沿主轴放置一细条形发光体12A A （2A 离球心O 较近），其长度为0.02m l =，若人眼在主轴附近对着平面部分向半球望去，可以看到条形发光体的两个不很亮的像，当条形发光体在主轴上前后移动时，这两个像也在主轴上随着移动，现调整条形发光体的位置，使得它的两个镜像恰好头尾
1A 2A
l O C
图（a ）
相接，连在一起，此时条形发光体的近端2A 距球心O 的距离为20.02m a =，试求出玻璃半球的折射率。

解：设12A A ''为12A A 经平面反射形成的像，12D D 为12A A 经平面折射又经凹面镜反射再经平面镜折射形成的像，由
111u v f
+= 知，u 大（如1A 点的物距比2A 点的物距大），则v 小（即2D 比1D 离C 远）。

对发光点2A 有
2OA a =
经折射相当于从B 处b na =处（离O 点）发出，对凹面镜而言 u na R =+ 2f R =
因而由
111u v f
+= 得 2na R
v R
na R
+=+（这是离C 点的距离）
离O 点 2naR
v R v na R '=-=+
又经折射 2v aR
v n na R
'''==+（离O 点）
由题意1D 与2A '重合，即对D 点有 0.022aR
na R
=+
将0.04m a =，0.128m R =代入得 1.6n =
14、（第25届全国中学生物理竞赛预赛）如图（a ）所示，一细长的圆柱形均匀玻璃棒，其一个端面是平面（垂直于轴线），另一个端面是球面，球心位于轴线上．现有一很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线人射．当光从平端面射人棒内时，光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为a ；当光线从球形端面射人棒内时，光线在棒内与轴线的交点到球面的距离为b ．试近似地求出玻璃的折射率n 。

图（a ）
入射的两条光线如图（b ）所示。

α1、β1是从平端入射的光线通过球形端面时的入射角和折射角；α2、β2是从球形端面入射的光线通过球面时的入射角和折射角。

根据折射定律有
n sin α1=sin β1 (1) sin α2=n sin β2
(2) 由几何关系有 β1=α1+δ1
(3) α2=β2+δ2
(4)
设球面的半径为R ，注意到α1、α2、δ1、δ2都是小角度，故有
R α1=a δ1 (5) R α2=b δ2
(6) 根据题给的条件，(1)、(2)式可近似表示成
n α1=β1 (7) α2=n β2
(8) 由(3)式−(8)式得 a
b n = (9)
15、（第23届全国中学生物理竞赛复赛）有一种被称为直视分光镜的光谱学仪器。

所有光学元件均放在一直长圆筒内。

筒内有：三个焦距分别为1f 、2f 和3f 的透镜1L ,2L ,3L ，
321f f f >=；观察屏P ，它是一块带有刻度的玻璃
片；由三块形状相同的等腰棱镜构成的 分光元件（如图（a ）所示），棱镜分别用折射率不同的玻璃制成，两侧棱镜的质料相同，中间棱镜则与它们不同，棱镜底面与圆筒轴平行。

圆筒的一端有一与圆筒轴垂直的狭缝，它与圆筒轴的交点为S ，缝平行于棱镜的底面．当有狭缝的一端对准筒外的光源时，位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱。

已知：当光源是钠光源时，它的黄色谱线（波长为589.3 nm ，称为D 线）位于圆筒轴与观察屏相
交处。

制作棱镜所用的玻璃，一种为冕牌玻璃，它对钠D 线的折射率D n ＝1.5170;另一种为火石玻璃，它对钠D 线的折射率D n '=1.7200。

图（b ）
α
图（a ）
1.试在图（b ）中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用。

2.试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角α的数值。

解：1. 圆筒内光学元件的相对位置如图1所示．各元件的作用如下：
狭缝S ：光源的光由此进入分光镜，观察到的谱线就是狭缝的像．
透镜L 1：与狭缝的距离为f 1，使由狭缝射来的光束经L 1后成为与圆筒轴平行的平行光束． 分光棱镜：使由L 1射来的平行光束中频率不同的单色光经棱镜后成为沿不同方向出射的平行光束．
透镜L 2：使各种单色平行光束经L 2 成像在它的焦平面上，形成狭缝的像（即光谱线）． 观察屏P ：位于L 2焦平面上，光源的谱线即在此屏上．
透镜L 3：与P 的距离≤f 3，是人眼观察光谱线所用的放大镜（目镜）．
2．已知钠黄光的谱线位于P 的中央，S 的像位于L 2 的焦点上，由此可知，对分光棱镜系统来说，钠黄光的入射光束和出射光束都与轴平行，由于棱镜系统是左右对称，因此钠黄光在棱镜内的光路应该是左右对称的，在中间棱镜中的光路应该与轴平行，分光元件中的光路图如图2所示，左半部的光路如图3．用i 1、r 1、i 2、r 2分别表示两次折射时的入射角和折射角，用n 1、n 2分别表示两块棱镜对D 线的折射率，由图3可以看出，在两棱镜界面上发生折射时，22i r >，表明21n n >，即中间的棱镜应用折射率较大的火石玻璃制成，两侧棱
图（b ）
图2
r 1
i 2
r 2
i 1
α
n 2 2αn 1
图3
L 2
L 1
L 3
S
P
圆筒轴
图1
镜用冕牌玻璃制成，故有D n n =1=1.5170，D n n '=2=1.7200．
由几何关系可得
122
i r α
==
（1）
12r i α+= （2）
由折射定律可得
111sin sin i n r = （3）
1222sin sin n i n r = （4） 从以上各式中消去1i 、2i 、1r 和2r 得
22212sin 2n n α⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭ （5）
解（5）式得
()
(
)
2
2
12
22124
142sin n n n n -+-=⎪⎭
⎫
⎝⎛
α （6）
以5170.11=n ，7200.12=n 代入，得
123.6α= （7）
16、（第22届全国中学生物理竞赛预赛题）内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为R 的黑球，距球心为2R 处有一点光源S ，球心O 和光源S 皆在圆筒轴线上，如图所示．若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，则筒的内半径r 最大为多少？
解：自S 作球的切线S M ，并画出S 经管壁反射形成
的虚像点S '，及由S '画出球面的切线S 'N ，如图1所示，由图可看出，只要M S '和N S '之间有一夹角，则筒
壁对从S 向右的光线的反射光线就有一部分进入球的右方，不会完全落在球上被吸收．
图2
图1
由图可看出，如果r 的大小恰能使N S '与M S '重合，如图2，则r 就是题所要求的筒的内半径的最大值．这时SM 与MN 的交点到球心的距离MO 就是所要求的筒的半径r ．由图2可得
θ
θ2sin 1cos -==
R
R r （1）
由几何关系可知
()R R 2sin =θ （2）
由（1）、（2）式得
R r 3
3
2=
（3）
17、（第十九届全国中学生物理竞赛预赛）如图1中，三棱镜的顶角α为60︒，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为
30.0cm f =的两个完全相同的凸
透镜L 1和 L 2．若在L 1的前焦面上距主光轴下方14.3cm y =处放一单色点光源S ，已知其像S '与S 对该光学系统是左右对称的．试求该三棱镜的折射率．
解：
由于光学系统是左右对称的，物、像又是左右对称的，光路一定是左右对称的。

该光线在棱镜中的部分与光轴平行。

由S 射向1L 光心的光线的光路图如图2所示。

由对称性可知
图2
图1
12i r = ①
21i r = ②
由几何关系得 1260r i α+==︒ ③ 由图可见
11i r β=+ ④
又从1FSO ∆的边角关系得
tan /y f β= ⑤
代入数值得
arctan(14.3/30.0)25.49β==︒ ⑥
由②、③、④与⑥式得130r =︒，155.49i =︒ 根据折射定律，求得
1
1
sin 1.65sin i n r =
= ⑦ 18、（第十七届全国中学生物理竞赛复赛）普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，
由具有圆形截面的纤芯A 和包层B 组成，
B 的折射率小于A 的折射率，光纤的端面
和圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯A 和包层B 的分界面上发生多次全反射．现在利用普通光纤测量流体F 的折射率．实验方法如下：
让光纤的一端（出射端）浸在流体F 中．令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚光纤入射端面的中心O ，经端面折射进入光纤，在光纤中传播．由点O 出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为
0α，如图（a ）所示．最后光从另一端面
出射进入流体F ．在距出射端面1h 处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏D ，在D 上出现一圆形光斑，测出其直径为1d ，
图（a ）
图（b ）
然后移动光屏D 至距光纤出射端面2h 处，再测出圆形光斑的直径2d ，如图（b ）所示． 1．若已知A 和B 的折射率分别为A n 与B n ，求被测流体F 的折射率F n 的表达式． 2．若A n 、B n 和0α均为未知量，如何通过进一步的实验以测出F n 的值?
解：1．由于光纤内所有光线都从轴上的O 点出发，在光纤中传播的光线都与轴相交，位于通过轴的纵剖面内，图（c ）为纵剖面内的光路图，设由O 点发出的与轴的夹角为α的光线，射至A 、B 分界面的入射角为i ，反射角也为i ．该光线在光纤中多次反射时的入射角均为i ，射至出射端面时的入射角为α．若该光线折射后的折射角为θ，则由几何关系和折射定律可得
90i α+=︒ （1） sin sin F A n n αθ= （2）
当i 大于全反射临界角C i 时将发生全反射，没有光能损失，相应的光线将以不变的光强射向出射端面，而C i i <的光线则因在发生反射时有部分光线通过折射进入B ，反射光强随着反射次数的增大而越来越弱，以致在未到达出射端面之前就已经衰减为零了．因而能射向出射端面的光线的i 的数值一定大于或等于C i ，C i 的值由下式决定
sin A C B n i n = （3）
与C i 对应的α值为
90C C i α=︒- （4）
当
0C αα>时，即
220sin sin cos 1sin 1(/)B C C C A i i n n αα>==-=-时，或
22
0sin A B
A n n n α>-时，由O 发出的光束中，只有C αα≤的光线才满足C i i ≥的条件，才能射向端面，此时出射端面处α的最大值为
max 90C C i αα==︒- （5）
图（c ）
若0C αα<，即22
0sin A B
A n n n α<-时，则由O 发出的光线都能满足C i i >的条件，因而都能射向端面，此时出射端面处α的最大值为
max 0αα= （6）
端面处入射角α最大时，折射角θ也达最大值，设为max θ，由（2）式可知
max max sin sin F A n n θα= （7）
由（6）、（7）式可得，当0C αα<时
max
sin sin A F n n αθ=
（8）
由（3）至（7）式可得，当0C αα≥时
22max max
cos sin sin A C
F B A n n i n n θθ==
- （9） max θ的数值可由图（d ）上的几何关系求得
[]
21max 2
2
2121()/2
sin ()/2()
d d d d h h θ-=
-+- （10）
于是F n 的表达式应为
[]
2
2
21210
21()/2()sin ()/2
F A d d h h n n d d α-+-=- （0C a a <） （11）
[]
2
2
212122
21()/2()()/2
F B
A d d h h n n d d n -+-=-- （0C a a <） （12）
图（d ）
2. 可将输出端介质改为空气，光源保持不变，按同样手续再做一次测量，可测得1h '、
2h '、1d '、2d '，这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同．已知空气的折射率等于1，故
有
当0C a a <时 2
2
2121
21()/2()1sin ()/2A d d h h n d d α⎡⎤''''-+-⎣⎦
=''- （13）
当0C a a ≥时 2
2
2121
22
21()/2()1()/2
B A
d d h h n d d n ⎡⎤''''-+-⎣⎦
=''-- （14）
将（11）、（12）两式分别与（13）、（14）相除，均得
[]
22
2121212
21
2
2121
()/2()()/2()F d d h h d d n d d d d h h ''
-+--=
-⎡⎤''''-+-⎣⎦
（15）
这结果适用于0α为任何值的情况。

19、（第十六届全国中学生物理竞赛预赛）一平凸透镜焦距为f ，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它2f 处，垂直于主轴放置一高为H 的物，其下端在透镜的主轴上，如图（a ）。

1. 用作图法画出物经镀银透镜所成的像，
并标明该像是虚、是实。

2. 用计算法求出此像的位置和大小。

解：1. 用作图法求得物AP ，的像''A P 及所用各条光线的光路如图（b ）所示。

说明：平凸薄透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜L 和与它密接的平面镜M 的组合
LM ，如图（b ）所示．图中O 为L 的
光心，'AOF 为主轴，F 和'F 为L 的两个焦点，AP 为物，作图时利用了下列三条特征光线：
（1）由P 射向O 的入射光线，它通过O 后方向不变，沿原方向射向平面
图（b ）
图（a ）。