初中数学方程与不等式之二元二次方程组全集汇编附解析(1)

初中数学方程与不等式之二元二次方程组全集汇编附解析(1)
一、选择题
1．解方程组: 22212320x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩
【答案】1144x y =⎧⎨=⎩，22
63x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程组成方程组，即可求解．
【详解】
解：由（2）得（x−y ）（x−2y ）＝0．
∴x −y ＝0或x−2y ＝0，
原方程组可化为2120x y x y +=⎧⎨-=⎩，21220x y x y +=⎧⎨-=⎩
， 解这两个方程组，得原方程组的解为：1144x y =⎧⎨
=⎩，2263
x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】
本题主要考查了高次方程组的解法，解题的基本思想是降次，掌握降次的方法是解高次方程的关键．
2．阅读材料，解答问题 材料：利用解二元一次方程组的代入消元法可解形如
的方程组． 如：由（2）得
，代入（1）消元得到关于的方程： ， 将代入得：，方程组的解为 请你用代入消元法解方程组：
【答案】解：由（1）得，代入（2）得
化简得：
，
把，分别代入得：，
，
【解析】
这是阅读理解题，考查学生的阅读理解能力，把二元二次方程组利用代入消元转化成一元二次方程，解出一元二次方程的解，再求另一个未知数的解即可
3．解方程组：
（1）
4
{
526
y x
x y
=-
+=
；（2）
358
{
32
x y
x y
+=
-=
【答案】（1）
2
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
；（2）
【解析】
方程组利用加减消元法求出解即可．
解：(1) ①代入②得x=2
把x=2代入①得y=-2
∴
(2) ①-②得y=1
把y=1代入①得x=1
∴
“点睛”本题通过“代入”“加减”达到消元的目的，将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的问题.
4．解方程组：
22
22
29
5
x xy y
x y
⎧-+=⎨
+=
⎩
.
【答案】1
12 1
x y =
⎧
⎨
=-⎩，2
2
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
，3
3
2
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
，4
4
1
2
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
【解析】
试题分析：变形方程组中的①，得两个一元一次方程，与组中的②联立得方程组，求解方程组即可．
试题解析：解：
22
22
29
5
x xy y
x y
⎧-+=
⎨
+=
⎩
①
②
由①得：（x﹣y）2=9
所以x ﹣y =3③，x ﹣y =﹣3④
③②与④②联立得：22223355
x y x y x y x y -=-=-⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩， 解方程组2235x y x y -=⎧⎨+=⎩
，得：12122112x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，； 解方程组2235x y x y -=-⎧⎨+=⎩，得：343
42112x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，． 所以原方程组的解为：31243
12422111122x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩，，，． 点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，由两个二元二次方程组成的方程组，通常采用变形组中的一个二次方程为两个一元一次方程用代入法求解．
5．解方程组：224;20.
x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩ 【答案】1212
82,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 【解析】
【分析】
把22
20x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程，和4x y +=组成两个二元一次方程组，解方程即可.
【详解】
由②得：()()20x y x y +-=
所以200x y x y +=-=或 44200
x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩所以或, 1212
82,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩所以原方程组的解为. 【点睛】
考查二元二次方程组的解法，把方程22
20x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程是解题的关键.
6．解方程组：2223,44 1.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩
【答案】111,1;x y =⎧⎨=⎩221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【解析】
分析：对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组，解方程即可.
详解：2223441x y x xy y ①②+=⎧
⎨-+=⎩ 由②得：()221x y -=
即：21x y -=或21x y -=-
所以原方程组可化为两个二元一次方程组：
23,21;x y x y +=⎧⎨-=⎩ 23,21;
x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 分别解这两个方程组，得原方程组的解是111,1;x y =⎧⎨=⎩ 221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 点睛：考查二元二次方程，对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组是解题的关键，需要学生掌握加减消元法.
7．22x -y -3x 10y ⎧=⎨++=⎩，①，②
【答案】x 1y -2=⎧⎨=⎩
【解析】
【分析】
根据解二元二次方程组的步骤求解即可.
【详解】
解：由方程①得：()()x y x-y -3+⋅=，③
由方程②得：x y -1+=，④
联解③④得x-y=3，⑤
联解④⑤得x 1y -2=⎧⎨=⎩
所以原方程组的解为x 1y -2=⎧⎨=⎩
本题考查解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程,再降次转化为一元一次方程解之.
8．解方程组：2220334
x y x y y -=⎧⎨+-=⎩. 【答案】21x y =⎧⎨
=⎩或63
x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】 由①可知x=2y ，代入②可得一个关于y 的一元二次方程，进行解答，求出y 值，再进一步求x 即可．
【详解】
解：2220......33 4......x y x y y -=⎧⎨+-=⎩
①② , 由①得：2x y =………… ③
将③代入②，化简整理，得：
2340y y +-=，
解得：13y y ==-或，
将13y y ==-或代入①，得：
21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩
. 【点睛】
考查了解方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
9．解方程组：
222(1)20(2)x y x xy y -=⎧⎨--=⎩
【答案】1212
14,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 【解析】
【分析】
先由②得x ＋y ＝0或x−2y ＝0，再把原方程组可变形为：20x y x y -=⎧⎨
+=⎩或220
x y x y -=⎧⎨-=⎩，然后解这两个方程组即可．
222(1)20
(2)x y x xy y -=⎧⎨--=⎩， 由②得：（x ＋y ）（x−2y ）＝0，
x ＋y ＝0或x−2y ＝0， 原方程组可变形为：20x y x y -=⎧⎨+=⎩或220x y x y -=⎧⎨-=⎩
， 解得：1212
1412x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，. 【点睛】
此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，用到的知识点是消元法解方程组．
10．解方程组：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩
.
【答案】1113x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩
2213x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩【解析】
【分析】
把4x y +＝变形为用含x 的代数式表示y ，把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次方程求出x 的值，得方程组的解.
【详解】
解：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩
①② 由①得，4y x ＝﹣
③ 把③代入①，得248x x x ﹣（﹣）＝
整理，得2240x x ﹣﹣＝
解得：1211x x ＝＝，
把1x ＝③
，得1413y ＝﹣（
把1x ③
，得2413y ＝﹣（
所以原方程组的解为：1113x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩
2213x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩. 【点睛】
本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法，代入法是解决本题的关键.
11．解方程组： 222403260
x y x xy x y ⎧-=⎨-+++=⎩． 【答案】11
24x y =-⎧⎨=-⎩， 2236x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
由①得：2x ﹣y ＝0，2x +y ＝0，这样原方程组化成两个二元二次方程组，求出每个方程组的解即可.
【详解】
222403260x y x xy x y ⎧-=⎨-+++=⎩①②
由①得：2x ﹣y ＝0，2x +y ＝0，
原方程组化为：①2203260x y x xy x y -=⎧⎨-+++=⎩，②2203260
x y x xy x y +=⎧⎨-+++=⎩， 解方程组①得： 11
24x y =-⎧⎨=-⎩， 2236x y =-⎧⎨=-⎩，方程组②无解， 所以原方程组的解为： 11
24x y =-⎧⎨=-⎩， 2236x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】
本题考查解二元二次方程组，难度不大，熟练掌握二元二次方程组求解是解题关键.
12．21220y x x xy -=⎧⎨--=⎩
【答案】10x y =-⎧⎨
=⎩或23x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
本题考查二元二次方程组的解法，在解题时观察本题的特点，可用代入法先消去未知数y ，求出未知数x 的值后，进而求得这个方程组的解．
【详解】
解：由①得：1y x =+③
把③代入②，得22(1)20x x x -+-=,
整理得：220x x --=，
解得11x =-，22x =．
当11x =-时，1110y =-+=
当22x =时，2213y =+=
∴原方程组的解为1110x y =-⎧⎨
=⎩，2223
x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】 本题考查了二元二次方程组的解法，二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组．
13．2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩
【答案】112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．
【详解】
解：2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩
①② 将①因式分解得：(4)()0x y x y -+=，
∴40x y -=或0x y +=
将②因式分解得：2(2)1x y +=
∴21x y +=或21x y +=-
∴原方程化为：4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，4021x y x y -=⎧⎨+=-⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=-⎩
解这些方程组得：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ ∴原方程组的解为：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．
14．解方程组：2225210
x y x y xy +=⎧⎨+--=⎩． 【答案】7343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或12x y =⎧⎨=⎩． 【解析】
【分析】
将方程22
210x y xy +--=变形整理求出1x y -=或1x y -=-，然后分别与25x y +=组成方程组，求出对应的x ，y 的值即可．
【详解】
解：2225210x y x y xy +=⎧⎨+--=⎩
①②， 对②变形得：()21x y -=，
∴1x y -=③或1x y -=-④，
①－③得：34y =，解得：43y =
， 把43
y =代入①得：4253x +⨯=，解得：73x =； ①－④得：36y =，解得：2y =，
把2y =代入①得：225x +⨯=，解得：1x =， 故原方程组的解为：7343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或12x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”，掌握好消元和降次的方法和技巧是解二元二次方程组的关键．
15．解方程组：224490
x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩ 【答案】1133x y =⎧⎨=-⎩，22
33x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
先将第1个方程变形为x ＋2y ＝3，x ＋2y ＝﹣3，从而得到两个二元一次方程组，再分别求
解即可．
【详解】
解：224490x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩
①② 方程①可变形为()2
29x y +=
得：23x y +=，23x y +=-
它们与方程②分别组成方程组，得； 230x y x y +=⎧⎨+=⎩或230x y x y +=-⎧⎨+=⎩
解得1133x y =⎧⎨=-⎩，2233
x y =-⎧⎨=⎩ 所以，原方程组的解是1133x y =⎧⎨
=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 【点睛】
本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．
16．解方程组：22235,230.
x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩． 【答案】1111x y =⎧⎨=⎩，2
2553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩
． 【解析】
【分析】
先将第二个方程利用因式分解法得到两个一元一次方程，然后分别与第一个方程联立成二元一次方程组，分别解方程组即可．
【详解】
由②得：()()30x y x y -+=；
所以，0x y -=或30x y +=；
整理得：2350x y x y +=⎧⎨-=⎩或23530x y x y +=⎧⎨+=⎩
； 解得：11x y =⎧⎨=⎩或553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩；
所以，原方程组的解为1111x y =⎧⎨=⎩，2
2553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩
； 【点睛】
本题主要考查二元二次方程组的解法，能够将原方程组拆成两个二元一次方程组是解题的关键．
17．解方程组：2220449
x xy x xy y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩ 【答案】123434120033,,,333322
x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ 【解析】
【分析】
由第一个等式可得x （x+y ）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y ）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y ）2=9可得出x 和y 的值．
【详解】
∵x(x+y)=0，
①当x=0时,(x+2y)2 =9，
解得：y 1=
32 ,y 2 =−32
； ②当x≠0，x+y=0时，
∵x+2y=±3， 解得：33x y =-=⎧⎨⎩ 或33
x y ==-⎧⎨⎩ . 综上可得,原方程组的解是123434120033,,,333322
x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ . 【点睛】
此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.
18．如图在矩形ABCD 中，AB= n AD,点E 、F 分别在AB 、AD 上且不与顶点A 、B 、D 重合， AEF BCE ∠=∠, 圆O 过A 、E 、F 三点。

（1）求证：圆O 与CE 相切于点E.
（2）如图1，若AF=2FD ，且30AEF ∠=︒，求n 的值。

（3）如图2，若EF=EC ，且圆O 与边CD 相切，求n 的值。

【答案】（1）证明见解析；（2）3；（3）74 【解析】（1）由四边形ABCD 是矩形证明∠FEC=90°即可；（2）在直角三角形中利用三角函数求解；（3）利用三角形中位线、勾股定理和题意可列方程求出n n 的值．
(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=90°，
∠BCE+∠BEC=90°，
又∵∠AEF=∠BCE ，∵∠AEF+∠BEC=90°，
∴∠FEC=90°，∴⊙O 与CE 相切．
（2）∵AF=2FD,设FD=a 。

则AF=2a ，
在直角三角形AEC 中，∵∠AEF=30°，
∴∠BCE=30°．
∴EF=4a ，由勾股定理：AE=23 ，
．
∴BC=3a ，又在直角三角形EBC 中，
3EB a ∴=，
2333AB AE EB a a n AD AD ++====.
过E 作EM DC 于M,因为圆O 与CD 相切，设切点为N ，连接ON,又过F 作FQ EM 交ON 于H ， Q FE=EC, EF ⊥EC, ∴ AEF CBE ∆≅∆，
根据题意和作图，可设AE=BC=ME=AD= y ，AF=QE=EB= x ，
易证明OH 为EFQ ∆的中位线，OH=22
EQ x =，
2ON=EF=
，
由勾股定理和题意可列方程： 222
2){y x x y x y ny
-=++=（， 化简：
74
n ∴= ． “点睛”本题考查了直线与圆的位置关系，将方程与几何融合在一起，利用勾股定理和方程组解答；解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
19．解方程22220x y x xy y -=⎧⎨--=⎩
①② 【答案】114,2x y =⎧⎨=⎩，22
1,1x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】
【分析】
先把2220x xy y --=化为(2)()0x y x y -+=，得到20x y -=或0x y +=，再分别联立2x y -=求出x,y 即可．
【详解】
2220x xy y --=可以化为：(2)()0x y x y -+=，
所以：20x y -=或0x y +=
原方程组可以化为：2,20x y x y -=⎧⎨-=⎩（Ⅰ）与2,0x y x y -=⎧⎨+=⎩
（Ⅱ） 解（Ⅰ）得4,2x y =⎧⎨=⎩，解（Ⅱ）得1,1x y =⎧⎨=-⎩
答：原方程组的解为114,2x y =⎧⎨=⎩与22
1,1x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】
此题主要考查二元方程的求解，解题的关键是把原方程变形成两个二元一次方程组进行求解．
20．一个三位数的中间数字是0,其余的两个数字的和为9,且这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9,求此三位数.
【答案】306
【解析】
【分析】
设百位数字是x ，个位数字是y ．则依据“两个数字的和为9；这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9”列出方程组．
【详解】
设百位数字是x ，个位数字是y ．则
9100339x y y x xy +⎧⎨++⎩
＝＝， 解得36x y ⎧⎨⎩＝＝，90x y ⎧⎨⎩
＝＝（不符合题意，舍去）． 答：这个三位数是306．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．。