北师大版高中数学必修四第三章三角恒等变形达标测试卷.docx

第三章过关测试卷
（150分，120分钟）
一、选择题：（每题5分，共计50分）
1．已知sin θ=－35,3π<θ<72π，则tan 2θ
的值为（ ）
A.13
B.－1
3
C.3
D.－3
2．若sin αα+β)=－11
14
,且α,β是锐角，则β等于（ ） A.3π B. 4π C. 6π D. 8
π 3.若tan α=－12,则sin 22cos24cos24sin 2αα
αα
+-的值是（ ） A ．
114 B ．－114 C ．52 D ．－5
2
4.在△ABC 中，若4sin A ＋2cos B ＝1,2sin B ＋4cos A ＝sin C 的大小是（ ）
A ．－
12 C. 12 D. 1
2
5.设tan α,tan β是方程x 2
－3x +2=0的两个根,则tan(α+β)的值为（ ） A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3
6．若θ∈42ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，,sin2θ则sin θ等于（ ）
A ．35
B ．45
C
D ．3
4
7.已知sin α－cos αα∈(0,π),则tan α等于（ ）
A ．－1
B ．－2
C ．2
D ．1 8．若tan θ+
1
tan θ
=4,则sin2θ=（ ） A ．15 B ．14 C ．13 D ．12
9.函数f (x )=sin x －cos 6x+π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值域为（ ）
A ．［－2,2］
B ．⎡⎣
C ．［－1,1］
D ．⎡⎢⎣⎦
10.设△ABC 的三个内角为A ,B,C ，向量m ＝A ，sin B )，n ＝(cos B A )，若m ·n
＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于（ ） A.
6π B. 3π C. 32π D. 6
5π 二、填空题：（每题5分，共计25分）
11.在△ABC 中，cos 5
413
+A π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则cos2A =_________．
12.cos 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭－cos 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围是_________．
13.已知函数f (tan x )＝sin2x ，x ∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则f 12⎛⎫
⎪⎝⎭
＝________.
14.定义一种运算a ⊗b =,,,.a a b b a b ≤⎧⎨⎩＞令f (x )=(cos 2
x +sin x ) ⊗45,且x ∈02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则函数 f
2x π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的最大值是_________.
15.〈山西四校联考〉已知函数f (x )＝sin 2
ωx ωx ·cos ωx ，x ∈R ，又f (α)＝－
1
2
，f (β)＝
12，若|α－β|的最小值为3
4
π，则正数ω=__________． 三、解答题：（共计75分）
16.(本小题满分12分)求1cos70tan 5tan 51sin 70︒︒
︒︒
⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭
的值. 17.(本小题满分12分) 已知0＜α＜
4π,β为f (x )=cos 28x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的最小正周期，a =(cos α,2),b =1tan ,14αβ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
且a ·b =m .求22cos sin 2()
cos sin ααβαα
++-的值.
18.(本小题满分12分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，a ＝(sin B ＋cos B ，cos C )，b ＝(sin C ，sin B －cos B )．
(1)若a ·b ＝0，求角A ；(2)若a ·b ＝－1
5
，求tan2A .
19.（本小题满分13分）已知向量m =(1,cos ωx ),n =(sin ωx ω>0),函数f (x )=m ·n ，且f (x )图像上一个最高点为P ,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭，离P 最近的一个最低点的坐标为,2127π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
（1）求函数f (x )的解析式；
（2）设a 为常数，判断方程f (x )=a 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上解的个数.
20.（本小题满分13分）将一块圆心角为120°，半径为200 cm 的扇形铁片截成一块矩形，
如图1,有两种截法：让矩形一边在扇形的一条半径OA 上，或让矩形一边与弦AB 平行．请问：哪种截法能得到最大面积的矩形?并求出最大面积．
图1
21.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝A sin 2
(ωx ＋ϕ)（A >0,ω>0,0<ϕ<2
π
），且f (x )的最大值为2，其图像相邻两条对称轴间的距离为2，并过点(1,2)． (1)求ϕ；
(2)计算：f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)．
参考答案及点拨
一、1. D 点拨：易知cos θ=－
45,利用tan 2θ =1cos sin θθ
-可求．
2. A 点拨：∵α,β都是锐角，∴0<α+β<π,∴sin(α+β. 易得cos α=1
7
,利用cos β=cos ［(α+β)－α］=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α求β． 3. A
4. D 点拨：由题设条件得：(4sin A ＋2cos B )2＝1，(2sin B ＋4cos A )2
＝27，∴20＋16sin A cos B ＋16sin B cos A ＝28.∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝12.即sin(A ＋B )＝1
2
，∴sin C ＝sin ［π－(A ＋B )］＝sin(A ＋B )＝
1
2
. 5. A 点拨：tan α+tan β=3,tan αtan β=2⇒tan(α+β)=
tan tan 3
1tan tan 12
αβαβ+=
-- =－3.
6. D 点拨：因为θ∈42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.所以2θ∈2π⎡⎤
π⎢⎥⎣⎦
，,cos2θ<0,所以cos2θ=－18.由cos2θ=1－2sin 2θ=－18
,得sin 2
θ=916,sin θ=34,选D.
7. A 点拨：方法一：∵sin α－cos α4απ⎛
⎫- ⎪⎝⎭,
∴sin 4απ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭=1.∵α∈(0,π),∴α=34π,∴tan α=－1,故选A.
方法二：∵sin α－cos α,∴(sin α－cos α)2
=2,∴sin2α=－1. ∵α∈(0,π),∴2α∈(0,2π),∴2α=
32π,α=34
π
.∴tan α=－1,故选A.
8. D 点拨：本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.
因为tan θ+1tan θ =sin cos θθ +cos sin θθ =22sin cos 11sin cos sin 22
θθθθθ+= =4,所以sin2θ=1
2. 9. B 点拨：f (x)=sin x －cos 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin x
－cos x +12sin x
=sin 6x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭,∵
sin 6x π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭∈
[－1,1],∴f (x )
的值域为⎡⎣.
10. C 点拨：∵m · n
A cos B
A sin B
A ＋
B )＝1＋cos(A ＋B )
，∴A ＋B )－cos(A ＋B )＝1，
C ＋cos C ＝1，即2sin 6C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1.∴sin 6C π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭＝12，∴6C π+＝56π，∴C ＝2
3
π. 二、11.
120169 点拨：在△ABC 中，cos 4A π⎛⎫
+ ⎪⎝⎭＝513
>0， ∴sin 4A π⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
1213.
∴cos2A ＝sin 22A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin 24A ⎡π⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝2sin 4A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 4A π⎛⎫
+ ⎪⎝⎭＝2×1213×513＝120169.
12. [－1,1] 点拨：cos 24x π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭－
cos 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1cos 21cos 22222x x ππ⎛⎫⎛
⎫+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=12+12sin2x －11sin 222x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
=sin2x ,∵x ∈R ，∴sin2x ∈[－1,1]．
13. 45 点拨：∵f (tan x )=sin2x =22
222sin 2
2sin cos 2tan cos sin sin cos 1tan 1cos x
x x x x x x x x x
==+++,即f (x )=2
21x x +， ∴f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=21
22112⨯
⎛⎫+ ⎪⎝⎭
=45
. 14. 54 点拨：令g(x )=cos 2x +sin x ，则g (x )=1－sin 2
x +sin x =－2
1sin 2x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭+54≤54,∴由
运算定义可知，f (x )=g (x )=－2
1sin 2x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭+54.∴当sin x =12，即x =6π时，该函数取得最大
值
54.由图像变换可知，所求函数f 2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值与函数f (x )在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值
相同. 15.
1
3
点拨：f (x )
＝
1cos 211122cos 2sin 222262x x x x x ωωωωω-π⎛
⎫-+=-+ ⎪⎝⎭. 又由f (α)＝－
12，f (β)＝12，且|α－β|的最小值为34π，可知T ＝3π，于是ω＝1
3
. 三、16. 解：方法一：原式＝22tan 51sin 201tan 5sin 202tan51cos202tan51cos20︒-︒-︒︒
⋅=-⋅⋅
︒+︒︒+︒
＝ －2cot10°·tan10°＝－2.
方法二：原式＝22sin 5cos5sin 20sin 5cos 5sin 20cos101cos5sin 51cos 20sin 5cos51cos 20sin102
︒︒︒
︒-︒︒︒⎛⎫-⋅=⋅=-⋅ ⎪︒︒+︒︒⋅︒+︒⎝⎭︒
2
2sin10cos102cos 10︒⋅︒
︒
＝－2. 17. 解：∵a ·b =cos α·tan 14αβ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭－2=m ,
∴cos α·tan 14αβ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭=m +2.
又∵0<α<
4
π
,β=π, ∴22cos sin 2()cos sin ααβαα++-=22cos sin(22)cos sin αααα++π-=22cos sin 2cos sin αααα+-=2cos cos sin cos sin ααααα
+-（）
=1tan 2cos 1tan ααα+⋅-=2cos α·tan 4απ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭ =2(2+m ).
18. 解：(1)由已知a ·b ＝0，得(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝0. 化简，得sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝0，即sin A ＋cos A ＝0， ∴tan A ＝－1. 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝
3
4
π. （2）∵a ·b ＝－15，∴sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15.∴sin A ＋cos A ＝－1
5
.①
对①平方，得2sin A cos A ＝－2425<0，∴A ∈2π⎛⎫
π ⎪⎝⎭
，.∴sin A －cos A
75=.
②
由①②，得sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34.∴tan2A ＝
322tan 24491tan 7116
A A ⎛⎫⨯- ⎪
⎝⎭==---. 19. 解：（1）f (x )=m ·n =sin ωx
ωx =
21sin 2sin 23x x x ωωω⎛⎫π⎛
⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. ∵f (x )图像上一个最高点为P ,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭，离P 最近的一个最低点的坐标为,2127π⎛⎫- ⎪⎝⎭
,
∴
7212122T πππ=-=,∴T =π,于是ω=
2T
π
=2. ∴f (x )=2sin 23x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭.
（2）当x ∈0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦时，3π≤2x +3π≤34π,
由f (x )=2sin 23x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的图像可知：
当a
时，f (x )=a 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两个解；
当a
a =2时，f (x )=a 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上有一个解；
当a
a ＞2时，f (x )=a 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上无解.
20. 解：如答图1①，连接OM ，令∠AOM =θ，则0°＜θ＜90°.在Rt △OMP 中，MP = 200sin θ，OP =200cos θ，所以S 矩形OPMN =20 000sin2θ
.
答图1
当2θ=90°，即θ=45°时，S 矩形OPMN 取得最大值20 000．
如答图1②，作OC ⊥PQ 于点C ，MS ⊥OA 于点S ，连接OM ，令∠AOM =θ，则0°＜θ＜60°.在Rt △OMS 中，MS =200sin θ，OS =200cos θ.因为扇形圆心角为120°，PQ ∥AB ，所以∠COQ =60°,所以在Rt △MQS 中，∠MQS =60°，MQ =MS
sin θ，
QS =
1
2MQ
θ. 在Rt △OCQ 中，
CQ
OQ (OS －QS ×200cos θθ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
θ－100sin θ.
所以S 矩形MNPQ =2CQ ×MQ θ－sin θ)
θ
=
(cos θ－sin θ)sin θ= (sin θcos θ－
sin 2
θ
1cos 222θθ⎫
--⎪⎪⎝⎭
=
112cos 222+θθ⎫-⎪⎪⎝⎭
()1sin 2302+θ⎡
⎤︒-⎢⎥⎣⎦
.
当2θ+30°=90°，即θ=30°时，S 矩形MNPQ 比较两种截法得到矩形面积的最大值可知，第二种截法能得到最大面积的矩形，最大面积为
2
． 21. 解：（1）f (x )＝A sin 2
(ωx ＋ϕ)＝2A －2
A
cos(2ωx ＋2ϕ)． ∵f (x )的最大值为2，A >0，∴
2A ＋2
A
＝2，A ＝2. 又∵其图像相邻两条对称轴间的距离为2，ω>0，∴
12·22ωπ＝2，ω＝4
π
. ∴f (x )＝1－cos 22x ϕπ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
.∵f (x )的图像过点(1,2)，
∴cos 22ϕπ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
＝－1.
∴2ϕ＝2k π＋2π，k ∈Z ，∴ϕ＝k π＋4π，k ∈Z .又∵0<ϕ<2
π， ∴ϕ＝
4
π. (2)方法一：∵ϕ＝
4π，∴f (x )＝1－cos 2
2x π
π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1＋sin 2x π.
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋1＋0＋1＝4.又∵y ＝f (x )的最小正周期为4，2 014=4×503+2，
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＝4×503＋f (2 013)＋f (2 014)＝ 2 012＋f (1)＋f (2)＝2 012＋2＋1＝2 015.
方法二：∵f (x )＝2sin 24x ϕπ
⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，
∴f (1)＋f (3)＝2sin 24ϕπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋2sin 24ϕ3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2sin 24ϕπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋2cos 24ϕπ
⎛⎫+ ⎪⎝⎭
＝2，
f(2)＋f(4)＝2sin2
2ϕ
π
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
＋2sin2(π＋ϕ)=2cos2ϕ+2sin2ϕ＝2.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4.
又∵f(x)的最小正周期为4,2 014＝4×503+2，∴f(1)＋f(2)＋…+f(2 012)+f(2 013)＋f(2 014)＝4×503+2+1＝2 015.。