高考数学复习知识点专题提升训练3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

高考数学复习知识点专题提升训练
专题3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
基础巩固组
1.命题“存在实数x0,使x0>1”的否定是()
A.对任意实数x,都有x>1
B.不存在实数x0,使x0≤1
C.对任意实数x,都有x≤1
D.存在实数x0,使x0≤1
2.设命题p:f(x)=1在定义域上为减函数;命题q:g(x)=cos(x+π)为奇函数,则下列命题中真命题是()
A.(¬p)∧q
B.(¬p)∧(¬q)
C.p∧q
D.p∧(¬q)
3.已知命题p:∃x∈R,sin x>1,命题q:∀x∈(0,1),ln x<0,则下列命题中为真命题的是()
A.p∧q
B.p∧(¬q)
C.p∨(¬q)
D.(¬p)∧q
4.命题p:∃x0∈R,x0-2>0,命题q:∀x∈R,√x<x,则下列命题中为真命题的是()
A.p∨q
B.p∧q
C.(¬p)∨q
D.(¬p)∧(¬q)
5.若命题“∃x0∈R,x02+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是()
A.[-1,3]
B.(-1,3)
C.(-∞,-1]∪[3,+∞)
D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
6.已知命题p:对任意x∈R,总有2x>x2;q:“ab>1”是“a>1,b>1”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()
A.p∧q
B.(¬p)∧q
C.p∧(¬q)
D.(¬p)∧(¬q)
7.下列命题正确的是()
A.“x<1”是“x2-3x+2>0”的必要不充分条件
B.若给定命题p:∃x∈R,使得x2+x-1<0,则¬p:∀x∈R,均有x2+x-1≥0
C.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题
D.命题“若x2-3x+2=0,则x=2”的否命题为“若x2-3x+2=0,则x≠2”
8.已知命题p:∃x0∈R,2x0<x0-1;命题q:在△ABC中,“BC2+AC2<AB2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件.则下列命题中的真命题是()
A.¬q
B.p∧q
C.p∨(¬q)
D.(¬p)∧q
9.(多选)有四个关于三角函数的命题,其中是真命题的是()
A.∃x0∈R,sin x0+cos x0=2
B.∃x0∈R,sin 2x0=sin x0
C.∀x∈-π
2,π
2
,√1+cos2x
2
=cos x
D.∀x∈(0,π),sin x>cos x
10.已知命题“∀x∈R,x2-5x+15
2
a>0”的否定为假命题,则实数a的取值范围
是.
11.命题p:∀x∈R,x2-ax+1>0;命题q:∃x∈R,x2+2ax+2-a≤0.若p∧q为假命题,p ∨q为真命题,则实数a的取值范围是.
12.下列结论:
①若命题p:∃x0∈R,tan x0=2,命题q:∀x∈R,x2-x+1
2
>0,则命题“p∧(¬q)”是假命题;
②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是a
b
=-3;
③“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则
a2+b2≤4”.
其中正确结论的序号为.
综合提升组
13.给出如下四个命题:
①若“p且q”为假命题,则p,q均为假命题;②命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b-1”;③“∀x∈R,则x2+1≥1”的否定是“∃x∈R,则x2+1<1”;
④在△ABC中,“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件.
其中正确的命题的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
14.下列说法正确的是()
A.若命题p,¬q都是真命题,则命题“p∧q”为真命题
B.命题“∀x∈R,2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”
C.命题:“若xy=0,则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0,则x≠0或y≠0”
D.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件
15.下列命题中正确的是()
A.若p∨q为真命题,则p∧q为真命题
B.若x>0,则x>sin x恒成立
C.命题“∃x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是“∀x∉(0,+∞),ln x≠x-1”
D.命题“若x2=2,则x=√2或x=-√2”的逆否命题是“若x≠√2或x≠-√2,则x2≠2”
16.已知命题p:∃x∈R,ax2+2ax+1≤0是假命题,则实数a的取值范围
是.
创新应用组
(x≥2),g(x)=a x(a>1,x≥2).
17.(2020山东济南质检)已知函数f(x)=x2-x+1
x-1
(1)若∃x0∈[2,+∞),使f(x0)=m成立,则实数m的取值范围为;
(2)若∀x1∈[2,+∞),∃x2∈[2,+∞),使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围
为.
x在区间(0,a)
18.已知命题p:函数f(x)=ax2+4x+2有零点;命题q:函数f(x)=sinπ
2
内只有一个极值点.若(¬p)∧q为真命题,求实数a的取值范围.
参考答案
高考数学复习知识点专题提升训练专题3简单的逻辑联结词、
全称量词与存在量词
1.C特称命题的否定为全称命题,所以将“存在”改为“任意”,将“x>1”改为“x≤1”.故选C.
2.A f(x)=1
x 在定义域上不是减函数,故命题p是假命题,g(x)=cos(x+π
2
)=-sin x
是奇函数,故命题q是真命题,则(¬p)∧q为真命题,其余为假命题.故选A.
3.D因为-1≤sin x≤1,故命题p是假命题,又命题q是真命题,故p∧q为假,p∧(¬q)为假,p∨(¬q)为假,(¬p)∧q为真命题,故选D.
4.A命题p:∃x0∈R,x0-2>0为真命题,命题¬p:∀x∈R,x-2≤0为假命题;
命题q:∀x∈R,√x<x为假命题,命题¬q:∃x∈R,√x0≥x0为真命题,故选A.
5.D因为命题“∃x0∈R,x02+(a-1)x0+1<0”等价于x02+(a-1)x0+1=0有两个不等的实根,
所以Δ=(a-1)2-4>0,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3.故选D.
6.D命题p:对任意x∈R,总有2x>x2,它是假命题,例如取x=2时,2x与x2相等.
q:由a>1,b>1⇒ab>1;反之不成立,例如取a=10,b=1
.∴“ab>1”是“a>1,b>1”的必
2
要不充分条件,即q是假命题.
∴真命题是(¬p)∧(¬q).故选D.
7.B因为x2-3x+2>0,所以x>2或x<1,因此“x<1”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件,故A项错误;
命题p:∃x∈R,使得x2+x-1<0的否定为:∀x∈R,均有x2+x-1≥0,故B项正确;
若p∧q为假命题,则p,q至少有一个为假命题,故C项错误;
命题“若x2-3x+2=0,则x=2”的否命题为“若x2-3x+2≠0,则x≠2”,故D项错误.故选B.
8.D对于命题p,注意到y=2x图象在y=x-1图象的上方,故命题为假命题.对于命题q,BC2+AC2<AB2只是说明C为钝角,故为充分不必要条件,所以q为真命题,故(¬p)∧q为真命题.故选D.
),所以sin x0+cos x0的最大值
9.BC对于选项A,因为sin x0+cos x0=√2sin(x0+π
4
为√2,可得不存在x0∈R,
使sin x0+cos x0=2成立,故命题A是假命题;
+2kπ(k∈Z),
对于选项B,因为存在x0=kπ或x0=±π
3
使sin 2x 0=sin x 0成立,故命题B 是真命题;
对于选项C,因为
1+cos2x 2
=cos 2
x , 所以√
1+cos2x
2
=|cos x|, 结合x ∈[-π2,π
2]得cos x ≥0,由此可得√
1+cos2x
2
=cos x ,故命题C 是真命题;
对于选项D,因为当x=π
4时,sin x=cos x=√2
2
,不满足sin x>cos x ,所以任意x ∈(0,π),使sin x>cos x 不成立,故命题D 是假命题.故选BC .
10.(5
6,+∞) 由“∀x ∈R ,x 2-5x+15
2a>0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x 2-5x+15
2a>0对任意实数x 恒成立.设f (x )=x 2-5x+15
2a ,则其图象恒在x 轴的上方,所以Δ=25-4×15
2a<0,解得a>5
6.故实数a 的取值范围为(5
6,+∞).
11.(-∞,1)∪[2,+∞) 若x 2-ax+1>0恒成立,则判别式Δ=a 2-4<0,得-2<a<2,即
p :-2<a<2,
若∃x ∈R ,x 2+2ax+2-a ≤0,则判别式Δ=4a 2-4(2-a )≥0,
得a 2+a-2≥0,得a ≥1或a ≤-2,即q :a ≥1或a ≤-2,
若p ∧q 为假命题,p ∨q 为真命题,则p ,q 一个为真命题,一个为假命题,
若p 真q 假,则{
-2<a <2,
-2<a <1,得-2<a<1;若p 假q 真,则{a ≥2或a ≤-2,a ≥1或a ≤-2,
得a ≤-2或
a ≥2,综上,a ≥2或a<1.
12.①③在①中,命题p是真命题,命题q也是真命题,故“p∧(¬q)”为假命题是
正确的;在②中,l1⊥l2⇔a+3b=0,而a
b =-3能推出a+3b=0,但a+3b=0推不出a
b
=-3,故②不正
确;在③中,“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则
a2+b2≤4”,所以③正确.
13.C根据复合命题真假的判断,若“p且q”为假命题,则p或q至少有一个为假命题,所以①错误;根据否命题的定义,命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b-1”为真命题,所以②正确;根据含有量词的否定,“∀x∈R,x2+1≥1”的否定是“∃x∈R,x2+1<1”,所以③正确;根据正弦定理,“A>B”⇒“sin A>sin B”且
“A>B”⇐“sin A>sin B”,所以④正确.综上,正确的有②③④,所以选C.
14.B命题p,¬q都是真命题,则命题q为假命题,因此“p∧q”为假命题,A不正确;“∀x∈R,2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”,B正确;“若xy=0,则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0,则x≠0且y≠0”,C不正确;“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件,D不正确,综上可得只有B正确.
15.B p∨q为真命题,则只要求p或者q中有一个是真命题即可,p∧q为真命题,则要求两者均为真命题,故A不正确;令f(x)=x-sin x,f'(x)=1-cos x≥0恒成
立,f(x)=x-sin x在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)>f(0)=0,∴x>sin x,B为真命题;命题“∃x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1,故选项C不正确;命题“若x2=2,则x=√2或x=-√2”的逆否命题是“若x≠√2且x≠-√2,则x2≠2”,故选项D不正确,故选B.
16.[0,1) ∵命题p :∃x ∈R ,ax 2+2ax+1≤0是假命题,∴其否定“∀x ∈R ,ax 2+2ax+1>0”为真命题.
当a=0时,显然成立;
当a ≠0时,ax 2+2ax+1>0恒成立可化为{a >0,
4a 2-4a <0,
解得0<a<1,综上所述,实数a 的
取值范围是[0,1).
17.(1)[3,+∞) (2)(1,√3] (1)因为f (x )=
x 2-x+1x -1=x+1x -1=x-1+1
x -1
+1≥2+1=3,当且仅当x=2时,等号成立.所以若∃x 0∈[2,+∞),使f (x 0)=m 成立,则实数m 的取值范围为[3,+∞).
(2)因为当x ≥2时,f (x )≥3,g (x )≥a 2,若∀x 1∈[2,+∞),∃x 2∈[2,+∞),使得
f (x 1)=
g (x 2),
则a 2≤3,且a>1,解得a ∈(1,√3].
18.解 若函数f (x )=ax 2+4x+2有零点,则a=0或Δ=16-8a ≥0,即a ≤2;
函数f (x )=sin π
2x 的周期T=4,若函数f (x )=sin π
2x 区间(0,a )内只有一个极值点,则
T 4<a<3T
4
,即1<a<3.
∵(¬p )∧q 为真命题,∴p 假q 真,
则{
a >2,
1<a <3,
即2<a<3.
∴实数a 的取值范围是(2,3).。