上海市2020届高三数学上学期期末考试试题(文理合卷,含解析)沪教版

崇明县2020学年第一学期期末考试试卷
高 三 数 学（一模）
（考试时间120分钟，满分150分） 考生注意：
本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答案必须写在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

一、填空题（每题4分，共56分）
1、设复数(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z = . 【答案】3+5i
【解析】由(2)117z i i -=+得117(117)(2)1525352(2)(2)5
i i i i
z i i i i ++++=
===+--+。

2、已知(0,)απ∈且tan()4π
α+=，则α= . 【答案】
512
π
【解析】由tan()4π
α+=得,43k k Z ππαπ+=-+∈，所以7,12k k Z π
απ=-+∈。

因
为(0,)απ∈，所以
54
4
4π
π
πα<+
<
，所以当1k =时，751212
ππ
απ=-+=。

3、过点(1,1)P -，且与直线:10l x y -+=垂直的直线方程是 . 【答案】+=0x y
【解析】直线:10l x y -+=的斜率为1，所以过点(1,1)P -，且与直线:10l x y -+=垂直的直线的斜率为1-，所以对应方程为(1)(1)y x --=--，即+=0x y 。

4、若集合13
1
{,11},{2,01}A y y x x B y y x x
==-≤≤==-<≤，则A B I 等
于 .
【答案】[]-1,1
【解析】13
{,11}{11}A y y x x y y ==-≤≤=-≤≤，1{2,01}{1}B y y x y y x
==-<≤=≤，所以{11}[1,1]A B y y =-≤≤=-I 。

5、已知1()y f x -=是函数2()2f x x =+(0)x ≤的反函数，则1(3)f -= . 【答案】1-
【解析】由223x +=得2
1x =，所以1x =-，即1(3)1f -=-。

6、251
()x x
-展开式中4x 的系数是 .（用数字作答）
【答案】10
【解析】展开式的通项为251031551
()
()(1)k
k
k k k k k T C x C x x
--+=-=-，
由1034k -=，得2k =，所以2244
35(1)10T C x x =-=，即4x 的系数是10.
这个数列的第3项是 .
【答案】30
【解析】第一次循环，3,2,326A N A ===⨯=;第二次循环，6,3,6530A N A ===⨯=;第三次循环，30,4,3029A N A ===⨯，所以数列的第三个数为30A =.
8、若圆锥的侧面展开图是半径为1cm 、圆心角为180︒的半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于 . 【答案】
4
【解析】因为半圆的周长为π，所以圆锥的母线为1。

设圆锥的底面半径为r ，则2r ππ=，所以12
r =。

=所以圆锥的轴截面面积为11222⨯⨯=。

第7题图
9、数列
{}
n a 的通项公式是1(1,2)
1
1(2)
3n n
n n a n ⎧=⎪⎪+=⎨
⎪>⎪⎩，前n 项和为n S ，则
lim n n S →∞
= .
【答案】
8
9
【解析】因为23311[1()]
11111133123332313
n n n S --=+++=++-L
2211111811()()23181839183
n n --=++-=-，所以28118lim lim(())91839n n n n S -→∞→∞=-=。

10、已知：条件A ：
2
2031x
x >-，条件B ：x a >，如果条件A 是条件B 的充分不必要条件，
则实数a 的取值范围是 . 【答案】2a ≤- 【解析】由
22031x x >-得22(1)30x x -->，即2
2320x x +-<，解得122
x -<<
，即A:1
22
x -<<
.因为条件A 是条件B 的充分不必要条件，所以2a ≤-，即实数a 的取值范围是2a ≤-。

11、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值等于 . 【答案】
12
【解析】因为2222a b c +=，所以22222a b c ab +=≥，即2c ab ≥当且仅当a b =时去等号。

所以22221
cos 2222a b c c ab C ab ab ab +-==≥=，所以cos C 的最小值等于12
.
12、在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP u u u r 按逆时针旋转34
π
后得向量OQ u u u r ，则
点Q 的坐标是 .
【答案】(
【解析】(6,8)OP =u u u r ,设(10cos ,10sin )OP θθ=u u u r ，其中34
cos ,sin 55
θθ==。

将向量OP u u u r 按
逆时针旋转34
π
后得向量OQ u u u r ，设(,)Q x y ，
则
310cos()10(cos )422
x πθθθ=+
=--=-，
310sin()10()4y πθθθ=+
=+=
(Q -. 13、数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60
项和等
于 .
【答案】1830
【解析】12)1(1-=-++n a a n n n ，n +1代n ，得12)1(112+=-++++n a a n n n ，
当n 为奇数时，121-=-+n a a n n ，1212+=+++n a a n n ⇒22=++n n a a ⇒a 1+a 3=a 5+a 7=…
= a 57+a 59=2⇒S 奇=3022
30=⨯，由121-=-+n a a n n 得：112=-a a ，534=-a a ， 956=-a a ，…，15925960-⨯=-a a ，以上各式相加，得S 偶-S 奇=177030215921=⨯-⨯+ ∴S 60=(S 偶-S 奇)+2S 奇=1770+60=1830.
14、已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x g x =-，若同时满足条件：①对于任意x R ∈，()0f x <或()0g x <成立； ②存在(,4)x ∈-∞-，使得()()0f x g x ⋅<成立．则m 的取值范围是
. 【答案】(-4,-2)
解：由()0g x <⇒x <1，要使对于任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <成立，则x ≥1时，
)3)(2()(++-=m x m x m x f <0恒成立，故m <0，且两根2m 与-m -3均比1小，得-4<m <0①. ∵x ∈(-∞,-4)时，()0g x <，故应存在x 0∈(-∞,-4)，使f (x 0)>0， 只要-4>2m 或-4>-m -3⇒m <-2或m >1②，由①、②求交，得-4<m <-2.
二、选择题（每题5分，共20分）
15、设函数()sin ,f x x =x R ∈，则下列结论错误的是………………………………………（ ） A ．()f x 的值域为[0,1] B ．()f x 是偶函数
C ．()f x 不是周期函数
D ．()f x 不是单调函数
【答案】C
【解析】因为()sin()sin ()f x x x f x ππ+=+==，所以函数的周期是π，即()f x 是周期函数，所以C 错误。

选C. 16、下面是关于复数2
1z i
=
-+的四个命题：
①2z =； ②22z i =； ③z 的共轭复数为1i +； ④z 的虚部为1-．
其中正确的命题……………………………………………………………………………（ ）
A ．②③
B ．①②
C ．②④
D ．③④ 【答案】C
【解析】22(1)2(1)
11(1)(1)2i i z i i i i ----====---+-+--，
所以z =z 的共轭复数为1i -+，z 的虚部为1-，22(1)2z i i =--=，所以②④ 正确，选C.
17、等轴双曲线C ：222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于,A B
两点，AB =，则
双曲线C 的实轴长等于……………………………………………………………………
（ ）
A
B
．
C ．4
D ．8
【答案】C
【解析】抛物线的准线为4x =-，当4x =-时，2216y a -=，解得2
2
16y a =-
，因为AB =
y =2
2
1216y a ==-，所以2
4,2a a ==，所以双曲线的实
轴为24a =，选C.
18、某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为……………………（ ）
A ．3
5
B ．
8
15
C ．
2
5
D ．15
【答案】A 【解析】6节课共有6
6A 种排法.语文、数学、外语三门文化课中间隔1节艺术课有3
43
3A A 种排法，三门文化课中、都相邻有3433A A 种排法，三门文化课中有两门相邻有3
312122223A C C A C ，
故所有的排法有3
31212222334332A C C A C A A +，所以相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的
概率为5
326
633121222233433=+A A C C A C A A ,选A.
三、解答题（本大题共74分，解答下列各题需要必要的步骤） 19、（本题12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分）
已知函数2()=sin(2+)+sin(2)+2cos 133
f x x x x ππ
--, x R ∈.
（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当[,]44
x ππ
∈-
时，求函数()f x 的值域以及函数()f x 的单调区间． 20、（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分）
（理科）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中, 11AA AD ==, E 为CD 中点．
（1）求证：11B E AD ⊥；
（2）若2AB =，求二面角11A B E A --的大小．
（文科）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，AO ⊥平面BCD ，
2CA CB CD BD ====．
（1）求三棱锥A BCD -的体积；
（2）求异面直线AE 与CD 所成角的大小．
21、（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分）
已知数列{}n a ，记123()n A n a a a a =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+, 2341()n B n a a a a +=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+, 3452()n C n a a a a +=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+, (1,2,3,......)n =，并且对于任意n N *∈，恒有0n a >成立．
A
B
E
O
D
C
A
B
C
E D
A 1
D 1
B 1
C 1
（1）若121,5a a ==，且对任意n N *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的
通项公式；
（2）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n N *∈，三个数
(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列．
22、（本题16分，第(1)小题4分；第(2)小题6分；第(3)小题6分）
设函数()(,,)n n f x x bx c n N b c R *=++∈∈.
（1）当2,1,1n b c ===-时，求函数()n f x 在区间1
(,1)2内的零点；
（2）设2,1,1n b c ==-≥，证明：()n f x 在区间1
(,1)2内存在唯一的零点；
（3）设2n =，若对任意[]12,1,1x x ∈-，有2122()()4f x f x -≤，求b 的取值范围． 23、（本题18分，第(1)小题6分；第(2)小题12分）
如图，椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>> 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆
于
,A B 两点，2ABF ∆的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形． （1）求椭圆E 的方程；
（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．
试探究：①以PQ为直径的圆与x轴的位置关系？
②在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？
若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．
崇明县2020学年第一学期高三数学参考解答 一、填空题 1、3+5i 2、
5
12
π 3、+=0x y 4、[]-1,1 5、1- 6、10 7、30 8
9、8
9
10、-2a ≤ 11、
1
2
12
、( 13、1830 14、(-4,-2) 二、选择题
15、C 16、C 17、C 18、A 三、解答题
19、1(x)=sin2x+cos2x f （）
(2x+
)4
π
=T π∴
（2）因为32x+
444π
ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，
，所以sin (2x+),142π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
,
所以(x)f ⎡∈-⎣ 函数的增区间为48ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦，，减区间为84ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 20、（理科）
（1）方法一、以A 为坐标原点，以AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角
坐标系,设AB a =，则1,1,12a B E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
u u u r ，1(0,1,1)AD =u u u u
r .
所以 , 11110,B E AD B E AD ⋅=⊥u u u r u u u u r。

另解：11AA D D 为正方形，所以11A D AD ⊥，
111111A D AD AD B CD CD AD ⊥⎫
⇒⊥⎬⊥⎭
面A 。

11111B E A B CD AD B E ⊆⇒⊥又面。

（2）因为()()12,0,11,1,0,AB AE ==u u u r u u u r
，
所以取面AB 1E 的一个法向量为()1=1,-1,-2n u r ，同理可取面A 1B 1E 一个法向量为()2=0,1,1n u u r
，
设二面角A-B 1E-A 1为α，
则1212cos n n n n α⋅=
⋅，=6π
α所以即二面角A-B 1E-A 1的大小为
6
π
. （文科）
（1）因为
AO=1
所以1133
V =
= 。

（2）因为O 、E 为中点，所以OE//CD ，所以AEO ∠的大小即为异面直线
AE 与CD 所成角。

在直角三角形AEO 中，=
4
AEO π
∠，所以异面直线AE 与CD 所成角的大小为
4
π 21、解：（1）2B(n)=A(n)+C(n)
*+2121-=-=4,n N n n a a a a +⇒∈，所以{}n a 为等差数列。

*=4-3,n N n a n ∴∈
（2）（必要性）若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则
23+1
12+++(n)==(n)++n n
a a a B q A a a a L L ，34+2
23+1
+++(n)==(n)++n n a a a C q B a a a L L ，所以A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q 的等比数列。

（充分性）：若对于任意N n *
∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列， 则()(),()()B n qA n C n qB n ==，
于是[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即
2121.n n a qa a a ++-=- 由1n =有(1)(1),B qA =即21a qa =，从而210n n a qa ++-=.
因为0n a >，所以
22
11
n n a a q a a ++==，故数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列。

综上，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充要条件是对任意的*
n N ∈，都有A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q 的等比数列。

22、解：（1）22(x)=x +-1f x ，令2(x)=0f
，得-1=
2
x ±，
所以21(x)(
,1)22
f 在区间内的零点是x=。

（2）证明：因为 n 1(
)<02f ，n (1)>0f 。

所以n 1()2f ⋅n (1)<0f 。

所以n (x)f 在1
(1)2
，内存在零点。

12121212121x (,1),x <(x )-f (x )=(x -)+(x -x )<02
n n
n n x x f x ∈任取、且，则，所以n (x)f 在
1(1)2，内单调递增，所以n (x)f 在1(1)2
，内存在唯一零点。

（3）当n ＝2时，f 2(x )＝x 2＋bx ＋c .
对任意x 1，x 2∈[－1,1]都有|f 2(x 1)－f 2(x 2)|≤4等价于f 2(x )在[－1,1]上的最大值与最小值之差M ≤4.
据此分类讨论如下： ①当||12
b
>，即|b |＞2时，M ＝|f 2(1)－f 2(－1)|＝2|b |＞4，与题设矛盾。

②当－1≤2b -
＜0，即0＜b ≤2时，M ＝f 2(1)－f 2(2b -)＝(2
b ＋1)2≤4恒成立． ③当0≤2b -≤1，即－2≤b ≤0时，M ＝f 2(－1)－f 2(2b -)＝(2b －1)2≤4恒成立． 综上可知，－2≤b ≤2.
注：②，③也可合并证明如下：
用max{a ，b }表示a ，b 中的较大者． 当－1≤2b -
≤1，即－2≤b ≤2时，M ＝max{f 2(1)，f 2(－1)}－f 2(2
b -) ＝22222(1)(1)|(1)(1)|()222
f f f f b f -+--+-- ＝1＋c ＋|b |－(2
4
b -＋
c ) ＝(1＋||2
b )2≤4恒成立． 23、解：（1）当三角形面积最大时，为正三角形，所以,,=,=A （0b ）a 2
c 4a 8 22
=4,=3b ∴a ，椭圆E 的方程为22
+=143x y （2）①由2214
3y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得方程222(43)84120k x kmx m +++-= 由直线与椭圆相切得22
0,0,430.m k m ≠∆=⇒-+= 求得43(,)k P m m -
，(4,4)Q k m +，PQ 中点到x 轴距离 223(2)22m d k m
=++ 2222212()(1)0(4302)2k PQ d k m m k m
-=->-+=⇒≠。

所以圆与x 轴相交。

（2）②假设平面内存在定点M 满足条件，由对称性知点M 在x 轴上，设点M 坐标为
1(,0)M x ，1143(,),(4,4)k MP x MQ x k m m m =--=-+u u u r u u u u r 。

由0MP MQ ⋅=u u u r u u u u r 得2111(44)430k x x x m -+-+= 所以211144430x x x -=-+=，即11x =
M。

所以定点为(1,0)。