数学经典易错题会诊与高考试题预测16

经典易错题会诊与2022届高考试题预测〔十六〕
考点16 复数 ►复数的概念 ►复数的代数形式及运算 ►复数概念的应用 ►复数的代数形式及运算 经典易错题会诊 命题角度 1 复数的概念
1．〔典型例题〕假设z 1=a+2i,z 2=3-4i,且2
1
z z 为纯虚数，那么实数a 的值为___________. [考场错解]∵z 1+a+2i,z 2=3-4i,∴.25
462583169)46(83)43)(43()43)(2(43221i a a i a a i i i i a i a z z ++-=+++-=+-++=-+= 又∵2
1
z z 为纯虚数。

∴
,025
8
3=-a ∴a=38.∴填38。

[专家把脉] ∵复数z=a+bi(a,b ∈R )为纯虚数的充要条件是a=0且b ≠0.因此上面解答虽然
答案是正确的，但解答过程错了，在由
02583=-a 解得a=38时还需满足025
46≠+a。

[对症下药]∵z 1=a+2i,z 2=3-4i,
∵21z z 为纯虚数，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+=-0
25
46025
8
3a a 解得a=38。

∴填3
8。

2．〔典型例题〕z=
i
-11
的共轭复数是 〔 〕 A ．2
1
+2
1i B ．21-2
1i C ．1-i D ．1+i [考场错解] 选C ∵z=i
-11
=1+i.∴z 为纯虚数为1-i [专家把脉] z=
i
-11
=1+i 是错误的，因为〔1-i 〕(1+i)=1-(i)2-z ≠1 [对症下药] 选B ∵z=
i -11=.2
12121)1)(1(1i i i i i +=+=+-+
∴z=
i -11的共轭复数是21-2
1
i 。

3．〔典型例题〕复数z 1=3+4i ，z 2=t+i,,且21z z •是实数，那么实数t= 〔 〕 A ．43 B ．34 C ．-34 D ．-4
3
[考场错解] 选C ∵z1·2z ∈R ⇔2121z z z z +=0。

即〔3+4i 〕(t-i)+(3-4i)(t+i)=0
⇒
t=-3
4.
[专家把脉]∵z ∈R ⇔z =z.z 为纯虚数⇔z+z =0(z ≠0)因此上面解容许用的是Z 为纯虚数的充根条件，因而求出的t 是z 12z 为纯虚数的结果，显然是错误的。

[对诊下药] 解法1：z 12z =〔3+4i 〕(t-i)= (3-4i)(t+i) ∵z 12z 为实数，∴4t-3=0，t=4
3. 解法2：∵z 12z ∈R ，∴z 12z =21z z ∴〔3+4i 〕(t-i)=(3-4i)(t+i)
⇒〔3t+4〕+(4t-3)i=(3t+4)+(3-4t)i
⇒
4t-3=3-4t ⇒t=4
3.
4．〔典型例题〕z 是复数，z+2i,
i
z -2均为实数〔i 为虚数单位〕，且复数〔2+ai 〕2
在复平面上对应的点在第一象限。

求实数a 的取值范围。

[考场错解] 设z=x+yi(x,y ∈R ),∵z+2i=x+(y+2)i 由题意得 y=-2. ∵
5
1
222=--=-i i x i z (x+2)(2+i)=51(2x+2)+51(x-4)i.
由题意得x=4,∴z=4-2i.
∵(z+ai)2=[4+(a-2)i]2=(12+4a-a 2
)+8(a-2)i
∵(z+ai)2
在复平面上的点在第一象限， ∴,.0)2(8,
04122⎪⎩
⎪⎨
⎧≥-≥-+a a a 解得2≤a ≤6.
∴实数a 的取值范围是[2，6]。

[专家把脉] 复数z=a+bi(a 、b ∈R )对应点〔a 、b 〕在第一象限的充要条件是a>0,b>0.∵a=0对应点在虚轴上；b=0对应点在实轴上，不属于任何象限，因此，a ≠2，b ≠6。

[对症下药] 设z=x+yi(x 、y ∈R ). ∵z+2i=x+(y+2)i 由题意得，y=-2.
又∵
5
1
)2)(2()2(2=+-+=-i i i z i z (2x+2)+51(x-4)i.
由题意得：x=4,z=4-2i.
∵(z+ai)2=(12+4a-a 2
)+8(a-2)i
根据条件，可知⎪⎩⎪⎨
⎧>->-+0
)2(80
4122a a a 解得2<a<6. ∴实数a 的取值范围是〔2，6〕。

专家会诊
1．深刻理解复数、实数、虚数、纯虚数、模、辐角、辐角主值、共轭复数的概念和得数
的几何表示——复数z=a+bi(a,b ∈R )与复平面内的点〔a 、b 〕及向量OP 是一一对应的，在对概念的理解时要善于利用数形结合的思想，如纯虚数与虚轴上的点对应，实数与实轴上的点对应，复数的模表示复数对应的点到原点的距离。

2．要善于掌握化虚为实的转化方法，即设复数z=a+bi(a,b ∈R )，但有时给许多问题的求
解带来不必要的运算困难，而假设把握复数的整体性质运用整体运算的思想方法，那么能事半功倍，同时要注意复数几何意义的应用。

考场思维训练 1 假设复数
i
i
a 213++(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，那么实数a 的值为 〔 〕 A ．-2 B ．4 C ．-6 D ．6 答案： C 解
析：∵
.605
2305
.52355)23()21)(21()21)(3(213-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=+-++=-++=-+-+=++a a b
a i a
b a i a b a i i i i a i i a 解得依有题意有
2 复数z=
i
i
++-11-1，在复平面内，z 所对应的点在 〔 〕 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案： B 解析：
z=
-=+-=+--+-=-++-i
i i i i i 12
111111.,111)1(2B z i i 内选所对应的点在第二象限+-=+- 3 设复数z 满足
i z
z
=+-11，那么|1+z|= 〔 〕 A ．0 B ．1 C ．2 D ．2 答案： C 解析：由
.2
)1(11,112
i i i i z i z z -=-=+-=∴=+- ∴|1+z|=|1-i|=..21122C 选=+
4 复数z 1满足〔1+i 〕z 1=-1+5i ，a 2=a-2-i.其中i 为虚数单位，a ∈R 。

假设|z1-2z |<|z 1|，求a 的取值范围。

答案：解：由题意得于是,321511i i
i
z +=++=
.13||,4)4(|24|||1221=+-=+-=-z a i a z z 由.078,134)4(22<+-<+-a a a 得 ∴1<a<7.
命题角度 2
复数的代数形式及运算 1．〔典型例题Ⅰ〕复数
i
i 2123--= 〔 〕
A ．i
B ．-i
C ．-22-i
D ．-22+i [考场错解] 选C ∵
.221
2221)21)(2(2122123i i
i i i
i i
i --=-+=-+-=
--=
--
[专家把脉] 上面解答错误认为i 2
=1.导致结果错误。

[对症下药] A 解法1： .3
2
22)
21)(21()21)(2(2122123i i i i i i i i
i i i =-++=
+-++=
-+=
-- 应选A 。

解法2：
.1
)
2)((22221223i i
i i i i
i i i
i ==+-+=
--+=
-- 2．〔典型例题〕复数
i
i 31)31(5++-的值是 〔 〕
A ．-16
B ．16
C ．-4
1
D ．8-8i 3 [考场错解] 选D 。

∵i i i
i i i i 3884)31(2311231])2321[(231)31(5355
3
5
35
5-=-=+•=++-=++-
选D 。

[专家把脉]
上面解答似乎很有“道理〞，但〔-21+i 23〕5=[〔-21+i 2
3〕3
]35是错误的∵z mn =(z m )n 在数范
围内，必须是m 、n 均正整数时才成立，这一错误是机械地照搬实数集中分数指数幂运算法
那么，所以对于数学中的有关定理、定义、法那么、性质等，在应用时，必须注意成立的条件，否那么会产生错误。

[对症下药] 选A 。

原式=
).2321(16222)2()2
32
1(2)
2321(255555i w w w w w w w i i +-=-=•-=-=+
•+-令 3 满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是 〔 〕 A ．一条直线 B ．两条直线 C ．圆 D ．椭圆
[考场错解] 选A 。

由|z-i|=|3+4i|知z 在复平面上对应的图形是点〔0，1〕和〔3，4〕的垂直平分线。

[专家把脉] 上面解答把条件看成|z-i|=|z-(3+4i)|.这类型题应用复数的代数形式z=x+yi(x,y ∈R )代入计算才能确定答案。

[对症下药] 选C 。

设z=x+yi(x,y ∈R )代入|z-i|=|3+4i|中计算得,5)1(22=-+y x 即x 2
+(y-1)2
=25.
∴z 的轨迹是表示以〔0，1〕为圆心，以5为半径的圆，选C 。

4．〔05，上海卷〕证明：在复数范围内，方程|z|2
+〔1-i 〕z -(1+i)z=i
i
+-255(i 为虚数单位)无解。

[考场错解] ∵|z|=|z |，∴原方程化简为：两边取模的：|z|2
+〔1-i-1-i 〕|z|=|1-3i|=10. ∴|z|2
-2i|z|=10⇒|z|2
-10=2i|z|。

①
∵|z|∈R 。

|z|2
-10∈R 而2i|z|为纯虚数或0。

当|z|=0。

①显然不成立；
当2i|z|为纯虚数，①也不成立。

综合得：原方程无解。

[专家把脉] 以上解答错在两边取模的计算，因为|z 1+z 2|=|z 1|+|z 2|，只有当z 1=λz 2〔λ∈R +〕时成立，而从题设条件中是无法得到这一条件的。

[对症下药] 原方程化简为|z|2+〔1-i 〕z-〔1+i 〕z=1-3i. 设z=x+yi(x,y ∈R ),代入上述方程得： x 2+y 2
-2xi-2yi=1-3i
∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)
2(3
22)1(122y x y x
将〔2〕代入〔1〕，整理得8x2-12x+5=0 (*) ∵△=-16<0,∴方程〔*〕无实数解。

∴原方程在复数范围内无解。

专家会诊
1．复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行
2．求解计算时，要充分利用i 、w 的性质，可适当变形，创造条件，从而转化i 、w 转化
的计算问题。

3．在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和运用。

考场思维训练 1
=++-i
i i 1)
21)(1( 〔 〕
A ．-2-i
B ．-2+i
C ．2-i
D ．2+i 答案： C 解析：
.22
)
21(2)1)(1()21()1(1)21)(1(2i i i i i i i i i i -=+-=-++-=++-
2 z=i+i 2
+i 3
+i 4
的值是 〔 〕
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．i 答案： B 解析：z=i+i 2+i 3+i 4=i-1-i+1=0. 3 _________)131(
2
=+-i
i 答案：.32)3(321)131(:32
2i i
i i i i +=--=+-+-解析
4 复数z=1+i ，求实数a 、b,使az+2b Z =(a+2z)2
. 答案：解：∵z=1+i,代入az+2b 中2)2(z a z +=
得a(1+i)+2b(1-i)=(a+2+2i)2即a+2b-(a+2)2+4+(-3a-2b-8)i=0.
5 设i 是虚数单位，复数z 和w 满足zw+2iz-2iw+1=0 (1) 假设z 和w 又满足w -z=2i ，求z 和w 值。

答案：012)2)(2(01222,2=+-+-=+-+-=∴=-iw i w i w iw iz zw i
w z i z w 中得代入
〔2〕求证：如果|z|=3，那么|w-4i|的值是一个常数，并求这个常数。

答案：由wz+2iz-2iw+1=0 有z(w+2i)=2iw-1 ∴|z||w+2i|=|2iw-1| 设w=x+yi,那么有
又|z|=3,故①式可变为
3(x 2+y 2+4y+4)=4x 2+4y 2+4y+1, ∴x 2+y 2-8y=11. 探究开放题预测 预测角度 1
复数概念的应用 以下命题中：
〔1〕两个复数不能比较大小；
〔2〕假设z=a+bi ，那么当且仅当a=0,b ≠0时，z 为纯虚数； 〔3〕〔z1-z2〕2+〔z2-z3〕2=0，那么z1=z2=z3； 〔4〕x+yi=1+i ⇔x=y=1;
〔5〕假设实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚集一一对应。

其中正确的命题的个数是 〔 〕 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
[解题思路] 关键是理解复数及其有关的概念，证明它们之间的关系，假设对复数概念理解不透彻，导致判断失误。

[解答] 选A 都不正确：〔1〕因为当两个复数是实数时，可以比较大小；
〔2〕假设b=i 时，那么有z=0+i 2
=-1∈R 。

〔3〕只有当z 1、z 2、z 3∈R 时，命题才成立，当z 1=1，z 2=0，z 2=i 满足条件，故结论不成立。

〔4〕只有当x 、y ∈R 时，命题才正确。

〔5〕假设a=0，那么a ·i=0,不再是纯虚数。

2．复数z=log 2(z 2-3x-3)+ilog 2(x-3),当x 为何实数时。

〔1〕z ∈R ；〔2〕z 为虚数；〔3〕z 为纯虚数；〔4〕z =log 449-i;〔5〕在复平面上z 的对应点们于第三象限。

[解题思路] 讨论此类问题时，首先将原式化为复数z=a+bi(a,b ∈R)的形式，然后根据复数的分类求解。

[解答] 〔1〕∵一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
∴⎪⎩⎪⎨⎧=->--0
)3(log 03322x x x 解得x=4,当x=4时，x ∈R 。

〔2〕∵一个复数是虚数的充要条件是虚部非0。

∴⎪⎩⎪⎨⎧≠->--0)3(log 0332
2x x x 解得2213+<x<4或x>4
即x ∈(
2
21
3+,4)∪(4,+∞)时，Z 为虚数。

〔3〕∵一个复数是纯虚数，那么其实部为零且虚部不为零。

∴,.0)3(log 0)33(log 2
22∈⎪⎩⎪⎨⎧≠-=--x x x x 解得即x 不存在。

〔4〕log 2(x 2
-3x-3)-ilog 2(x-3)=log49-i,根据两个复数相等的条件： 解得x=5，当x=5时，z =log 449-i. 〔5〕依题意有⎪⎩⎪⎨
⎧<-<--0
)3(log 0)33(log 222x x x
解得2
21
3+<x<4 ∴当
2
21
3+<x<4时，复数z 对应的点位于第三象限。

预测角度 2
复数的代数形式及运算 1．计算：〔1〕
;)31()22(5
4i i -+〔2〕
[解题思路] 利用w 的性质和i n
的周期性进行运算。

[解答]〔1〕原式=
.31)2
3
21(222)2(2])1[()2
321(2)1(6
25
2254i i w w
w i w
i i +-=+-
==-•=
-+=
-+ 〔2〕原式=
.2)()22
(])12[(
321)321(1003100310032i i i i
i i i
i i =-+=+=-+++ 2．设复数z=i
i i +-++2)1(3)1(2，假设z 2
+az+b=1+i,求实数a 、b 的值。

[解题思路] 与实数集中求值问题类似，应先化简后代入求值。

[解答]z=.15
55)2)(2()2)(3(232)1(322)1(3)1(2i i
i i i i i i i i i i i i -=-=-+--=+-=+-+=+-++
将z=1-i 代入z 2
+az+b=1+i 得 〔1-i 〕2
+a(1-i)+b=1+i 即(a+b)-(a+b)i=1+i ∴⎩
⎨⎧=-=⎩⎨
⎧=+-=+43
.
1)2(,1b a a b a 解得 3.假设z ∈c ，且|z+2-2i|=1,那么|z+2-2i|的了小值是 〔 〕
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
[解题思路]运用数形结合的思想求解。

[解答] B ∵|z+2-2i|=1,即|z-(2+2i)|=1
∴点z 的轨迹是以〔-2，2〕为圆心，以1为半径的圆|z-(2+2i)|表示圆上一点到定点A 〔2，2〕的最小距离|AP|=|AC|-1=10)22(22-++=4-1=3。

4 设z 是虚数，w=z+z
1为实数，且1-<w<2. 〔1〕求|z|的值及z 的实部的取值范围。

〔2〕设u=
z
z
+-11，求证：u 为纯虚数。

〔3〕求w-u 2
的最小值。

[解题思路] 设z=a+bi(a,b ∈R,b ≠0)代入w 整理为w=x+yi 形式w 是实数的条件去创造等量关系。

[解答]〔1〕设z=a+bi(a,b ∈R,b ≠0) w=a+bi+
.)()(12
222i b a b
b b a a a bi a +-+++=+ ∵w 是实数，b ≠0.
∴a 2+b 2
=1,即|z|=1。

∵w=2a,-1<w<2.∴z 的实部的取值范围是〔-2
1
，1〕 〔2〕u=
.1)1(21)1()1()1()1(11112
222i a b
b a b b a bi a bi a bi a bi a bi a bi a z z +-=++---=-+-+=++--=++--=+-
又∵a ∈(-2
1，1), b ≠0,∴u 为纯虚数。

〔3〕w-u 2
=2a+132231
2
)1(21212112)
1(12)
1(2
22
2=-⨯≥-+++=++-=+-+
=+-+
=+a a a a a a a a a a a b . ∴2(a+1)=
12+a 即a=0 ∈(-2
1
，1)时，上式等号成立。

∴w-u 2
的最小值为1。

考点高分解题综合训练
1 复数Z 1=3+4i,Z 2=1+i,那么Z 1·2Z 等于 〔 〕 A ．7+i B ．7-i C ．1-7i D ．1+7i 答案： A 解析：由z 2=1+I 得.7)1)(43(,1212i i i z z i z +=-+=•-=于是
2 在复平面内，设向量1p =〔x 1,y 1〕, 2p =〔x 2,y 2〕，设复数Z 1=x 1+y 1i(x 1,y 1,x 2,y 2∈R )那么
1p ·2p 等于 〔 〕
A ．1Z Z 2+2Z Z 1
B ．1Z Z 2-Z 12Z
C ．21〔1Z Z 2-Z 12Z 〕
D ．2
1〔1Z Z 2+Z12Z 〕
答案： D 解析：.))(())([(2
1)(21212121221122112121P P y y x x i y x i y x i y x i y x z z z z •=+=-+++-=+ 3 假设复数Z 满足|Z+1|=|Z-i|，那么Z 在复平面所对应的点集合构成的图形是〔〕 A ．圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．双曲线
答案： B 解析：|z+1|表示z 对应的点到(－1，0)的距离，|z-i|表示z 到对应的点到点(0,1)的距离，
∴ |z+1|=|z-i|表示复平面内到(-1,0)和(0,1)距离相等的点的轨迹，即点(-1,0)和(0,1)连结的垂直平分线，选B
4 设复数Z 满足〔Z+i 〕·Z=1-2i 3
，那么复数Z 对应的点位于复平面内〔〕 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案： A 解析：由(2+i)z=1-2i 3,i 3=-i.可得z=.)5
3
,54(,5354534)2)(2()2)(21(21A z i i i i i i i z i 位于第一象限选对应的点∴+=+=-+-+=++ 5
i
i --3)31(2
= 〔〕
A ．3+i
B ．3-i
C ．-3+i
D ．-3-i
答案： C 解析：
..33)
31(23)31(2
C i i
i i
i 选+-=---=
-+
6 44)14()12(
i
i -++的值为〔〕 A.2 B.-2 C.0 D.1 答案： B 解析：.22
)2(4)2(4)1(4)1(4)12()12(
24444-=-+=-++=-++i i i i i i 7 当Z=
2
1-i 时，Z 100
+Z 50
+1的值等于 〔 〕
A ．i
B ．-i
C ．1
D ．-1 答案： B 解析：.1.2
2)21(422-=-=-=
-=z i i
i z 8 Z 1=
,2,32112i
Z
Z i i -=-+，中Z2·2Z 的值是 〔 〕 A ．10 B ．10
1
C ．10
D ．10
10 答案： B 解析：∵z 1=.10
7110)3)(21(321i
i i i i +=++=-+ 9 定义运算
d
b c a =ad-bc,假设复数Z=x+yi(x,y ∈R )满足
1
11Z 的模等于x ，那么复数Z 对应的
点Z 〔x,y 〕的轨迹方程为___________.
答案：).2
1(2)1(|1:|).21
(222222-=⇒=+-⇒=--=x y x y x x z x y 解析 10 〔1-i 3〕10
的展开式中所有奇数项的和为____________.
答案：...)3()3(31)31(:233
102210110
109+-+-=--i C i C i C i 解析 ∴(1-3i )10的展开式中各奇数项和为-29. 11 z 2
=5-12i ，求f(z)=z-z
1的值。

答案：解：设z=z+yi(x1y ∈R),那么z 2=〔x+yi 〕2=x 2-y 2+2xyi 由题设得x 2-y 2+2xyi=5-12i.
∴⎩
⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-==-2323122522y x y x xy y x 或解得 z=3-2i 或z=-3+2i,|z|2=13. f(z)=z-z 1=z-z z z z z
1312)||1
1(||22=-= 当z=3-2i 时，f(z)=
1312(3-2i). 当z=-3+2i 时，f(z)=-13
12(3-2i) 12 设复数z 满足|z|=5，且〔3+4i 〕z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|m z -2|=25〔m ∈R 〕.求z 和m 的值。

答案：解：设z=x+yi(x,y ∈R),又|z|=5。

即x 2+y 2=25,又〔3+4i 〕z=(3+4i)(x+yi)=(3x-4y)(4x+3yi)的角平分线上，那么它的实部和虚部互为相反数，
∴3x-4y+4x+3y=0,化简得y=7x.
将其代入x 2+y 2=25得x=±
22,y=±.227 ∴z=±(22+i 2
27) 那么当z=
22+i 227时，|2z-m |=|1+7i-m|=52. 即〔1-m 〕2+72=50,解得m=0或2.
当z=-〔
22+i 227〕时，同理可求得m=0或-2. 当-2
2+时，m=0. 当z=
22-22时m=0. 综上m 的值为：0，2，-2.。