初中数学--二次函数一般式和顶点式--练习题含答案

数学试卷
一、填空题（共50小题；共250分）
1.请写出一个开口向下，并且过坐标原点的抛物线的表达式，
y=．
2.写出一个开口向下，顶点在第一象限的二次函数的表达
式.
3.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1)，且经过点B(1,0)，则抛物线的函数
关系式为．
4.抛物线的顶点在原点，且过点(3,−27)，则这条抛物线的解析式
为．
5.二次函数y=−x2−2x+1化成y=a(x−ℎ)2+k的形式是．
6.已知一抛物线与抛物线y=−1
x2+3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是
3
(−5,0)．根据以上特点，试写出该抛物线的表达式为．
7.如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(−1,0)，(1,−2)，当y随x
的增大而增大时，x的取值范围是．
8.若把函数y=x2+6x+5化为y=(x−m)2+k的形式，其中m，k为常数，
则k−m=．
9.已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3，1；与y轴交点的纵坐标为6，
则二次函数的关系式是．
10.请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0,3)
的抛物线对应的函数表达式：．
11.若二次函数的图象开口向下，且经过(2,−3)点．符合条件的一个二次函数
的解析式为．
12.若把二次函数y=x2+6x+2化为y=(x−ℎ)2+k的形式，其中ℎ，k为常
数，则ℎ+k=．
13.将二次函数y=x2−2x−5化为y=a(x−ℎ)2+k的形式为
y=．
14.抛物线的顶点坐标为(1,−2)，且过点(2,3)，则函数的关系
式：．
15.如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=(x−2)2+1，那么c的值
为．
16.若抛物线y=ax2经过点(−3,4)，则这函数的解析式是．
17.如图，在平面直角坐标系xOy中，点O是边长为2的正方形ABCD的中
心．写出一个函数y=x2+c，使它的图象与正方形ABCD有公共点，这个函数的表达式为．
18.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴为直线x=2；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个点为顶点的三角形面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式．
19.已知二次函数的图象开口向下，且其图象顶点位于第一象限内，请写出一个
满足上述条件的二次函数解析式为（表示为y= a(x+m)2+k的形式）．
20.把二次函数y=x2−12x化为形如y=a(x−ℎ)2+k的形
式：．
21.二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(2,11)和点(−1,−7)，则它的解析式
为．
22.将二次函数y=x2−2x化为顶点式的形式为：．
23.形状与y=−1
x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是(4,5)
2
的抛物线的解析式．
24.用配方法将二次函数y=4x2−24x+26写y=a(x−ℎ)2+k的形式
是．
25.将二次函数y=x2−4x+5化成y=(x−ℎ)2+k的形式，则
y=．
26.用配方法将y=1
x2−2x+1写成y=a(x−ℎ)2+k的形式，结果
3
为．
27.若把函数y=x2−2x−3化为y=(x−m)2+k的形式，其中m，k为常数，
则m+k=．
28.将y=2x2−12x−12变为y=a(x−m)2+n的形式，则m⋅n
=．
29.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3,0)，与y轴的交点为
B(0,3)，对称轴为直线x=1，则该抛物线对应的函数表达式为．
30.将函数y=x2−2x+3写成y=a(x−ℎ)2+k的形式为．
31.请写出一个图象的对称轴是直线x=1，且经过(0,1)点的二次函数的表达
式：．
32.将抛物线y=x2−6x+5化为y=a(x−ℎ)2+k的形式为．
33.将函数y=x2−2x+4化为y=a(x−ℎ)2+k的形式为．
34.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，B(1,−2)，该图象与x
轴的另一交点为C，则AC的长为．
35.把二次函数的表达式y=x2−4x+6化为y=a(x−ℎ)2+k的形式，那么ℎ+
k=．
36.抛物线y=−x2+bx+c的图象如图所示，则此抛物线的解析式
为．
37.已知二次函数y=x2+bx+c，当x=2时，y=0；当x=−1时，y=3，则
这个二次函数的解析式为．
38.把二次函数y=−1
x2+3x+3化成y=a(x+m)2+k的形式
4
为．
39.二次函数的图象的顶点坐标是(−2,3)，它与y轴的交
点坐标是(0,−3)．
40.将y=(2x−1)(x+2)+1化成y=a(x−ℎ)2+k的形式为．
41.二次函数y=x2−2x+6化为y=(x−m)2+k的形式，则m+
k=．
42.将二次函数y=x2−4x+9化成y=a(x−ℎ)2+k的形式．
43.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=−1，当x=−2与1
时，
2 y=0，则这个二次函数的解析式是．
44.将二次函数y=x2−4x+5化为y=(x−ℎ)2+k的形式，那么ℎ+
k=．
45.已知二次函数y=−x2+2x−3，用配方法化为y=a(x−ℎ)2+k的形式
为．
46.若将二次函数y=x2−2x+3配方为y=a(x−ℎ)2+k的形式，则
y=．
47.若把二次函数y=x2−2x+3化为y=(x−m)2+k的形式，其中m，k为常
数，则m+k=．
48.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,2)和(−1,−6)两点，则a+
c=．
49.把y=−1
x2+6x−17配方成y=a(x+ℎ)2+k的形式是．
2
50.设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(0,2)，B(4,3)，C三点，其中点C在直
线x=2上，且点C到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线对应的函数表达式为．
答案
第一部分
1.−x2+2x（答案不唯一）
2.y=−3(x−2)2+3（不唯一）
3.y=−x2+4x−3
【解析】设抛物线的解析式为y=a(x−2)2+1，
将B(1,0)代入y=a(x−2)2+1得，
a=−1，
函数解析式为y=−(x−2)2+1，
展开得y=−x2+4x−3．
4.y=−3x2
5.y=−(x+1)2+2
6.y=1
(x+5)2
3
7.x≥1
2
【解析】解析：
依题意，有
解得{b=−1,
c=−2,
∴y=x2−x−2，对称轴为x=12，
时，y随x的增大而增大．
∴当x≥1
2
8.−1
9.y=2x2−8x+6
10.y=x2−4x+3（答案不唯一）
11.y=−x2−2x+5（答案不唯一）
【解析】由题意得，二次函数的图象开口向下，且经过(2,−3)点，y=−x2−2x+5符合要求．但答案不唯一．
12.−10
13.(x−1)2−6
14.y=5(x−1)2−2
15.5
16.y=4
9
x2
17.答案不惟一，如y=x2．（说明：写成y=x2+c的形式时，c的取值范围是−2≤c≤1）
18.y=(x−1)(x−3)，y=−(x−1)(x−3)，y=1
5(x+1)(x−5)，y=−1
5
(x+1)(x−5)写
出其中一个即可
19.y=−(x−1)2+1（答案不唯一）
20.y=(x−6)2−36
21.y=x2+5x−3
22.y=(x−1)2−1
23.y=1
2
(x−4)2+5
24.y=4(x−3)2−10
25.(x−2)2+1
26.y=1
3
(x−3)2−2
27.−3
28.−90
【解析】y=2x2−12x−12
=2(x2−6x+9)−30
=2(x−3)2−30.
所以m=3，n=−30．
29.y=−x2+2x+3
30.y=(x−1)2+2
31.y=x2−2x+1（答案不唯一）
32.y=(x−3)2−4
33.y=(x−1)2+3
34.3
【解析】提示：解析式为y=x2−x−2.
35.4
36.y=−x2+2x+3
37.y=x2−2x
38.y=−1
4
(x−6)2+12
39.y=−3
2
(x+2)2+3
40. y =2(x +34)2
−178
41. 6
42. y =(x −2)2+5
43. y =x 2+32
x −1 44. 3
45. y =−(x −1)2−2
46. (x −1)2+2
47. 3
【解析】y =x 2−2x +3=(x −1)2+2，
∴m =1，k =2．
∴m +k =3．
48. −2
49. y =−12
(x −6)2+1 50. y =18x 2−14x +2 或 y =−18x 2+34x +2 【解析】∵A (0,2)，B (4,3)，C 三点在抛物线上，
∴c =2，16a +4b +2=3，
又 ∵ 点 C 在直线 x =2 上，且点 C 到抛物线对称轴的距离等于 1， ∴ 对称轴为直线 x =1 或 x =3，
当对称轴为直线 x =1 时，{−b 2a =1,16a +4b +2=3. 解得 {a =18,b =−14
. ∴y =18x 2−14x +2， 当对称轴为直线 x =3 时，{−b 2a =3,16a +4b +2=3. 解得 {a =−18,b =34
. ∴y =−18x 2+34x +2．。