(全国版)高考数学一轮复习 不等式选讲 第1讲 绝对值不等式增分练-人教版高三全册数学试题

第1讲绝对值不等式
板块三模拟演练·提能增分
[基础能力达标]
1．[2018·某某模拟]设函数f(x)＝|x－4|，g(x)＝|2x＋1|.
(1)解不等式f(x)<g(x)；
(2)若2f(x)＋g(x)>ax对任意的实数x恒成立，求a的取值X围．
解(1)f(x)<g(x)等价于(x－4)2<(2x＋1)2，
∴x2＋4x－5>0，
∴x<－5或x>1，
∴不等式的解集为{x|x<－5或x>1}．
(2)令H(x)＝2f(x)＋g(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧4x－7，x>4，
9，－
1
2
≤x≤4，
－4x＋7，x<－
1
2
，
G(x)＝ax，
2f(x)＋g(x)>ax对任意的实数x恒成立，即H(x)的图象恒在直线G(x)＝ax的上方，故直线G(x)＝ax的斜率a满足－4≤a<
9
4
，即a的X围为⎣⎢
⎡
⎭⎪
⎫
－4，
9
4
.
2．[2018·某某模拟]已知函数f(x)＝|x－5|－|x－2|.
(1)若∃x∈R，使得f(x)≤m成立，求m的取值X围；
(2)求不等式x2－8x＋15＋f(x)≤0的解集．
解 (1)f (x )＝|x －5|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x ≤2，7－2x ，2<x <5.
－3，x ≥5，
当2<x <5时，－3<7－2x <3，所以－3≤f (x )≤3.
所以m 的取值X 围是[－3，＋∞)．
(2)原不等式等价于－f (x )≥x 2－8x ＋15， 由(1)可知，当x ≤2时，－f (x )≥x 2
－8x ＋15的解集为空集；
当2<x <5时，－f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}；
当x ≥5时，－f (x )≥x 2－8x ＋15 的解集为{x |5≤x ≤6}．
综上，原不等式的解集为{x |5－3≤x ≤6}．
3．[2018·某某模拟]已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的定义域为实数集R .
(1)当a ＝5时，解关于x 的不等式f (x )>9；
(2)设关于x 的不等式f (x )≤|x －4|的解集为A ，B ＝{x ∈R ||2x －1|≤3}，如果A ∪B ＝A ，某某数a 的取值X 围．
解 (1)当a ＝5时，f (x )＝|x ＋5|＋|x －2|.
①当x ≥2时，由f (x )>9，得2x ＋3>9，解得x >3；
②当－5≤x <2时，由f (x ) >9，得7>9，此时不等式无解；
③当x <－5时，由f (x )>9，得－2x －3>9，解得x <－6.
综上所述，当a ＝5时，关于x 的不等式f (x )>9的解集为{x ∈R |x <－6或x >3}．
(2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .
又B ＝{x ∈R ||2x －1|≤3}＝{x ∈R |－1≤x ≤2}，关于x 的不等式f (x )≤|x －4|的解集为A ，
∴当－1≤x ≤2时，f (x )≤|x －4|恒成立．
由f (x )≤|x －4|得|x ＋a |≤2.
∴当－1≤x ≤2时，|x ＋a |≤2恒成立，即－2－x ≤a ≤2－x 恒成立．
∴实数a 的取值X 围为[－1,0]．
4．[2018·某某模拟]已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x －4|.
(1)解关于x 的不等式f (x )<9；
(2)若直线y ＝m 与曲线y ＝f (x )围成一个三角形，某某数m 的取值X 围，并求所围成的三角形面积的最大值．
解 (1)x ≤－1，不等式可化为－x －1－2x ＋4<9，
∴x >－2，∴－2<x ≤－1；
－1<x <2，不等式可化为x ＋1－2x ＋4<9，∴x >－4，∴－1<x <2；
x ≥2，不等式可化为x ＋1＋2x －4<9，∴x <4，∴2≤x ＜4；
综上所述，不等式的解集为{x |－2<x <4}．
(2)f (x )＝|x ＋1|＋2|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －3，x ≥2，5－x ，－1≤x <2，
3－3x ，x <－1.
由题意作图如下，
结合图象可知，A (3,6)，B (－1,6)，C (2,3)；
故3<m ≤6，
且m ＝6时面积最大为12
×(3＋1)×3＝6. 5．[2018·某某模拟]已知函数f (x )＝|2x ＋4|＋|x －a |.
(1)当a <－2时，f (x )的最小值为1，某某数a 的值；
(2)当f (x )＝|x ＋a ＋4|时，求x 的取值X 围．
解 (1)f (x )＝|2x ＋4|＋|x －a |
＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a －4x <a ，－x －a －4a ≤x ≤－2，
3x －a ＋4x >－2.
可知，当x ＝－2时，f (x )取得最小值，最小值为f (－2)＝－a －2＝1，解得a ＝－3.
(2)f (x )＝|2x ＋4|＋|x －a |≥|(2x ＋4)－(x －a )|＝|x ＋a ＋4|，
当且仅当(2x ＋4)(x －a )≤0时，等号成立，
所以若f (x )＝|x ＋a ＋4|，则
当a <－2时，x 的取值X 围是{x |a ≤x ≤－2}；
当a ＝－2时，x 的取值X
围是{x |x ＝－2}；
当a >－2时，x 的取值X 围是{x |－2≤x ≤a }．
6．[2018·某某某某双基考试]设函数f (x )＝|x －1|＋12
|x －3|. (1)求不等式f (x )>2的解集；
(2)若不等式f (x )≤a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋12的解集非空，某某数a 的取值X 围． 解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －32x ＋52
>2，x ≤1
或⎩⎪⎨⎪⎧ 12
x ＋12>2，1<x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ 32x －52>2，x >3，
∴不等式的解集为⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(3，＋∞)．
(2)f (x )＝|x －1|＋12
|x －3| ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32x ＋52，x ≤1，12x ＋12
，1<x ≤3，32x －52，x >3.
f (x )的图象如图所示，其中A (1,1)，B (3,2)，
直线y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12绕点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，0旋转， 由图可得不等式f (x )≤a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的解集非空时，a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫47，＋∞.。