辽宁省2016_2017学年高二数学下学期期中试题理(新)

2016——2017学年度下学期高二期中考试
数学试题(理科)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.) 1．复数
11i
i
-+(i 是虚数单位)的虚部为( ) A. i - B. 2i - C. 1- D. 2- 2．已知集合2
{|230}A x x x =--<， 1{|
0}x
B x x
-=<，则A B ⋂=( ) A. {|01}x x << B. {|13}x x -<<
C.{|1003}x x x -<<<<或
D. {|1013}x x x -<<<<或 3．若点(cos ,sin )P θθ在直线20x y +=上，则1
cos 2sin 22
θθ+
=( ) A. 1- B. 12- C. 75 D. 7
2
4．已知数列{}n a ，若点(,)(n n a n ∈*N )在经过点(8,4)的定直线l 上，则数列{}n a 的前15项和15S =( )
A. 12
B.32
C.60
D. 120 5．设,,αβγ表示平面， l 表示直线，则下列命题中，错误的是( ) A. 如果αβ⊥，那么α内一定存在直线平行于β B. 如果αγ⊥， βγ⊥， l αβ⋂=，那么l γ⊥ C.如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β D.如果αβ⊥，那么α内所有直线都垂直于β
6．已知平面向量a ，b 满足()
3a a b ⋅+=，且2a =，1b =，则向量a 与b 夹角的正弦值为( )
A. 12-
B.32-
C.1
2
D. 32
7．甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为( )
A. 72种
B.52种
C.36种
D. 24种
8．某空间几何体的三视图如图所示，图中主视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，腰长为4，俯视图中的四边形为正方形，则这个几何体的体积是( ) A. 323 B. 643
C.16
D. 32
9．设抛物线2
:4C y x = 的焦点为F ，倾斜角为钝角的直线l 过F 且与C 交于,A B 两点，若16
||3
AB =
，则l 的斜率为( ) A. 1-
B.
C.2-
D. 3
- 10．我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽，是最早提出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，他创立了“割圆术”，得到了著名的“徽率”，即圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14．如右图就是利用“割圆术”的思想设计的一个程序框图，则输出的求n 的值为(参考数据： sin150.2588︒=， sin7.50.1305︒=)( ) A. 12 B. 24 C.36 D. 48
11．实系数一元二次方程2
0x ax b ++=的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上，则
22b
a
--的取值范围是 ( ) A. 2(0,)3 B. 2(,)3-∞ C. 2(,2)3 D. 2
(,)3
+∞
12．已知,a R b R +
∈∈, e 为自然对数的底数，则()()2
21ln 22a e b a b ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦的最小值为
( ) A. ()21ln2- B.()2
21ln2- C. 1ln2+
)1ln2- 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．已知随机变量X 服从正态分布1
(6,)3
N ，则X 的数学期望()E X = ____________. 14．若 6
()x a +展开式中3
x 的系数为160，则
1
a
a x dx ⎰
的值为____________.
360
第8题图
俯视图
15．三角形ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知
222sin cos cos 3sin sin B A C B C +-=，且三角形ABC 外接圆面积为4π，则
a =________.
16．已知函数()()2lg ,0
64,0
x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x bf x -+=有8个不
同根，则实数b 的取值范围是_________．
三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知向量(3sin 23,cos ),(1,2cos )a x x b x =+=，设函数()f x a b =⋅. (1)求函数()f x 的最小正周期和其图像的对称中心； (2)当7[
,
]1212
x ππ
∈时，求函数()f x 的值域.
18．(12分)在数列{}n a 中，11a =，122n
n n a a +=+，
(1)设1
2n
n n a b -=
，证明：数列{}n b 是等差数列； (2)求数列{}n a 的前n 项和.
19．(12分)学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：
古文迷 非古文迷 合计 男生 26 24 50 女生 30 20 50 合计
56
44
100
(1)根据表中数据判断能否有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？
(2)先从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行中国古典文学学习时间的调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；
(3)现从(2)中所抽取的5人中再随机抽取3人进行体育锻炼时间的调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．
参考数据：
()
20P K k ≥ 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010
0k
0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635
参考公式： ()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++．
20．(12分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，
1PD DC ==，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ．
(1)求证：PA //平面EDB ； (2)求二面角F DE B --的正弦值．
D
C
B
A
P
E F
21．(12分)已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>与y 轴的正半轴相交于点M ，点12,F F 为
椭圆的焦点，且三角形12MF F 是边长为2的等边三角形，若直线:23l y kx =+与椭圆E 交于不同的两点,A B ．
(1)直线,MA MB 的斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； (2)求三角形ABM 的面积的最大值．
22．(12分)设函数()1=ln x
f x x e
--， ()()
211g x a x x
=--
. (1)判断函数()y f x =零点的个数，并说明理由；
(2)记()()()x x
e ex
h x g x f x xe -=-+，讨论()h x 的单调性；
(3)若()()f x g x <在()1,+∞恒成立，求实数a 的取值范围.
高二数学(理)参考答案
一、选择题
1．C 2．D 3．A 4．C 5．D 6．D 7．C 8．A 9．B 10．B 11．A 12．B 二、填空题 13．6 14．73 15．2 16．172,
4⎛⎤ ⎥⎝⎦
三、解答题
17．解：(1)()2sin(2)46
f x x =++，----------------(2分)
则()f x 的周期T =，----------------(3分)
图象的对称中心为(
,4),212
k
k Z -∈.----------------(5分)(不写k Z ∈扣1分) (2)()2sin(2)46f x x =++，7[,]1212x ∈，4
2[,]633
x +∈，
----------------(7分) ()[43,6]f x ∴∈----------------(10分)
18．解：(1)证明 由已知122n
n n a a +=+，
得1112211222n n n n
n n n n n a a a b b ++-+==
=+=+. 11n n b b +∴-=，又111b a ==.
∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列．----------------(6分) (2)解 由(1)知，n b n =，
1
2
n
n n a b n -==.∴12n n a n -=⋅. ∴12
2112232(1)22n n n S n n --=+⋅+⋅+
+-+⋅
两边乘以2得：12
121222(1)22n n n S n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅，
两式相减得：2
1212222n n S n --=+++
+-⋅
212(1)21n n n n n =--⋅=-⋅-，
∴(1)21n
n S n =-⋅+.----------------(12分)
19．解：
(1)由列联表得()2
2
100262030340.64940.70856445050
K ⨯-⨯=
≈<⨯⨯⨯，
所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关．----------------(4分)
(2)调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为30
5350
⨯
=人，
“非古文迷”有205250⨯=人． 即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人．----------------(6
分)
(3)因为ξ为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以ξ的所有取值为1，2，3．
()1232353110C C P C ξ===，()21323
53
25
C C P C ξ===，()33351310C P C ξ===． 所以随机变量ξ的分布列为
ξ
1 2 3
P
3
10 35 110
于是123105105
E ξ=⨯
+⨯+⨯=．----------------(12分) 20．(1)证明：连结,AC AC 交BD 于点G ，连结EG .以D 为原点，分别以,,DA DC DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，依题意得
)2
1
,21,0(),1,0,0(),0,0,1(E P A .
因为底面ABCD 是正方形，所以点G 是此正方形的中心，
故点G 的坐标为)0,21,21(，且11
(1,0,1),(,0,)22
PA EG =-=-.
所以2PA EG =,即EG PA //,而⊂EG 平面EDB ,且⊄PA 平面EDB , 因此PA //平面EDB ．----------------(6分)
(2)(1,1,0),(1,1,1)B PB =-,又11
(0,,)22
DE =,故0PB DE ⋅=,所以
DE PB ⊥.
由已知PB EF ⊥，且EF
DE E =,所以⊥PB 平面
EFD .----------------(7分)
所以平面EFD 的
一
个
法
向
量
为
(1,1,1)PB =-.11
(0,,),(1,1,0)22
DE DB ==,
不妨设平面DEB 的法向量为(,,)a x y z =
则⎪⎩
⎪
⎨⎧
=+=⋅=+=⋅00)(21y x z y
不妨取1=x 则1,1=-=z y ，即(1,1,1)a =-----------------(10分)
G
D
C
A
P
E F
设所求二面角B DE F --的平面角为θ
1
cos 3
||||a PB a PB ⋅=-
=因为],0[πθ∈，所以322sin =θ． 二面角B DE F --的正弦值大小为
3
2
2．----------------(12分) 21．解：(1)因为三角形1
2MF F 是边长为2的等边三角形， 所以22c =
，b =，2a =，所以2,a b ==，
所以椭圆22
:
143
x y E +=，----------------(2
分) 所以点M . 将直线:
l y kx =+E 的方程，
整理得：22
(34)360k x +++=，(*)
设1122(,),(,)A x y B x y ，则由(*)式可得:
222(163)4(34)3648(49)0k k k =-+⨯=->，
所以，33(,)
(,)22
k ∈-∞-⋃+∞，----------------(4分)
1212
2
36
34x x x x k +=⋅=
+，所以
直线
,MA MB 的斜率之积
12
MA MB
k k
⋅=
2
221212
2
(
)3343634k k k k -++=
==+
+22
9361
364
k k -=+
=
所以直线,MA MB 的斜率之积是定值1
4
.----------------(6分) (2)记直
线
:l y kx =+与
y
轴的交点
为
(0,N ，则
211||||||2ABM
ANM
BNM
S
S
S
MN x x =-=
-=
6
12
===≤
当且仅当2
4912
k-=
，即
33
(,)(,)
222
k=±∈-∞-⋃+∞时等号成立.
所以三角形ABM
分)
22．解(1)由题意知0
x>
故()
f x在()
0,+∞单调递增，又()11
f=-，()1
110
e
e
e
f e e
e
-
=-=->，
因此函数()
y f x
=在()
1,e内存在零点.所以()
y f x
=的零点的个数为1.
----------------(3分)
(2)()()
212
11
1ln ln
x
x
e
h x a x x e ax a x
x x e
-
=---++-=--，
()2
121
2(0)
ax
h x ax x
x x
-
-=>
'=，
当0
a≤时，()0
h x
'<，()
h x在()
0,+∞上单调递减；
当0
a>时，由()0
h x
'=
，解得x=（舍去负值），
所以x
⎛
∈
⎝
时，()0
h x
'<，()
h x单调递减，
x
⎫
∈+∞⎪
⎭
时，()0
h x
'>，()
h x单调递增.
综上0
a≤时，()
h x在()
0,+∞单调递减，
a>时，()
h x
在
⎛
⎝
单调递减，
在
⎫
+∞⎪
⎭
单调递增. ----------------(6分) (3)由题意：()
2
1
ln1
x
e
x a x
e x
-<--，
问题等价于()
2
1
1ln
x
e
a x x
x e
-->-在()
1,+∞恒成立，
设()1x x x
e e ex
k x x e xe -=-=，
若记()1x k x e ex =-，则()1x k x e e =-'，当1x >时，1()0k x '>，
()1k x 在()1,+∞单调递增，()()1110k x k >=，即()0k x >，
若0a ≤，由于1x >，故()21ln 0a x x --<，故
()()f x g x >，
即当()()f x g x <在()1,+∞恒成立时，必有0a >. 当0a >时，设()()
21ln h x a x x =--，
1>，则102a <<时，
由(2)
知x ⎛∈ ⎝
，()h x
单调递减，x ⎫∈+∞⎪⎭，()h x 单调递增，
因此()10h h <=
，而0k >
，即存在1x =>，使()()f x g x >， 故当1
02
a <<时，()()f x g x <不恒成立.
1≤，即1
2a ≥时，
设()()
211ln x e s x a x x x e =---
+，()2112x e
s x ax x x e
+'=--， 由于2ax x ≥且()10x k x e ex =->，即1x e e x <，故1
x e e x
->-，
因此
，
故()s x 在()1,+∞单调递增.所以()()10s x s >=时， 即1
2
a ≥
时，()()f x g x <在()1,+∞恒成立. 综上：1,2a ⎡⎫∈
+∞⎪⎢⎣⎭
，()()f x g x <在()1,+∞恒成立. ----------------(12分)。