四川省自贡市12—13上学期高三数学(理科)第一次诊断性考试试卷

秘密★启用前[考试时间：2012年10月25日下午3：00—5：00]
四川自贡市普高2013届第一次诊断性考试
数学(理工类)
本试题卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题).第一部分1至3页，第二部分4至6页，共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，只交回答题卡，试题卷学生自己保留． 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概
率k n k
k n n P P C k P --=)1()((k ＝0，1，…，n )
球的表面积公式S ＝4πR 2其中R 表示球的半径 球的体积公式3
π3
4R V =
其中R 表示球的半径 第一部分(选择题 共60分)
注意事项：
1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上． 2．本部分共12小题，每小题5分，共60分．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．8π
cos 8πsin
的值为 A ．22 B ．2
C ．24
D ．
42
2．复数i i
341++的虚部是
A ．i 251
B ．25
1 C ．25
1-
D ．i 25
1-
3．集合M ＝{x ｜｜ x －3 ｜＜4}，N ＝{x ｜ x 2＋x －2＜0,x ∈Z }，则M ∩N ＝ A ．{x ｜－1＜x ＜1} B ．{x ｜ 2≤x ≤7} C ．{2} D ．{0} 4．已知平面向量a ，b 满足｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，a 与b 的夹角为60°，则“m ＝1”是“a b m a ⊥-)(”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 5．已知对数函数f (x )＝log a x 是增函数，则函数f (｜ x ｜＋1)的图象大致是
6．要得到函数)4π
2cos(3-
=x y 的图象，可以将函数y ＝3sin 2x 的图象 A ．沿x 轴向左平移8π个单位 B ．沿x 向右平移8π
个单位
C ．沿x 轴向左平移4π个单位
D ．沿x 向右平移4
π
个单位
7．某小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50
户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15m 3的住户的户数为
A ．10
B ．50
C ．60
D ．140 8．运行如右图所示的程序框图，则输出S 的值为 A ．－2 B ．3 C ．4 D ．8
9．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 A ．720 B ．600 C ．520 D ．360
10．设l ，m ，n 为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中
正确的个数是
①若l ⊥α，则l 与α相交
②若m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α ③若l ∥m ，m ∥n ，l ⊥α，则n ⊥α
④若l ∥m ，m ⊥α，n ⊥α，则l ∥n A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
11．已知函数⎩⎨
⎧>≤+=,
0,log ,
0,1)(2x x x x x f 则函数y ＝f [f (x )]＋1的零点个数是
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
12．定义域为[a ，b ]的函数y ＝f (x )图像的两个端点为A 、B ，M (x ，y )是f (x )图象上任意
一点，其中x ＝λa ＋(1－λ)b ，(a ≤x ≤b )，已知向量)1(λλ-+=，若不等式k ≤||恒成立，则称函数f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”．若函数x
x y 1
-=在[1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为 A ．[0，＋∞) B ．),121
[
+∞ C ．),22
3[+∞+
D ．),22
3
[+∞-
第二部分(非选择题 共90分)
注意事项：
1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效． 2．本部分共10小题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．若实数a ，b 均不为零，且)0(12>=
x x
x
b a
，则(x a －2x b )9
展开式中的常数项等于_______．
14．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积等于
_______．
15．代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A 码头南偏
东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米／时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A
码头从受到台风影响到影响结束，将持续_______小时．
16．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对∀x ∈R 都有f (x ＋4)
＝f (x )＋f (2)成立．x 1，x 2∈[0，2]，且x 1≠x 2时，都有
0)
()(2
121<--x x x f x f ，给出下列命题：
(1)f (2)＝0；
(2)直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； (3)函数y ＝f (x )在[－4，4]上有四个零点； (4)f (2012)＝f (0)．
其中所有正确命题的序号为____________．
三、解答题：共6小题，满分74分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题共12分)
有两个不透明的箱子，每个箱子里都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4．
(Ⅰ)甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个球，谁摸出的球
上标的数字大谁获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；
(Ⅱ)摸球方法与(1)相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字
不同则乙获胜，这样规定公平吗?请说明理由．
18．(本小题共12分)
在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及数
列{a n b n }前n 项和S n ．
19．(本小题共12分)
已知函数R ,3cos 32cos sin 2)(2∈-+=x x x x x f ． (Ⅰ)求函数f (x )的周期和最小值；
(Ⅱ)在锐角△ABC 中，若2,1)(=⋅=AC AB A f ，求△ABC 的面积．
20．(本小题共12分)
已知四棱锥P －ABCD 底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AD ＝2，AB ＝1，E 、F 分别是线段AB ，BC 的中点．
(Ⅰ)证明：PF ⊥FD ；
(Ⅱ)在PA 上找一点G ，使得EG ∥平面PFD ；
(Ⅲ)若PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A －PD －F 的余弦值．
21．(本小题共12分)
已知函数)0(3
1)(23
=/++-=
a d cx bx ax x F 的图像过原点，f (x )＝F '(x )，g (x )＝f '(x )，f (1)＝0，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像交于不同的两点A 、B ． (Ⅰ)y ＝F (x )在x ＝－1处取得极大值2，求函数y ＝F (x )的单调区间； (Ⅱ)若使g (x )＝0的x 值满足]2
1
,21[-∈x ，求线段AB 在x 轴上的射影长的取值范围．
22．(本小题共14分)
设函数).1ln()(2
x x x x f ++-=
(Ⅰ)讨论函数f (x )的单调性；
(Ⅱ)若x ≥0时，恒有f (x )≤ax 3，试求实数a 的取值范围； (Ⅲ)令*)N ()21(1)2
1(ln )21(91426∈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+++=
n a n n n n ，
试证明：3
1321<++++n a a a a .
自贡市高2013届第一次诊断考试数学试题
参考答案及评分意见
一、选择题(每小题5分 共60分) (理科)DBDCB ACABC AD (文科)DBDCB ACBAC AD
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分) (理)
13．－672 ； 14．8＋
π3
4
； 15．2.5；
16．(1)(2)(4)． (文) 13．[)∞,1；
14．8＋
π3
4
； 15．1＋21＋…．＋121-n ﹥2
n
;
16．(1)(2)(4)．
三、解答题：共6个题，共74分． 17．解：
(1)用),(y x (x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字)表示甲乙各摸到一球构成
的基本事件有：
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1) (4,2)(4,3)(4,4)共有16个－－－－－－－－－－－－3分
设甲获胜的事件为A ，则事件A 包括的基本事件为(2,1)(3,1)(3,2)(4,1) (4,2)(4,3)共有6个， －－－－－－－－－－－－－－－5分8
3166)(==A P 即甲获胜的概率为
8
3
－－－－－－－－－－6分
(2)设甲获胜的事件为B ，乙获胜的事件为C ，事件B 所包含的基本事件为(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)共有4个，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－8分 则41164)(==
B P ，4
3
1641)(=-=C P ，－－－－－－－－－－－10分 )()(C P B P ≠，∴不公平－－－－－－－－－－－12分
18．解：
(Ⅰ)由
34
1
8a q a ==得 2q = ………文(2分)理(2分) ∴ 1222n n n a -=⋅= ………文(4分)理(3分) (Ⅱ)31351
528432b b d a b b d a =+==⎧⎨
=+==⎩ ∴ 116
12b d =-⎧⎨=⎩ ………文(8分)理(6分)
∴ 16(1)121228n b n n =-+-=- ………文(10分)理(7分) (文) 21
(161228)6222
n S n n n n =-+-=- …………文(12分)
(理)(1228)2n n n a b n =-⋅
123162(4)282(228)2n n S n =-⋅+-⋅+⋅++-
2312162(4)2(1240)2(1228)2n n n S n n +=-⋅+-⋅+
+-+-
∴ 1231216212(222)(1228)2n n n n S S n +-=-⋅++++--
∴
12112(222)56(1228)2n n n S n +-=++
+--- …………
理(10分)
＝12(12)
12
56(1228)212
n n n +----- ∴3(310)280n n S n +=-- ……理(12分)
19．解：
()sin 2cos2)f x x x =+
＝sin 22x x ＝2sin(2)3
x π
+ ……
(2分) (Ⅰ)22T ππ=
=…(3分)2232x k ππ
π+=-+ 即5
212
x x k π=-+ k ∈Z 时 …(4分) min ()2f x =- ……(5分)
(Ⅱ)()2sin(2)13
f A A π
=+
= ∴ 1
2sin(2)3
2
A π
+
=
………(6分) ∴由 0A π<< 得 ∴ 4
A π
=
………(8分)
而||||AB AC AB AC COSA ⋅=⋅⋅ ∴ ||||2AB AC ⋅= ……(10分)
∴1||||sin 2ABC S AB AC A ∆=
⋅=
………(12分) 20．解：
(Ⅰ)证明：连接AF ，则AF ＝2，DF ＝2，
又AD ＝2，∴DF 2＋AF 2＝AD 2，∴DF ⊥AF ．又PA ⊥平面ABCD ，∴DF ⊥PA ，又PA ∩AF ＝A ，
.DF PAF DF PF PF PAF ∴⊥⎫
⇒⊥⎬⊂⎭
平面平面 ……………4分(文
科6分)
(Ⅱ)过点E 作EH ∥FD 交AD 于点H ，则EH ∥平面PFD 且AH ＝1
4
AD ．
再过点H 作HG ∥DP 交PA 于点G ，则HG ∥平面PFD 且AG ＝1
4AP ，∴平面
EHG ∥平面PFD ．
∴EG ∥平面PFD ．从而满足AG ＝1
4
AP 的点G 为所求．………8分(文科12分)
(Ⅲ)建立如图所示的空间直角坐标系，因为PA ⊥平面
ABCD ，所以PBA ∠是PB 与平面ABCD 所成的角．
又有已知得45PBA ∠=，∴1PA AB ==，∴
()()0,0,0,1,0,0,(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)A B F D P ．
设平面PFD 的法向量为(),,n x y z =，由0
n PF n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
得00
x y z x y +-=⎧⎨
-=⎩，令1z =，解得：12x y ==．∴ 11,,122n ⎛⎫
= ⎪⎝⎭． (10)
分(理科)
又∵AB PAD ⊥平面，∴AB 是平面PAD 的法向量， 易得()1,0,0AB =，
∴
1
cos ,61AB n AB n AB n
⋅=
=
=
⋅ 由图知，所求二面角A PD F --12分(理科) 21．解：
2()2f x ax bx c =-+ ()22g x ax b =- (1)20f a b c =-+= 2c b a =-
(Ⅰ)由 (0)0F d ==
(1)20f a b c =-+= (1)20f a b c -=++= 1
(1)23
F a b c -=--+=
∴303a b d c =⎧⎪==⎨⎪=-⎩
∴ 3
()3F x x x =- ………(3分) 2()()33F x f x x '==- (1,1)x ∈- ()0F x '< ()F x 单增 ………(4
分)
(,1)x ∈-∞-和(1,)x ∈+∞ ()0F x '> ()F x 单减 ………(5分)
(Ⅱ)由 2222y ax bx c
y ax b
⎧=-+⎨=-⎩
消y 得 2(22)20ax a b x b c -+++= (0)a ≠
1212
2222241a b b x x a a
b c b x x a a +⎧
+==+⋅⎪⎪⎨
+⎪⋅==-⎪⎩
……(7分) ∴ AB 在x
轴上射影长l =
∴ 2
2
(22)4(4)1b b
l a
a
=+--
24()8()8b b a a =-+ 24(1)4b
a
=-+ ……(9分)
而 ()0g x =11
[,]22
b x a =∈-
∴ 1
2b a =- 时
max l =……(10分)
2
1
=a b 时
min l =……(11分) ∴
l ≤≤ ……(12分)
22．(理科)
解：
(Ⅰ)函数的定义域为R ．
由,0111)('2
≥+-
=x
x f 知
)(x f 是R 上的增函数．……(4分)
(Ⅱ)令3
22)1ln()()(ax x x x ax x f x g =++-=-=
则.11
)31(1)('2
22x
ax x x g +--+=
令.1)31(1)(2
2--+=ax x x h
则.1)961(19)61()('2223x ax a x x ax x a x h +--=+--=
(1)当0)(',6
1≤≥x h a 时，从而)(x h 是),0[+∞上的减函数，注意到,0)0(=h 则),0[)(.0)(',0)(,0+∞≤≤≥是进而也即时x g x g x h x 上的减函数， 注意到.)(,0)(,0,0)0(3ax x f x g x g ≤≤≥=也即时则
(2)当)961,0[,610a
a a -<<在时上，总有0)('>x h ，进而推知， 当3)(,)961,
0[ax x f a a x >-∈时. (3)当,0)(',0>≤x h a 时同理可知3)(ax x f >.
综上，所求a 的取值范围是).,6
1
[+∞……(10分) (Ⅲ)在(Ⅱ)中，取.9
1)1ln(,)33,0[,9132x x x x x a >++-∈=时则 .),1ln(9
123x x x x +++即 ,)2
1(2n x =令 则,)2
1(])21(1)21ln[()21(912426n n n n n a <+++= .314
11))41(1(41321<--<++++∴n n a a a a 即.3
1321<++++n a a a a ……(14分) (文科)
22．解：
(Ⅰ)当21-=a 时，14
ln 21)(2
++-=x x x f ， ∴x
x x x x f 21221)(2-=+-='． ∵)(x f 的定义域为),0(+∞，∴由0)(='x f 得1=x ．－－－－－－－－－－－－－－－3分
∴)(x f 在区间],1
[e e 上的最值只可能在)(),1(),1(e f e
f f 取到， 而4
21)(,4123)1(,45)1(2
2e e f e e f f +=+==， ∴4
5)1()(,421)()(min 2max ==+==f x f e e f x f ．－－－－－－－－－6分 (Ⅱ)2(1)()(0,)a x a f x x x
++'=∈+∞，． ①当01≤+a ，即1-≤a 时，)(,0)(x f x f ∴<'在),0(+∞单调递减；－－－－－－－－－－－－－8分
②当0≥a 时，)(,0)(x f x f ∴>'在),0(+∞单调递增； －－－－－－－－－9分
③当01<<-a 时，由0)(>'x f 得1,12+->∴+->a a x a a x 或1
+--
<a a x (舍去)－－－－－－10分 综上， 当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞单调递增；
当01<<-a 时，)(x f 在),1(+∞+-a a 单调递增，在)1
,0(+-a a 上单调递减．
当1-≤a 时，)(x f 在),0(+∞单调递减； －－－－－－－14分。