2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷附解析

2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确答案填到答题纸上对应处）
1．（3分）在，，，，中，分式的个数为（）A．2B．3C．4D．5
2．（3分）今年某初中有近1千名考生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取50名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（）
A．这50名考生是总体的一个样本
B．近1千名考生是总体
C．每位考生的数学成绩是个体
D．50名学生是样本容量
3．（3分）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大9倍B．扩大3倍C．不变D．缩小3倍4．（3分）下列说法中，不正确的是（）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
5．（3分）如图，□ABCD绕点A逆时针旋转32°，得到□AB′C′D′，若点B′与点B 是对应点，若点B′恰好落在BC边上，则∠C＝（）
A．106°B．146°C．148°D．156°
6．（3分）如图，正方形ABCD的边长为5，E是AD边上一点，AE＝3，动点P由点D向点C运动，速度为每秒2个单位长度，EP的垂直平分线交AB于M，交CD于N．设运
动时间为t秒，当PM∥BC时，t的值为（）
A．B．2C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将答案填到答题纸上对应处）7．（3分）当x＝时，分式的值为0．
8．（3分）用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设．
9．（3分）某班在大课间活动中抽查了10名学生每分钟跳绳次数，得到如下数据（单位：次）：88，9l，93，102，108，117，121，130，146，188．则跳绳次数在90～110这一组的频率是．
10．（3分）已知y＝2x m﹣1是y关于x的反比例函数，则m＝．
11．（3分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为8cm，则▱ABCD的周长为cm．
12．（3分）若有意义，则m能取的最小整数值是．
13．（3分）如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的动点，E、F分别是PA、PR的中点．如果DR＝5，AD＝12，则EF的长为．
14．（3分）若关于x的分式方程无解，则a＝．
15．（3分）已知点（x，y）为反比例函数y＝图象上的一点，若y≥1，则x的取值范围是．
16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠
B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．
三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）计算下面各题．
（1）（）×﹣6
（2）+2﹣﹣4
18．（12分）（1）解方程：+3＝．
（2）已知x+y＝3，xy＝1，求的值．
19．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．
20．（8分）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△A1B1C1；作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；
（2）点B1的坐标为，点C2的坐标为．
21．（8分）某学校开展课外球类特色的体育活动，决定开设A：羽毛球、B：篮球、C：乒乓球、D：足球四种球类项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．
（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是度；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢足球的学生人数约是多少？22．（8分）某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作天（用含a的代数式表示）可完成此项工程；
（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？
23．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，E、F分别是BC、AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC．
（1）求证：FE＝FD；
（2）若∠CAD＝∠CAB＝24°，求∠EDF的度数．
24．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE ＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，求AE的长．
25．（12分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象，A（1，4），B（4，m）是函数y＝（x＞0）图象上的两点，连接AB，点C （﹣2，n）是函数y＝（x＜0）图象上的一点，点C关于y轴的对称点在y＝（x ＞0）图象上，连接AC，BC．
（1）求m，n的值；
（2）求BC所在直线的表达式；
（3）求△ABC的面积．
26．（14分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A′．
（1）设a＝2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．
①分别求函数y1、y2的表达式；
②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；
（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；
（3）设m＝，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确答案填到答题纸上对应处）
1．（3分）在，，，，中，分式的个数为（）A．2B．3C．4D．5
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
，的分母中含有字母，因此是分式．
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
2．（3分）今年某初中有近1千名考生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取50名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（）
A．这50名考生是总体的一个样本
B．近1千名考生是总体
C．每位考生的数学成绩是个体
D．50名学生是样本容量
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A、这50名考生的数学成绩是总体的一个样本，故选项错误；
B、近1千名考生的数学成绩是总体，故选项错误；
C、每位考生的数学成绩是个体，正确；
D、样本容量是：50，故选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了总体、个体、样本和样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
3．（3分）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大9倍B．扩大3倍C．不变D．缩小3倍
【分析】把分式中的x和y都扩大3倍，就是用x变成3x，y变成3y，用3x，3y代替式子中的x、y，看所得的式子与原式之间的关系．
【解答】解：分别用3x，3y代替式子中的x、y，
得，
即分式的值扩大3倍．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的化简，是一个中考中经常出现的问题．
4．（3分）下列说法中，不正确的是（）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定即可一一判断．
【解答】解：A、正确．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
B、错误．比如等腰梯形，满足条件，不是平行四边形；
C、正确．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；
D、正确．有一组邻边相等的矩形是正方形；
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（3分）如图，□ABCD绕点A逆时针旋转32°，得到□AB′C′D′，若点B′与点B 是对应点，若点B′恰好落在BC边上，则∠C＝（）
A．106°B．146°C．148°D．156°
【分析】先根据旋转的性质得到AB＝AB′，∠BAB′＝32°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得到∠B＝∠AB′B＝74°，然后根据平行四边形的性质得
AB∥CD，再根据平行线的性质计算得∠C＝180°﹣∠B＝106°．
【解答】解：∵▱ABCD绕点A逆时针旋转32°，得到□AB′C′D′′，
∴AB＝AB′，∠BAB′＝32°，
∴∠B＝∠AB′B＝（180°﹣32°）＝74°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣74°＝106°．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；
对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行四边形的性质．
6．（3分）如图，正方形ABCD的边长为5，E是AD边上一点，AE＝3，动点P由点D向点C运动，速度为每秒2个单位长度，EP的垂直平分线交AB于M，交CD于N．设运动时间为t秒，当PM∥BC时，t的值为（）
A．B．2C．D．
【分析】连接ME，依据MN垂直平分PE，可得MP＝ME，当MP∥BC时，四边形BCPM 是矩形，即可得到BC＝MP＝5，ME＝5，依据E＝3，可得AM＝4＝DP，即可得到t的值．
【解答】解：如图，连接ME，
∵MN垂直平分PE，
∴MP＝ME，
当MP∥BC时，四边形BCPM是矩形，
∴BC＝MP＝5，
∴ME＝5，
又∵AE＝3，
∴AM＝4＝DP，
∴t＝4÷2＝2（s），
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质以及线段垂直平分线的性质的运用，解决问题的
关键是掌握：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将答案填到答题纸上对应处）7．（3分）当x＝﹣2时，分式的值为0．
【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0，并且分母的值不为0．
【解答】解：由分子x+2＝0，解得x＝﹣2，
而x＝﹣2时，分母x﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4≠0．
所以x＝﹣2．
【点评】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
8．（3分）用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设一个三角形中至少有两个钝角．
【分析】根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，直接假设出一个三角形中至少有两个钝角即可．
【解答】解：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，
故证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角．故答案为：一个三角形中至少有两个钝角．
【点评】此题主要考查了反证法的第一步，根据题意得出命题结论的反例是解决问题的关键．
9．（3分）某班在大课间活动中抽查了10名学生每分钟跳绳次数，得到如下数据（单位：次）：88，9l，93，102，108，117，121，130，146，188．则跳绳次数在90～110这一组的频率是0.4．
【分析】根据频率＝求解即可．
【解答】解：跳绳次数在90～110这一组的同学有4个，
则频率＝4÷10＝0.4．
故答案为：0.4．
【点评】本题考查了频数和频率，解答本题的关键是掌握频率＝．
10．（3分）已知y＝2x m﹣1是y关于x的反比例函数，则m＝0．
【分析】根据形如y＝（k≠0）是反比例函数，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值．
【解答】解：∵y＝2x m﹣1是y关于x的反比例函数，
∴m﹣1＝﹣1．
解得m＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．
11．（3分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为8cm，则▱ABCD的周长为16cm．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，又由OE⊥BD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BE＝DE，又由△CDE的周长为8cm，即可求得平行四边形ABCD的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE，
∵△CDE的周长为8cm，
即CD+DE+EC＝8cm，
∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝2（BC+CD）＝2（BE+EC+CD）＝2（DE+EC+CD）＝2×8＝16cm．
故答案为：16．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
12．（3分）若有意义，则m能取的最小整数值是2．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出m的取值范围，再确定出m的值即可．【解答】解：由题意得，3m﹣6≥0，
解得m≥2，
所以，m能取的最小整数值2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
13．（3分）如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的动点，E、F分别是PA、PR的中点．如果DR＝5，AD＝12，则EF的长为 6.5．
【分析】首先利用勾股定理计算出AR的长，然后再根据三角形中位线定理计算出EF的长即可．
【解答】解：∵∠D＝90°，DR＝5，AD＝12，
∴AR＝，
∵E、F分别是PA、PR的中点，
∴EF＝AR＝6.5，
故答案为：6.5．
【点评】此题主要考查了勾股定理和三角形的中位线，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
14．（3分）若关于x的分式方程无解，则a＝1或﹣2．【分析】分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答．
【解答】解：方程两边都乘x（x﹣1）得，x（x﹣a）﹣3（x﹣1）＝x（x﹣1），
整理得，（a+2）x＝3，
当整式方程无解时，a+2＝0即a＝﹣2，
当分式方程无解时：①x＝0时，a无解，
②x＝1时，a＝1，
所以a＝1或﹣2时，原方程无解．
故答案为：1或﹣2．
【点评】分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．
15．（3分）已知点（x，y）为反比例函数y＝图象上的一点，若y≥1，则x的取值范围是0＜x≤4．
【分析】根据反比例函数的性质，结合“y≥1”，得到x＞0，列出关于x的分式不等式，解之即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝，k＞0，
∴当x＞0时，y＞0，当x＜0时，y＜0，
∵y≥1，
∴x＞0，
，
解得：x≤4，
综上可知：0＜x≤4，
故答案为：0＜x≤4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为或3．
【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出AC＝5，根据折叠的性质得∠AB′E＝∠B＝90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB＝EB′，AB＝AB′＝3，可计算出CB′＝2，设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E＝∠B＝90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB＝EB′，AB＝AB′＝3，
∴CB′＝5﹣3＝2，
设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2＝CE2，
∴x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，
∴BE＝；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，∴BE＝AB＝3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）计算下面各题．
（1）（）×﹣6
（2）+2﹣﹣4
【分析】（1）先算乘法，再合并同类二次根式即可；
（2）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）（）×﹣6
＝3﹣6﹣3
＝﹣6；
（2）+2﹣﹣4
＝2+2﹣﹣4
＝﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
18．（12分）（1）解方程：+3＝．
（2）已知x+y＝3，xy＝1，求的值．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）原式利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）去分母得：1+3x﹣6＝x﹣1，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解；
（2）∵x+y＝3，xy＝1，
∴原式＝＝＝．
【点评】此题考查了解分式方程，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
19．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．
【分析】先化简分式，然后根据分式有意义的条件即可求出m的值，从而可求出原式的值．
【解答】解：原式＝（﹣）×
＝×﹣×
＝﹣
＝，
∵m≠±2，0，
∴当m＝3时，
原式＝3
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20．（8分）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△A1B1C1；作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；
（2）点B1的坐标为（﹣2，﹣3），点C2的坐标为（2，﹣2）．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点A逆时针旋转90°后的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再找出点A、B、C关于原点O成中心对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系写出点B1、C2的坐标．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，△A2B2C2如图所示；
（2）B1（﹣2，﹣3），C2（2，﹣2）．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
21．（8分）某学校开展课外球类特色的体育活动，决定开设A：羽毛球、B：篮球、C：乒乓球、D：足球四种球类项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．
（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为40%，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是144度；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢足球的学生人数约是多少？
【分析】（1）根据各项目百分比之和为1可得样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比，再用A的百分比乘以360度可得答案；
（2）先求出调查的总人数，再根据A项目所占百分比求得其人数，即可补全条形图；
（3）用该校学生总数乘以D项目所占百分比可得答案．
【解答】解：（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为1﹣30%﹣10%﹣20%＝40%，
其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是360°×40%＝144°，
故答案为：40%，144；
（2）本次抽查的学生人数是：15÷30%＝50（人），
则喜欢A项目的人数是：50×40%＝20（人），
作图如下：
（3）1000×20%＝200（人），
答：根据样本估计全校最喜欢足球的学生人数约是200人．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体．
22．（8分）某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作（20﹣）天（用含a的代数式表示）可完成此项工程；
（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才
能使施工费不超过64万元？
【分析】（1）关系式为：甲20天的工作量+乙20天的工作量＝1；
（2）算出剩下的工作量除以甲乙的工作效率之和即可；
（3）关系式为：甲需要的工程费+乙需要的工程费≤64，注意利用（2）得到的代数式求解．
【解答】解：（1）设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成需要2x天，+＝1，
解得：x＝30，
经检验x＝30是原方程的解．
∴x+30＝60，
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天；
（2）（1﹣）÷（+）＝（20﹣）天；
故答案为：（20﹣）；
（3）设甲单独做了y天，
y+（20﹣）×（1+2.5）≤64，
解得：y≥36
答：甲工程队至少要单独施工36天．
【点评】本题主要考查分式方程的应用：工程问题，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意应用前面得到的结论求解．
23．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，E、F分别是BC、AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC．
（1）求证：FE＝FD；
（2）若∠CAD＝∠CAB＝24°，求∠EDF的度数．
【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到FE＝AB，根据直角三角形的性质得到FD ＝AC，等量代换即可；
（2）根据平行线的性质得到∠EFC＝∠BAC＝24°，根据直角三角形的性质得到∠DFC ＝48°，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】（1）证明：∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴FE＝AB，
∵F是AC的中点，∠ADC＝90°，
∴FD＝AC，
∵AB＝AC，
∴FE＝FD；
（2）解：∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴FE∥AB，
∴∠EFC＝∠BAC＝24°，
∵F是AC的中点，∠ADC＝90°，
∴FD＝AF．
∴∠ADF＝∠DAF＝24°，
∴∠DFC＝48°，
∴∠EFD＝72°，
∵FE＝FD，
∴∠FED＝∠EDF＝54°．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理和直角三角形的性质的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
24．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE
＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，求AE的长．
【分析】（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，可得OE＝CD；
（2）根据菱形的性质以及勾股定理，得出AC与CE的长，再根据勾股定理得出AE的长度即可．
【解答】解：（1）在菱形ABCD中，OC＝AC，AC⊥BD．
又∵DE＝AC，
∴DE＝OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝8，AO＝4．
∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝4．
又∵矩形DOCE中，∠OCE＝90°，
∴在Rt△ACE中，AE＝＝＝4．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
25．（12分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象，A（1，4），B（4，m）是函数y＝（x＞0）图象上的两点，连接AB，点C （﹣2，n）是函数y＝（x＜0）图象上的一点，点C关于y轴的对称点在y＝（x ＞0）图象上，连接AC，BC．
（1）求m，n的值；
（2）求BC所在直线的表达式；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）先由点A确定k，再求m的值，根据关于y轴对称，确定k2再求n；
（2）先设出函数表达式，再代入B、C两点，根据待定系数法即可得直线BC的表达式；
（3）过点A、B作x轴的平行线，过点C、B作y轴的平行线构造矩形，△ABC的面积＝矩形面积﹣3个直角三角形的面积．
【解答】解：（1）因为点A、点B在函数y＝（x＞0）图象上，
∴k1＝1×4＝4，
∴m×4＝k1＝4，
∴m＝1，
∵点C（﹣2，n）关于y轴的对称点在y＝（x＞0）图象上．
∴对称点为（2，n），
∴2×n＝4，
∴n＝2；
（2）设直线BC所在的直线表达式为y＝kx+b
把B（4，1），C（﹣2，2）代入，得，
解得，
∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+；
（3）如图所示：过点A、B作x轴的平行线，过点C、B作y轴的平行线，它们的交点分别是E、F、B、G．
∴四边形EFBG是矩形．
则AF＝3，BF＝3，AE＝3，EC＝2，CG＝1，GB＝6，EG＝3
∴S
△ABC ＝S
矩形EFBG
﹣S
△AFB
﹣S
△AEC
﹣S
△CBG
＝BG×EG﹣AF×FB﹣AE×EC﹣BG×CG
＝18﹣﹣3﹣3
＝．
【点评】本题考查了反比例函数的图形及性质、待定系数法确定一次函数解析式及三角形的面积．题目具有综合性．注意图形的面积可以用割补法也可以用规则的几何图形求和差．
26．（14分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A′．
（1）设a＝2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．
①分别求函数y1、y2的表达式；
②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；
（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为
16，求k的值；
（3）设m＝，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．
【分析】（1）由已知代入点坐标即可；
（2）面积问题可以转化为△AOB面积，用a、k表示面积问题可解；
（3）设出点A、A′坐标，依次表示AD、AF及点P坐标．
【解答】解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═（x＞0）的图象上
∴k＝8
∴y1＝
∵a＝2
∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）
把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2＝mx+n
解得
∴y2＝x﹣2
②当y1＞y2＞0时，y1＝图象在y2＝x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方
∴由图象得：2＜x＜4
（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO
∵O为AA′中点
S △AOB ＝S △ABA ′＝8
∵点A 、B 在双曲线上
∴S △AOC ＝S △BOD
∴S △AOB ＝S 四边形ACDB ＝8
由已知点A 、B 坐标都表示为（a ，）（3a ，
） ∴
解得k ＝6
（3）由已知A （a ，），则A ′为（﹣a ，﹣）
把A ′代入到y ＝
﹣
∴n ＝
∴A ′D 解析式为y ＝
当x ＝a 时，点D 纵坐标为
∴AD ＝
∵AD ＝AF ，
∴点F 和点P 横坐标为
∴点P 纵坐标为
∴点P 在y 1═（x ＞0）的图象上
【点评】本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法和数形结合思想．。