成都经开区实验中学2018届高考模拟考试试题(二)数学(理工类)(附答案)

成都经开区实验中学2018届高考模拟考试试题（二）
数学（理工类）（附答案）
第Ι卷（选择题部分，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的． 1．已知集合，B={x |x ﹣1≥0}，则A ∩B 为
A ．[1，3]
B ．[1，3）
C ．[﹣3，∞）
D ．（﹣3，3]
2. 复数z 满足(1＋i)z ＝i ＋2，则z 的虚部为 A.
32 B.12
C.12-
D.12i -
3.设D 为△ABC 所在平面内一点，且3BC BD =,则AD = A. 21
33AB AC + B. 12
33AB AC +
C.
4133
AB AC + D.
25
33
AB AC + 4.为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有 A ．140种
B ．70种
C ．35种
D ．84种
5．在平面直角坐标系中，“直线+-=10ax y 与直线++=20x ay 平行”是“=1a ”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 6. 已知函数是定义域为的偶函数，且时，
，则函数
的零
点个数为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7. 若执行如右图所示的程序框图，输出S 的值为4，则判断框中应填入的条件是
A.18k <
B.17k <
C.16k <
D.15k <
8.已知A ，B ，C ，D 四点均在以点1O 为球心的球面上，且AB AC AD ===
BC BD ==8BD =.若球2O 在球1O 内且与平面BCD 相切，则球2O 直径的最大值
为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提出如下问题：“今有刍童，下广两丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈，问积几何？”翻译成现代文是“今有上下底面皆为长方形的草垛，下底（指面积较小的长方形）宽2丈，长3丈；上底（指面积较大的长方形）宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？”现将该几何体的三视图给出如图所示，则该几何体的体积为（ ）立方丈.
A ．
53
2
B ．24
C ．27
D ．18+10.已知P 为圆C ：2
2
2
x y π+=内任意一点，则点P 落在函数()sin f x x =的图象与x 轴围成的封闭区域内的概率为
A ．0
B ．1
C ．
32π D ．3
4
π
11.已知,a b 是非零向量，它们之间有如下一种运算：sin ,a b a b a b ⊗=<>，其中
,a b <>表示,a b 的夹角．下列命题中真命题的个数是
①a b b a ⊗=⊗；②()()a b a b λλ⊗=⊗；③()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗； ④a b a b a b ⊥⇔⊗=；⑤若1122(,),(,)a x y b x y ==，则1221a b x y x y ⊗=-， A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
12.P 是双曲线2
2:12
x C y -=右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，1F 是双曲线C 的左焦点，则1PF PQ +的最小值为
A. 1
B. 25+
C. 45
+ D. 1 第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22～23题为选做题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分
13．已知随机变量ξ服从正态分布()
2
1,σN ，若()20.15ξ>=P ，则
()01ξ≤≤=P ．
14.若3(1)(1)x ax -+的展开式中2x 的系数为2，则实数a 的值为__________．
15．（5分）设变量x ，y 满足，则目标函数z=2x+y 的最小值为 ．
16.在体积为4
3的三棱锥S －ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，SA ＝SC ，且平面SAC ⊥平
面ABC ，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是_________．
三、解答题:（本题包括6小题，共70分。

要求写出证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分12分)
∆ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c =c
b
.
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）点D 为边AB 上的一点，记θ∠=BDC ，若
π
θπ<<2
，
=2,CD =AD ，=
a θsin 与
b 的值。

18.(本小题满分12分)
某幼儿园有教师30人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：
(1)从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；
(2)从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率.
19．(本小题满分12分)
如图，在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧面ADD 1A 1⊥底面ABCD ，D 1A=D 1D=，底面ABCD
为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD=2AB=2BC=2，O 为AD 中点．
（Ⅰ）求证：A 1O ∥平面AB 1C ；
（Ⅱ）求锐二面角A ﹣C 1D 1﹣C 的余弦值．
20.（本题满分12分）
已知椭圆C ：
=1（a ＞b ＞0）的离心率为
，以原点O 为圆心，椭圆C 的长
半轴为半径的圆与直线2x ﹣
y +6=0相切．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知点A ，B 为动直线y=k （x ﹣2）（k ≠0）与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使2
+•为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说
明理由．
21.(本题满分12分)
已知函数f (x )＝12ax 2－2ax ＋ln x 有两个不同的极值点x 1，x 2，且x 1·x 2>12.
(Ⅰ)求实数a 的取值范围；
(Ⅱ)设上述a 的取值范围为M ，若存在x 0∈⎣
⎡⎦
⎤
1＋
22，2，使对任意a ∈M ，不等式f (x 0)＋ln(a ＋1)>m (a 2－1)－(a ＋1)＋2ln 2恒成立，求实数m 的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时请写清题号，本小题满分10分。

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy
中，曲线C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π，在
以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.
(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；
(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
f (x )＝⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
x －4m ＋|x ＋m |(m ＞0).
(1)证明：f (x )≥4；
(2)若f (2)＞5，求m 的取值范围.
成都经开区实验中学2018届高考模拟考试试题（二）
数学（理工类）参考答案
1—5 BCABB 6—10 BCDAD 11—12 BD
13．0.35 14.1
3 15.
16 .92π
16.解析：△ABC 外接圆圆心为AC 中点D ，连接SD ，则由平面SAC ⊥平面ABC 及SA ＝SC ，知
SD ⊥平面ABC ，且球心O 在SD 上，则1
3S △ABC ×SD ＝43
，解得SD ＝2.设三棱锥S －ABC 外接球半
径为R ，则R ＝OS ＝OB ，所以在Rt △ODB 中，OB 2
＝BD 2
＋OD 2
，即R 2
＝(2)2
＋(2－R )2
，解得R ＝32，故所求球的体积为V ＝43πR 3＝9
2
π.
17.解：（Ⅰ）c
b =，得
sin sin C
B
=
，
sin 0C >，sin tan cos B B B ∴
==
， 0B π<<6
B π
∴=
. .…………..……………...4分
（Ⅱ）在BCD ∆中，
sin sin sin CD BC a
B BD
C θ
==
∠,
2sin 30∴=sin θ∴=
.…………………...8分
θ为钝角，∴ADC ∠为锐角，cos cos()ADC πθ∴∠=-==
， 在ADC ∆中，由余弦定理，
得2222cos b AD CD AD CD θ=+-⨯=+-⨯=5425，
所以b =. .…………...……………...12分
18.解 (1)设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件A ， 由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人.则P (A )＝630＝15.
即从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为1
5
.
(2)设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师为A 1，A 2，35～50岁(含35岁和50岁)具有研究生学历的教师为B 1，B 2，B 3，50岁以上具有研究生学历的教师为C ，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：
(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C )，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C )，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C )，(B 2，B 3)，(B 2，C )，(B 3，C )，
记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件D ，则D 中的结果共有12个，它们是：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C )，(A 2，B 1)，(A 2， B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C )，(B 1，C )，(B 2，C )，(B 2，C )，故所求概率为P (D )＝1215＝45
.
即从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为45
.
19.解答：（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：如图，连接CO ，AC ， 则四边形ABCO 为正方形， ∴OC=AB=A 1B 1，且OC ∥AB ∥A 1B 1 ∴四边形A 1B 1CO 为平行四边形， ∴A 1O ∥B 1C ，
又∵A 1O ⊄平面AB 1C ，B 1C ⊂平面AB 1C ， ∴A 1O ∥平面AB 1C ．…
（Ⅱ）∵D 1A=D 1D ，O 为AD 的中点， ∴D 1O ⊥AD ，又侧面ADD 1A 1⊥底面ABCD ， ∴D 1O ⊥底面ABCD ，…
以O 为原点，OC ，OD ，OD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，Z 轴， 建立如图所示的坐标系，
由题意得： C （1，0，0），D （0，1，0）， D 1（0，0，1），A （0，﹣1，0），… ∴
，
=（0，﹣1，1）， =（0，﹣1，﹣1），
=（1，﹣1，0），
设为平面CDD1C1的一个法向量，
则，∴，
令Z=1，则y=1，x=1，∴，…
设为平面AC1D1的一个法向量，
则，∴，令Z1=1，
则y1=﹣1，x1=﹣1，∴，
∴，
∴所求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值为．…
20．解：（1）由离心率为，得=，
即c=a，①
又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2，且与直线相切，
所以，代入①得c=2，
所以b2=a2﹣c2=2．
所以椭圆C的标准方程为+=1．-4分
（2）由，可得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，
△=144k4﹣4（1+3k2）（12k2﹣6）＞0，即为6+6k2＞0恒成立．
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 所以x 1+x 2=
，x 1x 2=
，
根据题意，假设x 轴上存在定点E （m ，0）， 使得为定值，
则有
=（x 1﹣m ，y 1）•（x 2﹣m ，y 2）=（x 1﹣m ）•（x 2﹣m ）+y 1y 2
=（x 1﹣m ）（x 2﹣m ）+k 2（x 1﹣2）（x 2﹣2） =（k 2+1）x 1x 2﹣（2k 2+m ）（x 1+x 2）+（4k 2+m 2）
=（k 2+1）•
﹣（2k 2
+m ）•
+（4k 2+m 2
）
=，
要使上式为定值，即与k 无关，则应3m 2﹣12m +10=3（m 2
﹣6），
即，此时=为定值，定点E 为
． -12分
21.解析：(Ⅰ)f ′(x )＝ax －2a ＋1x ＝ax 2
－2ax ＋1x
(x >0)．(1分)
令f ′(x )＝0，则ax 2
－2ax ＋1＝0.
据题意，方程有两个不等正根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，
Δ＝4a 2
－4a >0，
x 1x 2
>12，
(3分)
即⎩⎪⎨⎪
⎧a （a －1）>0，1a >12
，解得1＜a ＜2. 故实数a 的取值范围是(1，2)．(4分)
(Ⅱ)由ax 2
－2ax ＋1>0，得a (x －1)2
>a －1.即x <1－1－1
a
或x >1＋
1－1a
.
所以f (x )在⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，1－1－1a 和⎝
⎛⎭
⎪⎫
1＋
1－1a
，＋∞上是增函数．
因为1＜a ＜2，则1＋1－1a <1＋22，所以f (x )在⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤1＋22，2 上是增函数． 当x ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤
1＋
22，2时，f (x )max ＝f (2)＝－2a ＋ln 2.(6分) 据题意，当a ∈(1，2)时，f (x )max ＋ln(a ＋1)>m (a 2
－1)－(a ＋1)＋2ln 2恒成立，
即－2a ＋ln 2＋ln(a ＋1)>m (a 2－1)－(a ＋1)＋2ln 2恒成立，
即ln(a ＋1)－ma 2－a ＋m ＋1－ln 2>0恒成立．
设g (a )＝ln(a ＋1)－ma 2－a ＋m ＋1－ln 2，
则g ′(a )＝1a ＋1－2ma －1＝－2am ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1＋12m a ＋1
.(8分) (1)当m ≥0时，因为a ∈(1，2)，则g ′(a )<0，所以g (a )在(1，2)上是减函数． 此时，g (a )＜g (1)＝0，不合题意．(9分)
(2)当m ＜0时，若1＋12m ≥－1，即m ≤－14，因为a ∈(1，2)，则a ＋1＋12m
>0，g ′(a )>0， 所以g (a )在(1，2)上是增函数. 此时，g (a )＞g (1)＝0，符合题意．(10分)
若1＋12m <－1，即－14<m <0，则－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12m >1.当1<a <－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12m 时，a ＋1＋12m <0，则g ′(a )<0，所以g (a )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12m 上是减函数. 此时，g (a )＜g (1)＝0，不合题意． 综上分析，m 的取值范围是⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－14.(12分) 22.解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.
联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2
－23x ＝0；解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0；或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32. ∴C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π.
∴A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α). ∴|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6
时，|AB |取得最大值，最大值为4. 23.(1)证明 由m ＞0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x －4m ＋|x ＋m |≥ ⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－x －4m ＋x ＋m ＝4m ＋m ≥4，当且仅当4m ＝m ， 即m ＝2时取“＝”，所以f (x )≥4.
(2)解 f (2)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－4m ＋|2＋m |.当4m ＜2，即m ＞2时，f (2)＝m －4m
＋4，
由f (2)＞5，得m ＞1＋172
， 当4m ≥2，即0＜m ≤2时，f (2)＝4m
＋m ，由f (2)＞5，0＜m ＜1. 综上，m 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋172，＋∞.。