江苏省徐州市沛县中学2015-2016学年高二数学下学期第二次质量检测试题 理

2015-2016学年度第二学期高二第二次质量检测
数学试卷（理科）
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。

1．已知全集{0,1,2}A =，则集合A 的真子集共有个． 2．命题2:,10p x R x ∀∈+>的否定是_____________.
3．计算 =+⨯+2lg 5lg 2lg )5(lg 2________.
4．函数ln y x x =的图象在点1x =处的切线方程为_____________．
5．函数()(3)x
f x x e =-的单调递增区间是． 6．若命题“R x ∈∃，使得01)1(2
<+-+x a x ”是真命题，则实数a 的取值范围是． 7．若“,|||1|2x x a x ∃∈-++≤R ”是假命题，则a 的取值范围是．
8．已知函数()
2
12log y x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是． 9．已知函数f x 是定义在R 上的奇函数，10f ，200xf x f x x x ，则不等式20
x f x 的解集是 . 10．“1a >”是“函数()cos f x a x x =⋅+在R 上单调递增”的_______________条件．（空格处请填写“充分不必要条件” 、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）
11．若函数2()f x x bx c =++（b c R ∈、）在区间(0,1)内有两个零点，则2
(1)b c c ++的取值范围是___________． 12．已知函数()2log ,0,3,0,x x x f x x >⎧=⎨≤⎩
且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．
13．定义区间[]21,x x 长度为)(1212x x x x >-，已知函数()
)0,(1)(22≠∈-+=a R a x a x a a x f 的定义域与值域都是[]n m ,，则区间[]n m ,取最大长度时a 的值为___________.
14．对定义在区间D 上的函数)(x f 和)(x g ，如果对任意D x ∈，都有1)()(≤-x g x f 成立，那么称函数)(x f 在区间D 上可被)(x g 替代，D 称为“替代区间”．给出以下命题：
①1)(2+=x x f 在区间),(+∞-∞上可被2
1)(2+=x x g 替代； ②x x f =)(可被x x g 411)(-=替代的一个“替代区间”为]2
3,41[；
③x x f ln )(=在区间],1[e 可被b x x g -=)(替代，则22≤≤-b e ；
④)(sin )(),)(lg()(212
D x x x g D x x ax x f ∈=∈+=，则存在实数)0(≠a a ，使得)(x f 在区间21D D ⋂ 上被)(x g 替代；
其中真命题的有
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域作答．．．．．．．．．
，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．记函数x x f 21)(-=的定义域为集合A ,函数)]1)(1lg[()(+---=a x a x x g 的定义域为集合B ． （Ⅰ）求集合A ；
（Ⅱ）若A
B A =，求实数a 的取值范围．
16．已知0107:2<+-x x p ，034:22<+-m mx x q ，其中0>m ． （1）若4=m ，且p q ∧为真，求x 的取值范围；
（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
17．设1212,()x x x x ≠是函数()()322
0f x ax bx a x a =+->的两个极值点． （1）若121,2x x =-=，求函数()f x 的解析式；
（2）若12x x +=b 的最大值.
18．某电影院共有1000个座位，票价不分等次，根据影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，需符合的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，用x （元）表示每张票价，用y （元）表示该影院放映一场的净收入（除去成本费用支出后的收入）
问：
（1）把y 表示为x 的函数，并求其定义域；
（2）试问在符合基本条件的前提下，票价定为多少时，放映一场的净收人最多？
19．已知函数()121
x a f x =-
+在R 上是奇函数． （1）求a ；
（2）对(0,1]x ∈，不等式()21x s f x ⨯≥-恒成立，求实数s 的取值范围； （3）令1()()1
g x f x =
-，若关于x 的方程(2)(1)0g x mg x -+=有唯一实数解，求实数m 的取值范围．
20．已知函数2
(1)()ln 2
x f x x -=-，1)(-=x x g （1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）若关于x 的方程()()0f x g x a -+=在区间1(,)e e
上有两个不等的根，求实数a 的取值范围；
（3）若存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有)()(x kg x f >，求实数k 的取值范围．
理科参考答案
1.7
2.2,10x R x ∃∈+≤
3.1
4.1y x =-
5．（2，+∞）6．),3()1,(+∞--∞ 7．(,3)(1,)-∞-+∞8．4a ≤
9．),1()0,1(+∞- 10．充分不必要条件11．1(0,]16
12．()∞+，
113．314．①②③ 15．(Ⅰ)因为120x -≥，所以21,x
≤即0x ≤ ----------------------------6分 （Ⅱ）函数()g x 的定义域满足(1)(1)0x a x a ---+>，
所以11x a x a >+<-或，所以集合{|11}B x x a x a =>+<-或--------------10分
又因为A
B A =，所以A B ⊆,则10,1a a ->>即.------------------------14分 16．（1）2:7105,p x x -+<p 即为真命题时实数x 的取值范围是(2,5)，-------2分
4m =，所以同理q 为真命题时，实数x 的取值范围是(4,12)-------------------4分
又p q ∧为真，则,p q 同时为真命题，也即x 的取值范围的交集，为45x << ---7分
（2）因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，p 即是q 的充分不必要条件，-----10分
又因为命题q 为真命题时，实数x 的取值范围是(,3)m m ，所以
235
m m ≤⎧⎨≥⎩，解之得523m ≤≤。

------------------------------------------------14分 17．（1）因为22
()32f x ax bx a '=+-
又因为1212,()x x x x ≠是函数()()322
0f x ax bx a x a =+->的两个极值点． 且121,2x x =-=，所以223201240a b a a b a ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩，---------------------------2分 解之得69
a b =⎧⎨=-⎩， ----------------------------------------------4分 所以32()6936f x x x x =-- ---------------------------------------6分
（2）由题意12,x x 是方程22
()320f x ax bx a '=+-= 的两根，
此方程的判别式为234120b a ∆=+>恒成立，所以12122,33
b a x x x x a +=-
=- ，--8分 由已知1222x x +=，则212()8x x +=， 即22212121212122||()22||8x x x x x x x x x x ++=+-+= ，
所以22()2()2||8333
b a a a ---+-= ，由于0a > ，因此有223183b a a =- ，-------10分 令23()183(0)g a a a a =-> ，2()369g a a a '=- ，令()0g a '= ，
则0a = （舍去）或4a = ，在04a << 时，()0g a '> ，在4a > 时，()0g a '< ，因此4a = 时，()g a 取得极大值也即最大值(4)96g = ，所以2
96b =最大 ，----13分
即46b =最大 . -----------------------------------------------------------------------------------14
分
18．（1）∵影院放映一场电影的成本费用为5750元，票房收入必须高于成本费用，∴票房收入大于5750元，
∵该影院共有l000个座位，∴一张电影票的价格大于5.75元，又∵票价为l 元的整数倍，∴该院一张电影票的最低价格为6元 -------------------------3分
当票价高于10元时：y=x[1000-30（x-10）]-5750=-30x 2+1300x-5750，∵2100030(10)030130057500x x x -->⎧⎨-+->⎩，∴1
5383
x <<， -----------------------------------6分又∵x 为大于10的整数，∴10＜x ≤38．∴*2*10005750610,30130057501038,x x x N y x x x x N
⎧-≤≤∈⎪=⎨-+-<≤∈⎪⎩； -------------------------8分（2）当票价不超过10元时：y=1000x-5750，∵1000＞0，∴y 随x 的增大而增大，∴当10x =时，y 的值最大， 此时10001057504250y =⨯-=（元）； ------------------------------------11分当票价高于10元时，23013005750y x x =-+-y=-30x 2+1300x-5750，∴当1300221222(30)3x -==≈⨯-时，y 的值最大， ----------------------------------------------14分
此时2302213002257508330y =⨯+⨯-=（元）． -----------------------------------------15分综上可知，当每张票定为22元时，放映一场电影的利润最高，最高为8330元．-------16分
19．（1）因为()(),1(1)2121x x a a f x f x -=-
=--++即 所以
2a =
----------------------------------------------------------------------------------------4分
（2）221()12121
x x x f x -=-=++， 21(0,1],()0,21()
x x x f x s f x -∴∀∈>≥=+故 -------------------------------------------------------6分
所以max(21),(0,1]x
s x ≥+∈，即3s ≥ -------------------------------------------------------------8分
（3）因为121()()12
x g x f x +==--，(2)(1)0(2)(1)g x mg x g x mg x -+=⇒=+ 即2121(21)x x m ++=+，所以222210x x m m -+-= （*）
因为关于x 的方程(2)(1)0g x mg x -+=有唯一实数解，所以方程（*）有且只有一个根，令2x t =，则方
程（*）变为2
210t mt m -+-= 有且只有一个正根，---------------------------10分
①方程2210t mt m -+-=有且只有一个根且是正根，则224444(1)0m m m m ∆=+-=+-= 所以152m -±=，当152
m -+=时，方程2210t mt m -+-=的根为t m =满足题意； 当152
m --=时，方程2210t mt m -+-=的根为t m =不满足题意-----------------------------12分 ②方程2210t mt m -+-=有一正根一负根，则10m -<，所以1m > ---------------------14分 ③方程2210t mt m -+-=有一正根一零根，则10m -<，所以1m =，此时2t =满足题意 综上，m 的范围为1m ≥或152m -+= ------------------------------------------------------------------16分
说明：本题第（1）问中，利用特殊值法求解也正确。

20.（1）因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且1()1f x x x
'=-+， ------------------------------2分
令()0f x '<，即
110x x -+< 解之得152x +> --------------------------------------4分
所以函数()f x 的单调递减区间为15(,)2++∞ --------------------------------------------------5分
（2）令2
(1)()()()ln 12
x h x f x g x a x x a -=-+=--++，且定义域为(0,)+∞ 所以211(1)(1)()x x x h x x x x x
--+'=-==--------------------------------------6分 令()0h x '=，1x =，列表如下：
x 1(,1)e
1 (1,)e ()h x ' +
0 - ()h x
递增 极大值 递减 ---------------------------------------------------------------------------8分 所以函数()h x 在区间1
(,)e e
先单调递减后单调递增，故要使()0h x =有两个不等的根， 只须1()0(1)0()0h e h h e ⎧<⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩ 即2211220322
a e a e a ⎧<+⎪⎪>⎨⎪⎪<-⎩
所以211022a e
<<+ ------------------------------------------------------10分 （3）令2
(1)()()()ln (1)2
x m x f x kg x x k x -=-=---，且(1)0m = 要使存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有)()(x kg x f >，则只须0(1,),()(1)x x m x m ∈>即可， 也就是存在01x >，当0(1,)x x ∈时函数()m x 是单调递增的，----------------13分
又因为21(1)1()1x k x m x x k x x
-+-+'=-+-=，只须在0(1,)x x ∈时()0m x '>成立， 即(1)0m '>，解得1k <，
所以k 的取值范围是(,1)-∞.---------------------------------------------------16分。