2020版高考数学一轮复习课后限时集训24平面向量的概念及线性运算(含解析)理(最新整理)

课后限时集训（二十四）
(建议用时：60分钟）
A组基础达标
一、选择题
1．①有向线段就是向量,向量就是有向线段；
②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反；
③向量错误!与向量错误!共线，则A，B，C，D四点共线；
④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.
以上命题中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
D［对于①,向量可用有向线段表示，但向量不是有向线段,故①错．
对于②，当a与b中有一个是0时，a与b的方向不一定相同或相反，故②错．
对于③,直线AB与CD也可能平行，故③错．
对于④，当b＝0时，a与c不一定平行，故④错．]
2．在△ABC中，已知M是BC中点，设错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝（ )
A.错误!a－b
B.错误!a＋b
C．a－错误!b D．a＋错误!b
A[错误!＝错误!＋错误!＝－错误!＋错误!错误!＝－b＋错误!a,故选A.]
3．已知错误!＝a＋2b，错误!＝－5a＋6b，错误!＝7a－2b，则下列一定共线的三点是（ ) A．A，B，C B．A，B，D
C．B,C，D D．A，C，D
B[因为错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3错误!，又错误!，错误!有公共点A，所以A,B，D三点共线．]
4．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若错误!＝2错误!，错误!＝错误!错误!＋λ错误!，则λ等于（）
A。

2
3
B.错误!C．－错误!D．－错误!
A［∵错误!＝2错误!，即错误!－错误!＝2（错误!－错误!)，
∴错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，∴λ＝错误!。

]
5．设a,b都是非零向量，下列四个条件中，使错误!＝错误!成立的一个充分条件是( ）
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且｜a|＝｜b｜
C［错误!＝错误!⇔a＝错误!⇔a与b共线且同向⇔a＝λb且λ>0.B，D选项中a和b可能反向．A选项中λ<0，不符合λ>0。

］
二、填空题
6．给出下列命题:
①若｜a|＝|b｜，则a＝b或a＝－b;
②若A、B、C、D是不共线的四点，则“错误!＝错误!”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；
③若λa＝0(λ为实数），则λ＝0；
④若两个向量共线，则其方向必定相同或相反，其中真命题的序号是________．
②[对于①,向量a与b的方向可以是任意的，故①错；
对于②，由错误!＝错误!，可得｜错误!｜＝|错误!｜，且错误!∥错误!.
又A，B，C，D是不共线的四点，
因此四边形ABCD为平行四边形，反之也成立，故②正确；
对于③，当a＝0,λ＝1时，λa＝0,故③错;
对于④，当两个向量有一个零向量时,两个向量的方向不一定相同或相反，故④错．] 7．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量错误!,错误!，错误!，错误!满足等式错误!＋错误!＝错误!＋错误!，则四边形ABCD的形状为________．
平行四边形［由错误!＋错误!＝错误!＋错误!得错误!－错误!＝错误!－错误!，
所以错误!＝错误!，所以四边形ABCD为平行四边形．]
（2019·郑州模拟)在△ABC中，错误!＝3错误!，错误!＝x错误!＋y错误!，则错误!＝________.
8．
3［由错误!＝3错误!得错误!＝错误!错误!，
所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!－错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!，
所以x＝错误!，y＝错误!，因此错误!＝3.]
三、解答题
9．在△ABC中，D,E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设错误!＝a,错误!＝b,试用a，b表示错误!,错误!.
［解] 错误!＝错误!（错误!＋错误!)＝错误!a ＋错误!b 。

错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!(错误!＋错误!）
＝错误!错误!＋错误!(错误!－错误!)＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!a ＋错误!b .
10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．
（1)如果错误!＝e 1－e 2，错误!＝3e 1＋2e 2,错误!＝－8e 1－2e 2，
求证：A ，C ,D 三点共线；
（2)如果错误!＝e 1＋e 2，错误!＝2e 1－3e 2，错误!＝2e 1－k e 2,且A ,C ，D 三点共线，求k 的值．
[解] （1）证明：∵AB →
＝e 1－e 2,错误!＝3e 1＋2e 2,错误!＝－8e 1－2e 2，
∴错误!＝错误!＋错误!＝4e 1＋e 2＝－错误!（－8e 1－2e 2)＝－错误!错误!，
∴错误!与错误!共线．
又∵错误!与错误!有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线．
(2）AC ，→＝错误!＋错误!＝（e 1＋e 2）＋（2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2。

∵A ，C ,D 三点共线，
∴错误!与错误!共线，从而存在实数λ使得错误!＝λ错误!，
即3e 1－2e 2＝λ（2e 1－k e 2）,
得错误!解得λ＝错误!，k ＝错误!。

B 组 能力提升
1．已知a ，b 是不共线的向量，错误!＝λa ＋b ,错误!＝a ＋μb ，λ，μ∈R ,则A ，B ,C 三点共线的充要条件为（ )
A ．λ＋μ＝2
B ．λ－μ＝1
C ．λμ＝－1
D ．λμ＝1 D [因为A ,B ，C 三点共线，所以错误!∥错误!，设错误!＝m 错误!（m ≠0)，所以错误!所以λμ＝1，故选D.]
2．如图所示,在△ABC 中，错误!＝错误!错误!，P 是BN 上的一点，若错误!＝m 错误!＋错误!错误!，则实数m 的值为（ ）
A。

错误! B.错误!
C。

错误!D。

错误!
B［注意到N，P,B三点共线，因此错误!＝m错误!＋错误!错误!＝m错误!＋错误!错误!，从而m＋错误!＝1⇒m＝错误!.故选B.]
3．如图,点E是平行四边形ABCD的对角线BD的n（n∈N且n≥2）等分点中最靠近点D的点，线段AE的延长线交CD于点F,若错误!＝x错误!＋错误!,则x＝________（用含有n的代数式表示)．
错误![依题意与图形得错误!＝错误!＝错误!(n∈N且n≥2），所以错误!＝错误!错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!,又因为错误!＝x错误!＋错误!，
所以x＝错误!.］
4．已知O，A，B是不共线的三点，且错误!＝m错误!＋n错误!（m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A,P,B三点共线；
（2）若A,P,B三点共线，求证：m＋n＝1.
[证明](1)若m＋n＝1，则错误!＝m错误!＋(1－m）错误!＝错误!＋m(错误!－错误!），
所以错误!－错误!＝m(错误!－错误!），
即错误!＝m错误!,所以错误!与错误!共线．
又因为错误!与错误!有公共点B，所以A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，
使错误!＝λ错误!，所以错误!－错误!＝λ（错误!－错误!）．
又错误!＝m错误!＋n错误!.
故有m错误!＋(n－1）错误!＝λ错误!－λ错误!，
即（m－λ)错误!＋(n＋λ－1）错误!＝0.
因为O，A，B不共线，所以错误!，错误!不共线,
所以错误!所以m＋n＝1。

结论得证．
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