知识讲解_ 奇偶性_基础

函数的奇偶性
【学习目标】
1.理解函数的奇偶性定义；
2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；
3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.
【要点梳理】
要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.
奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.
要点诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()()()0,1(()0)()
f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()()()01(()0)()f x f x f x f x f x -+-==-≠，
； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；
（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.
2.奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.
3.用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；
（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性.
若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数；
若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；
若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；
若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数
要点二、判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；
若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.
（2）验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及
()1()
f x f x -=±是否成立即可.
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称. （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
要点三、关于函数奇偶性的常见结论
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相同的单调性，即已知()f x 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相反的单调性，即已知()f x 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是减函数（增函数）.
【典型例题】
类型一、判断函数的奇偶性
例1. 判断下列函数的奇偶性：
(1)()(f x x =+； (2)f(x)=x 2-4|x|+3 ；
(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)()|2|-2
f x x =+； (5)22-(0)()(0)
x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩； (6)1()[()-()]()2f x g x g x x R =-∈． 【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.
【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．
【解析】(1)∵f(x)的定义域为(]-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；
(2)对任意x ∈R ，都有-x ∈R ，且f(-x)=x 2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x 2
-4|x|+3为偶函数 ；
(3)∵x ∈R ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(4)[)(]2-1x 11-x 0 x -1,00,1x 0x -4x+22
≤≤⎧≥⎧∴∴∈⋃⎨⎨≠≠≠±⎩⎩且
()f x ∴==
(-)--()f x f x x
∴===，∴f(x)为奇函数； (5)∵x ∈R ，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (6)11(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22
f x
g x g x g x g x f x ===，∴f(x)为奇函数. 【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉|2|x +的绝对值符时就十分麻烦. 举一反三：
【变式1】判断下列函数的奇偶性： (1)23()3x f x x =+； (2)()|1||1|f x x x =++-； (3)222()1
x x f x x +=+； (4)22x 2x 1(x 0)f (x)0
(x 0)x 2x 1(x 0)⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩
. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．
【解析】(1)()f x 的定义域是R ， 又223()3()()()33
x x f x f x x x --==-=--++，()f x ∴是奇函数． （2）()f x 的定义域是R ，
又()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=-++--=-++=，()f x ∴是偶函数．
（3）函数定义域为1x ≠-，定义域不关于原点对称，∴()f x 为非奇非偶函数．
（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x 2-2x-1=-(-x 2
+2x+1)=-f(x)
任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x 2-2x+1=-(x 2+2x-1)=-f(x)
x=0时，f(0)=-f(0) ∴x ∈R 时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.
【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】
【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)
∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例2（2）】
【变式3】设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论
恒成立的是 （ ）.
A ．()f x +|g(x)|是偶函数
B ．()f x -|g(x)|是奇函数
C ．|()f x | +g(x)是偶函数
D ．|()f x |- g(x)是奇函数
【答案】A
类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)
例2.已知f(x)=x 5+ax 3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).
【答案】-26
【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10
∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26
法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数
∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8
∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.
【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x 5+ax 3-bx 为奇函数，这是本题的关键之处，
从而问题(2)g 便能迎刃而解.
举一反三：
【变式1】已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3g x f x g =+-=，则(2)f 为（ ）．
【答案】6
【解析】(2)(2)93,(2)6g f f -=-+=-=-则，又()f x 为奇函数，所以(2)(2)6f f =--=． 例3.（2016春 山东临沂期中）已知f （x ）的定义域为{x ∈R ｜x ≠0}，且f （x ）是奇函数，当x ＞0时2()f x x bx c =-++，若f （1）=f （3），f （2）=2．
（1）求b ，c 的值；
（2）求f （x ）在x ＜0时的表达式．
【思路点拨】（1）根据f （1）=f （3）得函数图象关于直线x =2对称，结合抛物线对称轴的公式列式得到b 的值，再由f （2）=2列式，解出c 的值．
（2）当x ＜0时，―x 是正数，代入题中正数范围内的表达式得到f （―x ）的式子，再结合f （x ）是奇函数，取相反数即可得到f （x ）在x ＜0时的表达式．
【答案】（1）b =4，c =－2；（2）2()42f x x x =++
【解析】（1）∵f （1）=f （3），∴函数图象的对称轴22
b x =
=，得b =4 又∵f （2）=－4+4×2+c =2，∴c =－2
（2）由（1）得当x ＞0时2()42f x x x =-+-，
当x ＜0时，22()()4()242f x x x x x -=--+--=---，
∵f （x ）是奇函数，
∴当x ＜0时，2()()42f x f x x x =--=++．
【总结升华】本题给出二次函数的对应值，求函数表达式，并且在函数为奇函数的情况下求x ＜0时的表达式．着重考查了函数奇偶性的性质和函数解析式的求解及常用方法．
举一反三：
【高清课堂：函数的奇偶性356732 例3】
【变式1】（1）已知偶函数
()f x 的定义域是R ，当0x ≤时2()31f x x x =--，求()f x 的解析式.
（2）已知奇函数()g x 的定义域是R ，当0x >时，2()21g x x x =+-，求()g x 的解析式.
【答案】（1）2231(0)()31(0)x x x f x x x x ⎧+->⎪=⎨--≤⎪⎩；（2）2221(0)()0021(0)x x x g x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩
（） 例4.设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在[0，2]上是单调递增，当(1)()f a f a +<时，求a 的取值范围. 【答案】122
a -≤<- 【解析】∵f(a+1)<f(a) ∴f(|a+1|)<f(|a|)
而|a+1|，|a|∈[0，2]
|1|||2101-212 -31 22-22-22a a a a a a a a +<+<⎧⎧⎪⎪∴≤+≤∴≤≤∴-≤<-⎨⎨⎪⎪≤≤≤≤⎩⎩
. 【总结升华】若一个函数()f x 是偶函数，则一定有()(||)f x f x =，这样就减少了讨论的麻烦． 举一反三
【变式1】定义在[1+a ，2]上的偶函数2
()2f x ax bx =+-在区间[1，2]上是（ ）
A ． 增函数
B ． 减函数
C ． 先增后减函数
D ． 先减后增函数
【思路点拨】根据偶函数的性质先求出a ，b ，然后利用二次函数的性质确定函数的单调性．
【答案】B
【解析】∵f （x ）是定义在[1+a ，2]上的偶函数，
∴区间关于原点对称，即1+a +2=0，
解得a =﹣3，
且f （﹣x ）=f （x ），
∴ 2222ax bx ax bx --=+-， 即﹣bx =bx ，解得b =0，
∴ 22()232f x ax bx x =+-=--，
∴f （x ）在区间[1，2]上是减函数．
故选：B ．
【总结升华】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键．
类型三、函数奇偶性的综合问题
例5．设a 为实数，函数f(x)=x 2+|x-a|+1，x ∈R ，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.
【思路点拨】对a 进行讨论，把绝对值去掉，然后把f(x)转化成二次函数求最值问题。

【答案】当a=0时，函数为偶函数；当a ≠0时，函数为非奇非偶函数. 当min min 1313-()|-;()|;2424a f x a a f x a ≤=>=+时，时，当2min 11-()|122
a f x a <≤=+时，. 【解析】当a=0时，f(x)=x 2+|x|+1，此时函数为偶函数；
当a ≠0时，f(x)=x 2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.
(1)当x a ≥时，21
3()()-24
f x x a =++ ①[)11
3()(-)-,2
24a f x a f a ≤-+∞=
时，函数在，上的最小值为 且1f(-)f(a).2≤ ②[)1(),2a f x a >-+∞时，函数在上单调递增， [)(),f x a ∴+∞在上的最小值为f(a)=a 2+1.
(2)当x a <时，2213()-1()24f x x x a x a =++=-++
①(]1()-,2
a f x a ≤∞时，函数在上单调递减，(]()-f x a ∴∞在，上的最小值为2()1f a a =+ ②(]1()-2a f x a >∞时，在，上的最小值为131()()().242
f a f f a =+≤，且 综上：min min 1313-()|-;()|;2424
a f x a a f x a ≤=>=+时，时， 2min 11-()|122
a f x a <≤=+时，. 举一反三：
【变式1】（2016 上海崇明模拟）已知函数f （x ）=x ｜x －a ｜+b ，x ∈R ．
当b =0时，判断f （x ）的奇偶性，并说明理由．
【答案】非奇非偶函数
【解析】当b =0时，f （x ）=x ｜x －a ｜，
当a =0时，f （x ）为奇函数；
当a ≠0时，f （x ）为非奇非偶函数，
理由：当a =0时，f （x ）=x ｜x ｜，
f （－x ）=－x ｜－x ｜=－x ｜x ｜=－f （x ），
f （x ）为奇函数；
当a ≠0时，f （－x ）=－x ｜－x －a ｜=－x ｜x +a ｜≠f （x ），
且f （－x ）≠－f （x ），则f （x ）为非奇非偶函数
例6.已知()y f x =是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数2
(1)f x -的单调递增区间．
【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。

复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。

【答案】[0，1]和（―∞，―1]
【解析】 ∵()f x 是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，∴()f x 在（－∞，0]上是增函数． 设u=1―x 2，则函数2(1)f x -是函数()f u 与函数u=1―x 2的复合函数．
∵当0≤x ≤1时，u 是减函数，且u ≥0，而u ≥0时，()f u 是减函数，根据复合函数的性质，可得2(1)f x -是增函数．
∵当x ≤－1时，u 是增函数，且u ≤0，而u ≤0时，()f u 是增函数，根据复合函数的性质，可得2(1)f x -是增函数．
同理可得当－1≤x ≤0或x ≥1时，2
(1)f x -是减函数．
∴所求的递增区间为[0，1]和（―∞，―1]．
【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．
（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错．确定x 的取值范围时，必须考虑相应的u 的取值范围．本例中，x ≥1时，u 仍是减函数，但此时u ≤0，不属于()f u 的减区间，所以不能取x ≥1，这是应当特别注意的．
例7．已知f （x ）的定义域为（0，+∞），且满足f （2）=1，f （xy ）=f （x ）+f （y ），又当210x x >>时，21()()f x f x > ．
（1）求f （1）、f （4）、f （8）的值；
（2）若有f （x ）+f （x ﹣2）≤3成立，求x 的取值范围．
【思路点拨】本题考查抽象函数及其应用；函数单调性的性质．（1）由f （xy ）=f （x ）+f （y ），通过赋值法即可求得f （1），f （4），f （8）的值； （2）由“210x x >>时，21()()f x f x >”可知f （x ）在定义域（0，+∞）上为增函数，从而f [x （x ﹣2）]≤f （8）可脱去函数“外衣”，求得x 的取值范围．
【解析】（1）f （1）=f （1）+f （1），∴f （1）=0，
f （4）=f （2）+f （2）=1+1=2，
f （8）=f （2）+f （4）=2+1=3．
（2）∵f （x ）+f （x ﹣2）≤3，∴f [x （x ﹣2）]≤f （8），
又∵对于函数f （x ）有210x x >>时，21()()f x f x >，
∴f （x ）在（0，+∞）上为增函数．
∴ 020(2)8x x x x >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩
解得2＜x ≤4
∴x 的取值范围为（2，4]
【总结升华】本题考查抽象函数及其应用，考查函数单调性的性质及函数求值，（2）中判断函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数是关键，属于中档题．。