§7.3 磁场的安培环路定理

P. 1
二、安培环路定理
在稳恒磁场中，磁感强度B沿任意闭合路径的积分(即
环流)等于该路径所包围的电流强度代数和的μ0倍。
B dl 0 Ii
L
(L内)
L：称为安培回路。
安培 法国物理学家、数学家和化学家，
主要从事电动力学方面的研究。最先揭示 电过程和磁过程之间的起源关系，提出关 于磁性起源的纯电流概念。
过，求磁感应强度分布。已知 R。

解 B分布为柱对称，作同轴圆形安培回路。
r R : B dl B dl
L
L
I
r
L
B dl B 2 r L
B dl 0 I
L
B

0I 2 r
可等效成 ……

rR
L
Chapter 7. 稳恒电流与稳作恒者磁：场杨茂田 §7.6 磁场的安培环路定理
均匀地流过，求磁感应强度分布。

I
B
0I 2 r
o
R

R
r
(解毕 )
Chapter 7. 稳恒电流与稳作恒者磁：场杨茂田 §7.6 磁场的安培环路定理
P. 2
课堂练习 电流 I 从半径为R的无限长金属圆柱体的截面
均匀地流过，求磁感应强度分布。

提示：柱内外的 B 分布为柱对称，作同
轴圆形安培回路。
数为n，管内磁场为均匀磁场。求管内磁感应强度。
解 作矩形安培回路。
bcda
B dl
L
abcd
I
I B外 0
答案： B
0 I 2 R2
r
0I
2 r
(r Ra) (r Rd )

b
B

L
B外 0
c
Chapter 7. 稳恒电流与稳作恒者磁：场杨茂田 §7.6 磁场的安培环路定理
☻环路定理只适用于闭合电流或无限电流。
☻思考：
L B dl 0 L B dl 0
B0 L内无电流
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P. 1
三、安培环路定理的应用
对于某些对称性磁场，可选取适当的回路 L，使得 回路 L 上各点 B大小相等，方向与 dr相同，则：
P. 5
对任意闭合回路L，由于：

dl dl// dl
dl B
B dl 0I 1 rd
L
2 L r
I
L
dl dl
dl
dl//
L//

0I 2
d 0I
L

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I
以磁感线为闭合回路L，则：
L
Ir
B
dl
B dl 0I | dl | cos 0o
L
L 2 r

0I 2 r

dl 0I
L
B
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P. 3
在磁感线平面内作一闭合回路L：

L
B
0N I 2 r

1 r
r o
L
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P. 2
例 ∞载流平板，截面上电流线密度为 j ，求平板两侧
的磁感应强度。
解
(
电流线密度： j

I b
)
磁场分布关于平板对称！
bcda
B dl
结论：对闭合回路 L，环流
0I ( L 包围 I )
B dl
L
0
( L 不包围 I )

I
L
dl
dl
B dl B dl 0I
L
L//
易证：若闭合回路 L 不
L//
P. 7
dl dl//
包围载流导线，则 B dl 0 。
L

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P. 2
B

1 2
0
j
平板两侧磁场皆为均匀磁
场，但方向相反！
(解毕 )
Bab 0 B cd 0
2B ab
B dl 0 j abLຫໍສະໝຸດ b IBa
b
l
l
d

L
c
B
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B dl 0I | dl | cos
L
L 2 r
| d l | cos rd
L
I
I d r dl
B
B dl 0I | dl | cos 0o
L
L 2 r

0I 2 r

dl 0I
L
B
Chapter 7. 稳恒电流与稳作恒者磁：场杨茂田 §7.6 磁场的安培环路定理
P. 2
例 无限长密绕直螺线管载流 I ，轴向单位长度上的匝
数为n，管内磁场为均匀磁场。求管内磁感应强度。
解 作矩形安培回路。
bcda
B dl
L
abcd
I
Bab 0 0 0
B dl Bab 0nab I
a
L
B 0nI
过，求磁感应强度分布。已知 R。

分析：将薄圆柱壳等效成无数多个∞载
流直导线捆扎而成。
I
dB
柱对称！
r
L

dB2
dB1

B

感
B

0I 2 r
rR
L
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P. 1
例 电流 I 均匀沿轴向从无限长金属薄圆柱壳的侧面流
L

Bdr
B ab

0nab I
L
B 0nI
(解毕 )
r o L
II
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P. 2
课堂练习 密绕环形螺线管载流 I ，总匝数为N，求管内
磁感应强度。
提示：磁感线为同心圆。作如图圆形安培回路。
B dl B 2 r 0N I
A.M.Ampère 1775~1863
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P. 1
二、安培环路定理
在稳恒磁场中，磁感强度B沿任意闭合路径的积分(即
环流)等于该路径所包围的电流强度代数和的μ0倍。
B dl 0 Ii
L
(L内)
L：称为安培回路。 如图所示：
P. 9
二、安培环路定理
在稳恒磁场中，磁感强度B沿任意闭合路径的积分(即
环流)等于该路径所包围的电流强度代数和的μ0倍。
0I ( L 包围 I )
B dl
L
0 ( L 不包围 I )
推广：对任意载流导线
上述结论皆成立 !
Chapter 7. 稳恒电流与稳作恒者磁：场杨茂田 §7.6 磁场的安培环路定理
B dl L

0 ( I2
I3
2I4)
L
I1 I2 I3 I4
I5
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P. 1
☻若被回路包围的电流 I 的流向与回路绕向构成右手关
系，则 I > 0 ；否则，I < 0 。
☻ B d只l 与回路包围的电流有关，与L外的电流无 L 关；但环路上各点的 B 却与空间的所有电流有关 !
如图所示：
B dl L

0 ( I2
I3
2I4)
L
I1 I2 I3 I4
I5
Chapter 7. 稳恒电流与稳作恒者磁：场杨茂田 §7.6 磁场的安培环路定理
P. 1
☻若被回路包围的电流 I 的流向与回路绕向构成右手关
系，则 I > 0 ；否则，I < 0 。
☻ B dl只与回路包围的电流有关，与L外的电流无 L 关；但环路上各点的 B 却与空间的所有电流有关 !
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§7.6 磁场的安培环路定理
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一、定理的引入

环流值： B dl L
对∞载流直导线：
B(r )

0I 2 r
I
r R :
L
B dl

0


I R2


r
2

0

I R2
r
2
答案： B
0 I 2 R2
r
0I
2 r
(r R) (r R)

rR
L
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P. 2
例 无限长密绕直螺线管载流 I ，轴向单位长度上的匝
P. 8
结论：对闭合回路 L，环流
0I ( L 包围 I )
B dl
L
0
( L 不包围 I )
若电流反向，则：
0I ( L 包围 I )
B dl
L
0 ( L 不包围 I )

I
L dr
dr
dr

dr//
L//
推广：对任意载流导线
上述结论皆成立 !

Chapter 7. 稳恒电流与稳作恒者磁：场杨茂田 §7.6 磁场的安培环路定理
对任意闭合回路L，由于：

dl dl// dl
dl B
B dl B dl 0I
L
L//
易证：若闭合回路 L 不
I
L
dl dl
dl
dl//
L//
包围载流导线，则 B dl 0 。
L

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(解毕 ) d
I B外 0

b
B

L
B外 0
c
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P. 2
课堂练习 密绕环形螺线管载流 I ，总匝数为N，求管内
磁感应强度。
提示：磁感线为同心圆。作如图圆形安培回路。
B dl B 2 r 0N I
☻环路定理只适用于闭合电流或无限电流。
☻思考：
L B dl 0 L B dl 0
B0 L内无电流
Chapter 7. 稳恒电流与稳作恒者磁：场杨茂田 §7.6 磁场的安培环路定理
P. 1
三、安培环路定理的应用
对于某些对称性磁场，可选取适当的回路 L，使得 回路 L 上各点 B大小相等，方向与 dr相同，则：
P. 1
r R : B dl B 2 r 0 0
L
0
B 0I 2 r
(r R) (r R)
B
0I 2 r
o
R
r
B0
I
r
(解毕 )

rR
L
Chapter 7. 稳恒电流与稳作恒者磁：场杨茂田 §7.6 磁场的安培环路定理
P. 2
课堂练习 电流 I 从半径为R的无限长金属圆柱体的截面
L
abcd
B
0N I 2 r

1 r
b I
Ba l
l dBd

dB1

bdB
dB2 dB2
L

| c
dB B
||
dB
|
dB1
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P. 2
例 ∞载流平板，截面上电流线密度为 j ，求平板两侧
的磁感应强度。
解
(
电流线密度： j

I b
)
磁场分布关于平板对称！
b c d a
Bdr
L
abcd
Bab 0 B cd 0
2B ab
B dl 0 j ab
L
b I

Ba
b
l
l
d

L
c
B
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在磁感线平面内作一闭合回路L：

B dl 0I | dl | cos
L
L 2 r
| d l | cos rd
L
I
I d r dl
B
B dl 0I 1 rd
L
2 L r

0I 2
d 0I
B
L

Chapter 7. 稳恒电流与稳作恒者磁：场杨茂田 §7.6 磁场的安培环路定理
rr
Ñ B dl L
0
（
Ii
）
B dl B | dl | cos0o B | dl |
L
L
L
B
B dl 0 Ii
L
(L内)
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P. 1
例 电流 I 均匀沿轴向从无限长金属薄圆柱壳的侧面流
P. 1
r R : B dl B 2 r 0 0
L
0
B 0I 2 r
(r R) (r R)
B0
B dl B 2 r L
B dl 0 I
L
B

0I 2 r
可等效成 ……

I
rr
L

rr R
L L
Chapter 7. 稳恒电流与稳作恒者磁：场杨茂田 §7.6 磁场的安培环路定理