2018年高考理科数学北京卷含答案

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2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（理）
本试卷满分150分,考试时长120分钟.
第一部分(选择题
共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目
要求的一项.
1.已知集合{|||2}A x x =<，{2,0,1,2}B =-，则A B = (
)
A .{}
0,1B .{}1,0,1-C .{}
2,0,1,2-D .
{}
1,0,1,2-2.在复平面内，复数1
1i
-的共轭复数对应的点位于(
)
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
3.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
(
)
A .
12
B .56
C .
76
D .
712
4.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载癱最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都
f ，则第八个单音的频率为()
A
B
C
.
D
.5.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()
A .1
B .2
C .3
D .4
6.设a ，b 均为单位向量，则“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的
(
)
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
7.在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离.当θ，m
变化时，d 的最大值为(
)A .1
B .2
C .3
D .4
8.设集合(){},|1,4,2A x y x y ax y x ay =
-≥+>-≤，则
()
A .对任意实数a ，()2,1A ∈
B .对任意实数a ，()2,1A
∉C .当且仅当0a <时，()2,1A ∉D .当且仅当3
2
a ≤时，()2,1A
∉第二部分(非选择题
共110分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上)
9.设
{}n a 是等差数列，且13a =，2
536a
a +=，则{}n a 的通项公式为
.
10.在极坐标系中，直线
()cos sin 0a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则
a =
.
毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________
-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效
----------------
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11.设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭.若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为.
12.若x ，y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是.
13.能说明“若
()()0f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立，则()f x 在[]0,2上是增函数”为
假命题的一个函数是.
14.已知椭圆M ：()222210x y a b a b +=>>，双曲线N ：22
221x y m n
-=.若双曲线N 的两条
渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为；双曲线N 的离心率为.三、解答题：共80分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)在ABC 中，7a =，8b =，1cos 7
B =-.
（1）求A ∠；
（2）求AC 边上的高.
16.(本小题满分14分)如图，在三棱柱111-ABC A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，
G 分别为1A A ，AC ，11A C ，1B B
的中点，AB BC
==
12
AC AA ==（1）求证：AC ⊥平面B
E F ；（2）求二面角1--B CD C 的余弦值；（3）证明：直线FG 与平面BCD
相交.
17.(本小题满分12分)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.
（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率.
（2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率（3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“=1k ξ”表示第k 类电影得到人们喜欢，“=0k ξ”表示第k 类电影没有得到人们喜欢
()1,2,3,4,5,6k =.写出方差1
D ξ
，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系.
18.(本小题满分13分)设函数()()24143x
f x ax a x a e
⎡⎤=-+++⎣⎦（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，求a ；
（2）若
()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围.
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19.(本小题满分14分)已知抛物线C ：2
2y
px =经过点()1,2P ，过点()0,1Q 的直
线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴
于N .
（1）求直线l 的斜率的取值范围；
（2）设O 为原点，QM QO λ= ，QN QO μ=
，求证：11
+λ
μ
为定值.
20.(本小题满分14分)
设n 为正整数，集合(){}{
}12|=,,,,0,1,1,2,,n k A t t t t k n αα=∈= .对于集合
A 中的
任意元素()12=,,,n x x x α 和()12=,,,n y y y β ，记
()()()()111122221
,2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ⎡⎤=
+--++--+++--⎣
⎦ .
（1）当3n =时，若()=
1,1,0α，()=0,1,1β，求(),M αα和(),M αβ的值.
（2）当4n =时，设B 是
A 的子集，且满足：对于
B 中的任意元素α，β，当α，
β相同时，(),M αβ是奇数；当α，β时，(),M αβ是偶数.求集合β中元素个
数的最大值.
（3）给定不小于2的n ，设B 是
A 的子集，且满足：对于
B 中的任意两个不同的
元素α，β，(),=0M αβ.写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由.
2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学答案解析
一、选择题1．【答案】A
【解析】{}|22A x x =-<<，{}2,0,1,2-，则{}0,1A B ⋂=．【考点】集合的交集运算．2．【答案】D 【解析】
()()()2
11111111122i i i i i i i π++===+--+-，所以其共轭复数为11
22
i -，在复平面内对应点为1
12
2⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
，位于第四象限．【考点】复数的四则运算与共轭复数的概念．
-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效
----------------毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________
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3．【答案】B
【解析】1k =，1s =，()1
11
11112
s =+-⨯
=+，2k =，不满足3k ≥，继续循环()211512126s =+-⨯=+，3k =，满足3k ≥，循环结束，输出56
s =．
【考点】算法的循环结构．4．【答案】D
【解析】根据题意可以知单音的频率形成一个等比的数列，其首项为f
，公比为
所以第八个单音的频率为
7
f
=．
【考点】数学文化与等比数列．5．【答案】C
【解析】根据三视图可以还原该几何体为正方体中的一个四棱锥1D APCD -，其中P 为
AB 的中点，所以四棱锥1D APCD -中的侧面为直角三角形的有1D CD ，1D AD ，1D AP
，共三个．
【考点】三视图．6．【答案】C
【解析】2222223369962320a b a b a a b b a a b b a a b b -=+⇔-⋅+=+⋅+⇔+⋅-=，
因为
a ，
b 均为单位向量，所以
221a b ==，所以
2223200a a b b a b a b +⋅-=⇔⋅=⇔⊥，所以“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的
充分必要条件．
【考点】充分必要条件的判断与平面向量的数量积运算．
7．【答案】C
【解析】根据点()cos ,sin P θθ可知，P 为坐标原点为圆心，半径为1的单位圆上的点，
所以d 的最大值为圆心()0,0到直线的距离再加上一个半径1，所以
13d +≤．
【考点】直线与圆的位置关系及圆的参数方程．
8．【答案】D
【解析】当2a =时，(){},|1,24,22A x y x y x y x y =
-≥+>-≤，将()2,1代入满足不等
式组，所以排除B ；当12a =
时，()11,|1,4,222A x y x y x y x y ⎧⎫
=-≥+>-≤⎨⎬⎩⎭，将()2,1代入满足不等式
1
42
x y +>，所以排除A ，C ．【考点】不等式组表示的平面区域．二、填空题
9．【答案】63
n a n =-【解析】251636a a a a +=+=，
因为13a =，所以633a =，所以615306d a a d =-=⇒=，所以()()1136163n a a n d n n =+-=+-=-．【考点】等差数列．
10．【答案】【解析】直线方程为0x y a +-=，圆的方程为()2
2222011x y x x y +-=⇔-+=，根
111a a =⇔-=⇒=+0a >）
．【考点】直线与圆的位置关系以及极坐标方程与普通方程的互化．11．【答案】
23
【解析】根据题意有当4
x π
=
时，函数取得最大值1，所以cos 124
646k π
πππωωπ⎛⎫-=⇒-= ⎪⎝⎭，283k Z k ω∈⇒=+，k Z ∈，因为0ω>，所
以ω的最小值为2
3
．
【考点】三角函数图象与性质．
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12．【答案】3
【解析】不等式组1,2y x y x ≥+⎧⎨≤⎩
表示的区域为如图所示的阴影部分，设2z y x =-，则
122z y x =+，所以2z
的几何意义为直线的众截距，1,1,22,y x x y x y ≥+=⎧⎧⇒⎨⎨
≤=⎩⎩
所以当直线过点()1,2A 时，取得最小值，所以min 2213z =⨯-=
．
【考点】线性规划问题．
13．【答案】()sin f x x =（答案不唯一）
【解析】本题为一个开放性题目，可以构造出许多函数，只需要()()0f x f >都成立即
可，最常见的可以用分段函数，即一部分先为增函数，后一部分为减函数，确保
()()0f x f >即可，如()sin f x x =．
【考点】函数单调性的判断与应用．14．
1
2
【解析】如图所示，双曲线的渐近线与椭圆的交点分别为A ，B ，C ，D ，则根据题意
有22AB CD BF OF c ====
，1BF =，所在椭圆中，
有)
1212BF BF c a +==，
所以椭圆的离心率11c e a =
==-．根据双曲线渐近线n y x m =±
，即有tan 60n m
=︒，所以223n m =，所以双曲线的离心率2222
22214m n n e m m +==+=，
故22e =
．
【考点】直线与椭圆、双曲线的位置关系．
15．【答案】（1）在ABC 中，因为1
cos 7
B =-
，所以sin B =．由正弦
定理得sin sin a B A b ==
由题设知2B ππ<∠<，所以0
2A π<∠<．所以=3
A π∠．（2）在ABC 中，因为()
sin sin sin cos cos
sin C A B A B A B =+=+=，所以AC 边
上的高sin 7h a C ===【考点】解三角形问题．
16．【答案】在三棱柱111-ABC A B C 中，因为1CC ⊥平面ABC ，所以四边形11A ACC 为矩
形．又E ，F 分别为AC ，11A C 的中点，所以AC EF ⊥．因为AB BC =，所以
AC BE ⊥．所以AC ⊥平面B E F ．
（2）由（1）知AC EF ⊥，AC BE ⊥，1EF CC ．又1CC ⊥平面ABC ，所以EF ⊥平面ABC ．因为BE ⊂平面ABC ，所以EF BE ⊥．
如图建立空间直角坐标系-E xyz ．由题意得点()0,2,0B ，()1,0,0C -，()1,0,1D ，
()0,0,2F ，()0,2,1G ．
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所以()()1,2,0,1,2,1BC BD =--=-
．
设平面BCD 的法向量为()000,,n x y z =，则0,0,n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即0000020,
20.
x y x y z +=⎧⎨-+=⎩令01y =-，则002, 4.x z ==-于是()2,1,4n =--．
又因为平面1CC D 的法向量()0,2,0EB =
，
所以21
cos ,21n EB n EB n EB
⋅==-
．由题知二面角1B CD C --为钝角，所以其余弦值为21
（3）由（2）知平面BCD 的法向量为()2,1,4n =--，()0,2,1FG =-
．
因为()()()20124120n FG ⋅=⨯+-⨯+-⨯-=≠
，
所以直线FG 与平面BCD 相交．
【考点】空间线面位置关系的判断与证明．
17．【答案】（1）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是2000.25=50⨯．
故所求概率为50
=0.0252000
．
（2）设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B 为“从第五类电
影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为()()()
()()()()()()11P AB AB P AB P AB P A P B P A P B +=+=-+-．由题意知()P A 估计为0.25，()P B 估计为0.2．故所求概率估计为0.250.8+0.750.2=0.35⨯⨯．
（3）由题意知k ξ服从0—1分布，()()11,2,,6k k k D P P k ξ=-= ，其中k P 为第k 类电
影得到人们喜欢的概率也就是好评率，由计算得，
142536D D D D D D ξξξξξξ>>=>>．
【考点】相互独立事件概率的求解以及方差的求解．
18．【答案】（1）因为()()24143x f x ax a x a e ⎡⎤=-+++⎣⎦，所以()()2212x f x ax a x e '⎡⎤=-++⎣⎦．
()()11f a e '=-．
由题设知()1=0f '，即()1=0a e -，解得1a =．此时()130f e =≠．所以a 的值为1．
（2）由（1）得()()()()2212=12x x
f x ax a x e ax x e '⎡⎤=-++--⎣⎦
．若12a >
，则当1,2x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 在2x =处取得极小值．若12a ≤
，则当()0,2x ∈时，1
20,1102
x ax x -<-≤-<，所以()0f x '>．
所以2不是()f x 的极小值点．
综上可知，a 的取值范围是1
+2
⎛⎫∞ ⎪⎝⎭
．【考点】导数在研究函数问题中的应用．19．【答案】（1）因为抛物线22y px =过点()1,2，所以24p =，即2p =．
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故抛物线C 的方程为24y x =．由题意知，直线l 的斜率存在且不为0．设直线l 的方程为()10y kx k =+≠．
由24,1
y x y kx ⎧=⎨=+⎩得()222410k x k x +-+=．依题意()2
2
=24410k k ∆--⨯⨯>，解得0k <或01k <<．
又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点()1,2-．从而3k ≠-．
所以直线l 斜率的取值范围是()()(),33,00,1-∞-⋃-⋃．（2）设点()()1122,,,A x y B x y ．
由（1）知121222
241
,k x x x x k k -+=-=．直线PA 的方程为()112
211
y y x x --=--．
令0x =，得点M 的纵坐标为1
11121
2211
M y kx y x x -+-+=+=+--．同理得点N 的纵坐标为221
21
N kx y x -+=
+-．由QM QO λ= ，QN QO μ=
得1,1M N y y λμ=-=-．
所
以
()()()2212121212122
2242111
11111+
=
21111111
M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λ
μ-+-+--+=+=⋅
=⋅=------．所以11
+λμ
为定值．
【考点】直线与抛物线的位置关系．
20．【答案】（1）因为()=1,1,0α，()=0,1,1β，所以()()()()1
,11111111000022M αα⎡⎤=
+--++--++--=⎣
⎦，
()()()()1,10101111010112M αβ⎡⎤=+--++--++--=⎣
⎦．（2）设()1234=,,,x x x x B α∈，则()1234,M x x x x αα=+++．由题意知{}1234,,,0,1x x x x ∈，且(),M αα为奇数，所以1234,,,x x x x 中1的个数为1或3．所以
()()()()()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0B ⊆．
将上述集合中的元素分成如下四组：
()()1,0,0,0,1,1,1,0；()()0,1,0,0,1,1,0,1；()()0,0,1,0,1,0,1,1；()()0,0,0,1,0,1,1,1．
经验证，对于每组中两个元素,αβ，均有(),=1M αβ．所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以集合B 中元素的个数不超过为4．
又集合()()()(){}
1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1满足条件，所以集合B 中元素个数的最大值为4．（3）设()(){}()1
2
1
2
121,,,|,,,,1,01,2,,k n
n
k
k S x x x x x x A x
x x x k n -=
∈====== ，
(){}1
1
2
1
2
,,,|0n n
n
S x x x x x x +===== ，
则121n A S S S +=⋃⋃⋃ ．
对于()1,2,,1k S k n =- 中的不同元素α，β，经验证，(),1M αβ≥．所以()1,2,,1k S k n =- 中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以B 中元素的个数不超过1n +．
取()12,,,k n k e x x x S =∈ 且()101,2,,1k n x x k n +====- ．
令{}1211,,,n n n B e e e S S -+=⋃⋃ ，则集合B 的元素个数为1n +，且满足条件．故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．
【考点】新定义问题与集合中元素与集合、集合与集合的关系问题．。