江西省宜春市高二上学期期末考试数学文试卷含答案

2 y
数学（文科）试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 命 题 “ 若 x > 0 ， 则 2x > 1 ” 的 否 命 题 是 （ ） A ．若 x > 0 ，则 2x ≤ 1 B ．若 x ≤ 0 ，则2x > 1 C ．若 x ≤ 0 ，则2x ≤ 1
D ．若2x > 1 ，则 x > 0
2．设数列{a n }中, a 1 = 2, a n +1 = a n + 3, 则数列{a n }的通项公式为 （ ）
A ． a n = 3n
B ． a n = 3n -1
C ． a n = 3n + 1
D ． a n = 3n - 2
3． 在 △ ABC 中 ， a = 4, A = 30○
， B = 60○ ， 则 b 等 于 （ ）
A ．6
B ． 4
C ．
D ．9
4． x = 2 是 x 2 + x - 6 = 0 的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
5. 已知双曲线
2
C : x - = b 2
3
3
1(b
> 0)
的焦距为 4,则双曲线C
的渐近线方程为（）
A．y =±15x B．y =±2x C．y =±3x D．y=±
3x
6.已知△ABC 的三个内角满足sin A:sin B :sin C = 5:11:13 ，则△ABC 是（）
A．等腰三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形7．中国
古
代数学著作《算法统综》中有这A．48 里B．24 里C．12 里D．6 里
8.在平面直角坐标系x Oy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F1、F2 在x轴上，离心率为2
，
2
过F1 的直线l 交C 于A、B 两点，且∆ABF2 的周长为 16，那么C 的方程为（）
x2y2x2
A．+=1B．
y 2 x 2
+ = 1 C ．
y 2 x 2
+
= 1 D ． y 2
+
= 1
36 18 16 10 4 2
16 8
9. 设函数 f (x ) = a ln x + bx 2 ，若函数 f (x ) 的图像在点(1,1) 处的切线与 y 轴垂直，则实
数
a +
b = （ ）
A ．1
B ． -1
C ． 1
2
1
D ． 4
10． 已 知 x , y ∈ R ， 且 x > y > 0 ， 则 （ ）
A ． x - y > 1 -
1
B ． cos x - cos y < 0
C ． 1 - 1
> 0 D ．
l n x + ln y > 0
x y x y
1.
已知椭圆 x 2 + y 2
= 1(a ＞b ＞0) 的左，右焦点是 F , F ， P 是椭圆上一点，若
a 2
b 2
1 2
PF 1
⎨
⎩ = 2 PF 2
，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
⎛ 0 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫
⎡ 1 ⎫
⎡ 1 ⎫
A ． ， ⎪
B ． ， ⎪
C ． ⎢ 1⎪
D ． ⎢ 1⎪
⎝ 2 ⎭ ⎝ 3 2 ⎭ ⎣ 3 ⎭ ⎣ 2 ⎭
12.
已知 f ' (x ) 是奇函数 f (x )( x ∈ R ) 的导函数，当 x ∈(-∞, 0] 时， f '(x ) > 1 ，则不等式
f (2x -1) - f (x + 2) ≥ x - 3 的 解 集 为 （ ）
A. (3, +∞)
B. [3, +∞)
C. (-∞,3]
D. (-∞, 3)
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

⎧x + 2 y ≤ 2
13.
若变量 x , y 满足约束条件⎪x + y ≥ 0 ，则 z = x + 3y 的最小值为 ．
⎪
x ≤ 4
14.
在∆ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，且a c os C -
(
角 A 的大小为
．
2b -c)cos A＝0 ，则
15.已知等比数列{a n} 中，a2⋅a8= 4a5，等差数列{b n}中，b4+b6=a5，则数列{b n}
的前9
项和S9等于．
16.如图，已知直线l ：y =k( x +1) (k > 0)与抛物线C : y2= 4x 相交于A, B 两点，且满
足
AF = 2 BF ，则k 的值是．
第 16 题图
q
三、解答题：共 70 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（10 分）已知命题 p :
∀x ∈ ⎡- 1 ,1⎤ ，不等式m - 2 ≥
x 2 2
恒成立； ：方程 +
y =
⎢ 2 ⎥⎦ x
表示焦点在 x 轴上的椭圆．
m 2
4
（1） 若 ¬
p 为假命题，求实数m 的取值范围； （2） 若 p ∨ q 为真命题， p ∧ q 为假命题，求实数m 的取值范围．
（12
分）已
知正
项等
比
数列
{
a
n
}的前n
项和为
S
（1） 求数列{a n }的通项公式； （2） 数 列 b ，b - b ，b - b ，…，b - b
是首项为 1，公比为 2 的等比数列，记c = b n ， 1 2 1 3 2
n
n -1
n
求数列{c n }的前n 项和T n ．
1 a
（12 分）已知A, B, C 是∆ABC 的内角，a, b, c 分别是其对边长，向量
m = (sin B + sin A, sin C) ，n = (sin B -sin A, sin C - sin B) ，且m ⊥n .
（1）求角A 的大小；
（2）若a = 2 ，b +c = 4 ，求∆ABC 的面积.
（12 分）己知函数f (x) =| 3x -1 | -2 | x +1|
（1）解不等式f (x) < 4 ；
（2）若关于x 的不等式f (x) + 5 | x +1|<-a2+ 5a 的解集不是空集，求a 的取值范围.
x
（12 分）已知椭圆C ：
a2
y2
+=1(a >b > 0) .
b2
1
（1）若椭圆的离心率为
2
，且过右焦点垂直于长轴的弦长为3 ，求椭圆C 的标准方程；
（2）点P(m, 0) 为椭圆长轴上的一个动点，过点P 作斜率为b
的直线l 交椭圆C 于A ，B
两
a
点，试判断PA +PB 是否为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，请说明原因. （12 分）已知函数f (x) =e x+ax2-e2x .
（1）若曲线y =
f (x) 在点(2, f (2)) 处的切线平行于x 轴,求函数f (x) 的单调区间；
（2）若x ∈(0,1)时,总有f (x) >xe x-e2x +1,求实数a 的取值范围.
数学（文科）参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
B
B
A
D
C
C
D
B
A
C
B
二、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

13.___-8__ 14.__
4
π
__ 15.__18__ 16.___322__
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1）若为假命题，则为真命题．若命题真，........................1分 即对
恒成立，则
，所以
.......4分
（2）命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，
或
．....5分
为真命题，且为假命题，
、一真一假.........................6分
①如果真假，则有，得；.........................8分 ②如果假真，则有，得
．
综上实数的取值范围为
或
．............................10分
18.（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由已知得0q >，由题意得2111
112
3214a q a q a a q ⎧+=⎨+=⎩，..2分
所以2
75180q q --=，解得2q =，所以12a =，............................4分 因此数列{}n a 的通项公式为2n
n a =.........................................6分
（Ⅱ）因为()()121121n
n n n b b b b b b -=+-+⋅⋅⋅+-=-，......................8分
所以211122n
n n n c -⎛⎫==- ⎪
⎝⎭
，
所以数列
{}n c 的前n 项和
2111111222n n
T =-+-+⋅⋅⋅+-1112211
1212n
n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-=+- ⎪⎝⎭-..........12分
19.(1)∵m n ⊥u r r
∴0m n ⋅=u r r
.....................................................1分
∴(sin sin )(sin sin )sin (sin sin )0B A B A C C B +-+-=.................2分 ∴2220b a c bc -+-= ............................................3分
∴2221
cos 22
b c a A bc +-=
= ..........................................5分 ∵0A π＜＜ ∴3
A π
=
; .......................................................6分
(2)在ABC ∆中，3
A π
=
，2a =
由余弦定理知2
2
2
2
42cos ()3a b c b A b c bc ==+-=+- .............8分 ∴4bc = .................................................10分
∴11sin 4222ABC S bc A ∆==⨯⨯=分
20.（1）由题意可得13,31()51,133,
1x x f x x x x x ⎧
->⎪⎪
⎪
=---≤≤-⎨⎪
-+<-⎪⎪⎩
， ................2分
当1x <-时，34x -+<，解得1x >-，无解， ........................3分
当1
13x -≤≤
时，514x --<，解得1x >-，即113x -<≤， .............4分 当13
x >时，34x -<，解得7x <，即1
73x <<，......................5分
综上所述：不等式的解集即为{|17}x x -<< .........................6分 （2）
()5|1||31|2|1|5|1||31||33|4f x x x x x x x ++=--+++=-++≥，...8分
则由题可得2
54a a -+> .......................................10分
解得14a << ....................................12分 21.（1）12e =
，即1
2
c a =，2a c =， ................................1分
不妨令椭圆方程为22
22143x y c c
+=， .............................2分 当x c =时，32
y =，得出1c =， ..................................3分 所以椭圆的方程为22
143
x y +=. .........................................4分 （2）令直线方程为()b y x m a
=-与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y 两点， 联立方程()2222
1b y x m a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222222222b x b mx b m a b -+=， ....................5分 即222220x mx m a -+-=，
∴12x x m +=，22
122
m a x x -=， .......................................6分 ∴22PA PB + ()()22
221122x m y x m y =-++-+ ()22
121b x m a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ()22221b x m a ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭ ()()2221221b x m x m a ⎛⎫⎡⎤=+-+- ⎪⎣⎦⎝⎭ ()2222122a b x x a +=+ ................10分 ()222121222a b x x x x a
+⎡⎤=+-⎣⎦ 22a b =+为定值. ....................12分 22.()1由2'()2x f x e ax e =+-得: ...................................1分 ()y f x =在点()(2,2)f 处的切线斜率40k a ==，则0a =. ................2分 此时2()x f x e e x =-，2'()x f x e e =-.
由'()0f x =，得2x =.
当(),2x ∈-∞时， '()0f x <，()f x 在(),2-∞上单调递减； ................3分 当()2,x ∈+∞时,'()0f x > ， ()f x 在()2,+∞上单调递增. ...............4分 ()2由2()1x f x xe e x >-+得:2(1)10x x e ax --+<.
设2()(1)1x g x x e ax =--+，)1(0x ∈，
，则'()(2)x g x x e a =-. (01)x ∈Q ，，1x e e ∴<<. ......................................5分
① 当21a ≤，即12
a ≤时，'()0g x >，()g x 在(0)1，上单调递增， ()()00g x g ∴>=，不合要求，应舍去. .............................6分
② 当2a e ≥，即2
e a ≥时，)'(0g x <，()g x 在(0)1，上单调递减， ()()00g x g ∴<=，满足要求. ..............................8分
③ 当12a e <<，即122
e a <<时，令'()0g x =得(2)x ln a =. 当0(2)x ln a <<时，'()()g x g x <，0在(0(2))ln a ，上单调递减;当(2)1ln a x <<时，'()0()g x g x >，在((2)1)ln a ，上单调递增. ......................10分
()()0011g g a ==-+Q ，，∴令()110g a =-+≤得12
e a ≤<. 综合得，a 的取值范围为[1)+∞， .........................................12分。