【新课改】2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测：任意角和弧度制、任意角的三角函数(含解析)

课时跟踪检测（二十） 任意角和弧度制、任意角的三角函数
[A 级 基础题——基稳才能楼高]
1．2弧度的角所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选B ∵π
2<2<π，∴2弧度的角在第二象限．
2．点P (cos 2 019°，sin 2 019°)所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选C 2 019°＝5×360°＋219°，即角2 019°与角219°的终边相同，219°＝180°＋39°，所以角219°在第三象限，即角2 019°也在第三象限．所以cos 2 019°<0，sin 2 019°<0，所以点P 在第三象限．
3．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－32，－12，则sin α的值为( ) A ．－
3
2
B ．－12
C.
32
D.12
解析：选B 根据三角函数的定义，角α的终边与单位圆交点的纵坐标为角α的正弦值．
4．半径为1 cm ，圆心角为150°的角所对的弧长为( ) A.2
3 cm B.2π3 cm C.5
6
cm D.5π6
cm 解析：选D ∵α＝150°＝56π rad，∴l ＝α·r ＝5
6
π cm.
5．(2018·四川石室中学期中)已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1
cos α
＝( )
A ．－1
5
B.3715
C.3720
D.1315
解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝3
5
，∴sin α
＋
1cos α＝－45＋53＝13
15.故选D.
[B 级 保分题——准做快做达标]
1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选B 因为点P (tan α，cos α)在第三象限，所以⎩⎪⎨
⎪⎧
tan α<0，cos α<0，
所以α为第
二象限角．
2．(2019·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( )
A ．sin 2
B ．－sin 2
C ．cos 2
D ．－cos 2 解析：选D 因为r ＝2sin 2
2
＋－2cos 2
2
＝2，由任意角的三角函数的定义，
得sin α＝y r
＝－cos 2.
3．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋
cos θ
|cos θ|＋
tan θ
|tan θ|的值为( )
A ．1
B ．－1
C ．3
D ．－3
解析：选B 由α＝2k π－
π
5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.
4．(2019·长春模拟)已知α，β是第一象限角，且sin α>sin β，则( ) A ．α>β B ．α<β C ．cos α>cos β
D ．tan α>tan β
解析：选D 因为α，β是第一象限角，所以sin α>0，sin β>0，又sin α>sin β，所以sin 2α>sin 2β>0，所以1－cos 2α>1－cos 2β，所以cos 2α<cos 2β，所以1cos 2α>1cos 2β>0，
所以tan 2
α>tan 2
β，因为tan α>0，tan β>0，所以tan α>tan β.故选D.
5．(2019·洛阳阶段性测试)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边
在x 轴的非负半轴上，终边经过点P (3,4)，则sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－2 019π2＝( ) A ．－4
5
B ．－35
C.35
D.45
解析：选C ∵角α的终边经过点P (3,4)，∴sin α＝45，cos α＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2 019π2＝sin ( α－2 020π2＋π2 )＝sin ( α＋π2 )＝cos α＝3
5
.故选C.
6．(2018·莆田二十四中月考)一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选C 设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R .由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
θR ＝6，12θR 2
＝6.解得
θ＝3，即扇形的圆心角的弧度数是3.故选C.
7．终边在坐标轴上的角的集合是( ) A ．{φ|φ＝k ·360°，k ∈Z} B ．{φ|φ＝k ·180°，k ∈Z} C ．{φ|φ＝k ·90°，k ∈Z} D ．{φ|φ＝k ·180°＋90°，k ∈Z}
解析：选C 令k ＝4m ，k ＝4m ＋1，k ＝4m ＋2，k ＝4m ＋3，k ，m ∈Z. 分别代入选项C 进行检验：
(1)若k ＝4m ，则φ＝4m ·90°＝m ·360°；
(2)若k ＝4m ＋1，则φ＝(4m ＋1)·90°＝m ·360°＋90°； (3)若k ＝4m ＋2，则φ＝(4m ＋2)·90°＝m ·360°＋180°； (4)若k ＝4m ＋3，则φ＝(4m ＋3)·90°＝m ·360°＋270°. 综上可得，终边在坐标轴上的角的集合是{φ|φ＝k ·90°，k ∈Z}． 8．若角α的终边与角π
6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－
4π，4π)，则α＝________________________.
解析：如图所示，设角π
6
的终边为OA ，OA 关于直线y ＝x 对称
的射线为OB ，则以OB 为终边且在0～2π范围内的角为π
3
，
故以OB 为终边的角的集合为{ α⎪
⎪⎪ α＝2k π＋π3，k ∈Z }
.
∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋π3<4π，∴－136<k <11
6.
∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1. ∴α＝－11π3，－5π3，π3，7π
3.
答案：－11π3，－5π3，π3，7π
3
9．若角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，则sin θ＋cos θ等于________． 解析：∵角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)， ∴x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |.
当a >0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝y r ＋x r ＝－1
5.
当a <0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝y r ＋x r ＝1
5
.
故sin θ＋cos θ＝±1
5.
答案：±1
5
10．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．
解析：∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴
⎩⎪⎨⎪⎧
3a －9≤0，a ＋2>0，
∴－2<a ≤3.
答案：(－2,3]
11．(2019·齐齐哈尔八中月考)已知角α的顶点在坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (3a,4a )，其中a ≠0，求sin α，cos α，tan α.
解：设r ＝|OP |＝
3a
2
＋4a
2
＝5|a |.当a >0时，r ＝5a ，∴sin α＝4a 5a ＝4
5
，cos
α＝3a 5a ＝35，tan α＝4a 3a ＝43；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－45，cos α＝－3
5，tan α
＝43.综上可知，sin α＝45，cos α＝35，tan α＝43或sin α＝－45，cos α＝－3
5
，tan α
＝43
. 12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点
B ，始边不动，终边在运动．
(1)若点B 的横坐标为－4
5
，求tan α的值；
(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，23π，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式． 解：(1)由题意可得B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45，35，根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34. (2)若△AOB 为等边三角形，则B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2，32，可得tan ∠AOB ＝y x ＝3，故∠AOB ＝π3；故
与角α终边相同的角β的集合为{ β|β＝π
3
＋2k π，k ∈Z }.
(3)若α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23π，则S 扇形OAB ＝12αr 2＝12α， 而S △AOB ＝12×1×1×sin α＝1
2
sin α，
故弓形AB 的面积S ＝S 扇形OAB －S △AOB ＝12α－12sin α，α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23π.。