初一数学上册绝对值(基础)知识讲解及练习

绝对值（基础）
【学习目标】
1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；
2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；
3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题. 【要点梳理】 要点一、绝对值
1.定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 要点二、有理数的大小比较
1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．
2.法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0
正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a -b ＞0，则a ＞b ；若a -b ＝0，则a ＝b ；若a -b ＜0，a ＜b ；反之成立．
4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若
1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a
b
<，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．
5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小. 【典型例题】
类型一、绝对值的概念
1．求下列各数的绝对值．
11
2-，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭
【思路点拨】1
12
，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝
⎭
在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解． 【答案与解析】 解法一：因为11
2-到原点距离是1
12
个单位长度，所以111122-=．
因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．
因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0． 因为132⎛⎫-- ⎪⎝⎭
到原点的距离是1
3
2
个单位长度，所以113322⎛⎫
--= ⎪⎝⎭
．
解法二：因为11
02-<，所以111111222⎛⎫
-=--= ⎪⎝⎭
．
因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3．
因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0． 因为1302⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以1133
22
⎛⎫--= ⎪⎝⎭
． 【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．
2．（ •毕节市）下列说法正确的是（ ） A. 一个数的绝对值一定比0大 B. 一个数的相反数一定比它本身小 C. 绝对值等于它本身的数一定是正数 D. 最小的正整数是1 【答案】D ．
【解析】A 、一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；
B 、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；
C 、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；
D 、最小的正整数是1，正确． 【总结升华】此题主要考查了绝对值以及有理数和相反数的定义，正确掌握它们的区别是解题关键． 举一反三：
【变式1】求绝对值不大于3的所有整数．
【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3．
【变式2】（ •镇江）已知一个数的绝对值是4，则这个数是 ． 【答案】±4.
【变式3】数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示的数为 ． 【答案】6或-6
类型二、比较大小
3．比较下列有理数大小：(1)-1和0； (2)-2和|-3| ；(3)13⎛⎫-- ⎪⎝⎭
和12
-
；（4）1--______0.1--
【答案】(1)0大于负数，即-1＜0；
(2)先化简|-3|＝3，负数小于正数，所以-2＜3，即-2＜|-3|；
(3)先化简1133⎛⎫--=
⎪⎝⎭，1122-=，1123>，即1132⎛⎫
--<- ⎪⎝⎭
．
(4)先化简11--=-，0.10.1--=-，这是两个负数比较大小：因为11-=，
0.10.1-=，而10.1>，
所以10.1-<-，即1--＜0.1--
【解析】(2)、(3)、（4）先化简，再运用有理数大小比较法则．
【点评】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断． 举一反三：
【高清课堂：绝对值比大小 356845 典型例题2】 【变式1】比大小： 6
5
3
-______763- ； -|-3.2|______-(+3.2)； 0.0001______－1000；
1.38-______－1.384； －π______－3.14．
【答案】＞；=；＞；＞；＜
【变式2】下列各数中，比－1小的数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．－2
D ．2
【答案】C
【变式3】数a 在数轴上对应点的位置如图所示，则a ，-a ，-1的大小关系是( )．
A ．-a ＜a ＜-1
B ．-1＜-a ＜a
C．a＜-1＜-a D．a＜-a＜-1
【答案】C
类型三、绝对值非负性的应用
4. 已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．
【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．
【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|＝0
且|2-m|≥0，|n-3|≥0
所以|2-m|＝0，|n-3|＝0
即2-m＝0，n-3＝0
所以m＝2，n＝3
故m-2n＝2-2×3＝-4．
【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a＝b＝…＝m＝0．
类型四、绝对值的实际应用
5．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．
【答案】因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．
【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大．【点评】绝对值越小，越接近标准.
举一反三：
【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L 的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数
+0.0018 -0.0023 +0.0025
-0.0015 +0.0012 +0.0010
(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?
(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？
【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018，-0.0015，+0.0012，+0.0010的这四瓶．
(2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量．
【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?
【答案】小虫爬行的总路程为：
|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)．
小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) ．
【巩固练习】
一、选择题
1．（ .常州）-3的绝对值是（ ）． A ． 3 B ．-3 C ．
13 D ．1
3
- 2．下列判断中，正确的是( )．
A. 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
B. 如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等；
C.任何数的绝对值都是正数；
D.如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数. 3．下列各式错误的是( )． A ．115
533+= B ．|8.1|8.1-= C ．2233-=- D ．1122
--=- 4．2010年12月某日我国部分城市的平均气温情况如下表(记温度零上为正，单位℃)
城市 温州 上海 北京 哈尔滨 广州 平均气温
6
-9
-15
15
则其中当天平均气温最低的城市是( )．
A ．广州
B ．哈尔滨
C ．北京
D ．上海 5．下列各式中正确的是( )． A ．103<-
B ．11
34
->- C ．-3.7＜-5.2 D ．0＞-2 6．若两个有理数a 、b 在数轴上表示的点如图所示，则下列各式中正确的是( )．
A ．a ＞b
B ．|a |＞|b |
C ．-a ＜-b
D ．-a ＜|b | 7．若|a | + a ＝0，则a 是( )．
A . 正数
B . 负数
C .正数或0
D .负数或0 二、填空题
8．（ •铜仁市）|﹣6.18|= ．
9. 若m ，n 互为相反数，则| m |________| n |；| m |=| n |，则m ，n 的关系是________． 10．已知| x |＝2，| y |＝5，且x ＞y ，则x ＝________，y ＝________． 11．满足3.5≤| x | ＜6的x 的整数值是___________． 12. 式子|2x -1|+2取最小值时，x 等于 . 13．数a 在数轴上的位置如图所示． 则|a -2|＝__________．
14. 若a a =，则a 0；若a a =-，则a 0；
若
1a
a
=-，则a 0；若a a ≥，则a ；
若11a a -=-，则a 的取值范围是 ．
15.在数轴上，与-1表示的点距离为2的点对应的数是 ． 三、解答题
16．比较3a-2与2a+1的大小． 17．（ 秋•天水期末）如图，数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、b 、c ．
则：a ﹣b 0，a+c 0，b ﹣c 0．（用＜或＞或=号填空） 你能把|a ﹣b|﹣|a+c|+|b ﹣c|化简吗？能的话，求出最后结果． 17.【解析】 解：由数轴得，
a ﹣
b ＜0，a+
c ＜0，b ﹣c ＜0，
∴|a ﹣b|﹣|a+c|+|b ﹣c|=﹣（a ﹣b ）﹣[﹣（a+c ）]+[﹣（b ﹣c ）] =﹣a+b+a+c ﹣b+c =2c ．
18．某工厂生产某种圆形零件，从中抽出5件进行检验，比规定直径长的毫米数记作正数，零件 1 2 3 4 5 误差
-0.2
-0.3
+0.2
-0.1
+0.3
根据你所学的知识说明什么样的零件的质量好，什么样的零件的质量差，这5件中质量最好的是哪一件?
【答案与解析】
一、选择题 1.【答案】A
2.【答案】B
【解析】A 错误，因为两个数的绝对值相等，这两个数可能互为相反数；B 正确；C 错误，因为0的绝对值是0，而0不是正数；D 错误，因为一个数的绝对值是它本身的数除了正数还有0.
3．【答案】C
【解析】因为一个数的绝对值是非负数，不可能是负数.所以C 是错误的． 4. 【答案】B
【解析】因为-15＜-9＜0＜6＜15，所以当天平均气温最低的城市是哈尔滨． 5. 【答案】D
【解析】0大于负数． 6．【答案】B
【解析】离原点越远的数的绝对值越大． 7. 【答案】D
【解析】若a 为正数，则不满足|a | + a ＝0；若a 为负数，则满足|a | + a ＝0；若a 为
0，也满足|a | + a ＝0. 所以a ≤0，即a 为负数或0.
二、填空题 8. 【答案】6.18 9. 【答案】=;m=±n
【解析】若m，n互为相反数，则它们到原点的距离相等，即绝对值相等；但反过来， m，n绝对值相等，则它们相等或互为相反数.
10. 【答案】±2，-5
【解析】| x |＝2，则x=±2； | y |＝5， y=±5.但由于x＞y，所以x=±2，y=-5
11. 【答案】±4, ±5
【解析】画出数轴，从数轴上可以看出：在原点右侧，有4,5满足到原点的距离大于等于3.5，且小于6；在原点左侧有-4，-5满足到原点的距离大于等于3.5，且小于6.
12. 【答案】1 2
【解析】绝对值最小的数是0，所以当2x-1=0，即x=1
2
时，|2x-1|取到最小值0，同时
|2x-1|+2也取到最小值.
13. 【答案】a-2
【解析】由图可知：a≥2，所以|a-2|=a-2.
14. 【答案】≥；≤；＜；任意有理数；a≤1
15. 【答案】-3,1
三、解答题
16. 【解析】
解：(3a-2)-(2a+1)=3a-2-2a-1=a-3
当a>3时，3a-2>2a+1；
当a=3时，3a-2=2a+1；
当a<3时，3a-2<2a+1.
17．【解析】
解：根据：负数小于正数，两个负数相比较，绝对值大的反而小．
所以从小到大的顺序为：-7.3%，-5.3%，-3.4%，-0.9%，2.8%，7.0%．
18．【解析】
解：零件的直径与规定直径的偏差可以用绝对值表示，绝对值小表示偏差小，绝对值大表示偏差大．哪个零件的直径偏差越小，哪个零件的质量越好，哪个零件的直径偏差越大，哪个零件的质量越差，所以这5件中质量最好的是第4件．。