第4节 二阶线性微分方程[2]

第四节
第六章
二阶线性微分方程
一、二阶线性微分方程解的结构
二、二阶常系数齐次线性微分方程
三、二阶常系数非齐次线性微分方程
三、二阶常系数线性非齐次微分方程
y py qy f (x) ( p, q 为常数) ①
根据解解
代入方程得 2b0 1
因此特解为
y2*


1 2
ex
1 b0 2
所求通解为
内容小结
1. y p y q y Pm (x) e x
为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根,则设特解为
y* x kQm (x) e x
作业 P242 3(1),(3),(6);5
设非齐次方程 y 3y 2x 特解为 y1* x (b0 x b1)
代入方程得 6b0 x 2b0 3b1 2x
比较系数, 得
b0

1 3
,
b1


2 9
因此特解为
y1*

1 3
x2

2 9
x
.
(2)对 f2(x) ex, 1 不是特征方程的单根,
设非齐次方程 y 3y ex 特解为 y2* b0 ex
解: 将特解代入方程得恒等式
(1 a b) ex (2 a) ex (1 a b) x ex c ex
1a b 0 比较系数得 2 a c
1 a b 0
a0 b 1 c2
故原方程为
y ex xex
对应齐次方程通解: Y C1 e x C 2 ex
y* e x[ 2 Q (x) 2 Q(x) Q(x) ]
代入原方程 , 得
(1) 若 不是特征方程的根,
则取
Q (xe)为x[ Qm次(x待) 定( 系2 数多p项) Q式 (x) (2从而p得 到 q特)解Q (x) ]
形式e为xPym*(x)e xQm (x) .
Q ( x)
(2 p q )Q (x) Pm (x)
(2) 若 是特征方程的单根 ,即
为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 即
2 p 0 ,
则Q(x) 是 m 次多项式,故特解形式为 y* x2Qm (x) e x
对方程①, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设
原方程通解为 y C1 e x C 2 ex x e x
例5. 求微分方程 y 3y 2x ex 的通解.
解: 特征方程为 r2 3r 0 r1 0, r2 3 ,则有
Y C1 C 2 e3x
(1)对 f1(x) 2x, 0 是特征方程的单根,
特解 y* xk Qm (x) e x
0, 不是特征根 其中 k 1, 是单根
2, 是二重根
注意: Qm (x) a0 xm a1xm1 am1x am
例1 写出下列微分方程的特解形式:
(1) y 2 y 3y xe2x; (2) y y x2 x 2; (3) y 2 y y ex. 解 : (1) y (ax b)e2x
(2) y x(ax2 bx c); (3) y ax2ex
例2.
的一个特解.
解: 本题 0 , 而特征方程为
0 不是特征方程的根 .
设所求特解为
代入方程 :
比较系数, 得 于是所求特解为
b0
1 ,
b1
1 3
例3.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 ,其根为
求特解的方法 — 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
讨论 f (x) e xPm (x) 型
为实数 , Pm (x)为 m 次多项式 .
设特解为 y* e xQ (x) ,其中Q (x)为待定多项式 , y* e x[ Q (x) Q(x) ]
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
比较系数, 得
b0


1 2
,
b1

1
因此特解为
y*
x
(

1 2
x 1)e2 x
.
所求通解为
(
1 2
x2

x
) e2 x
.
例4. 已知二阶常微分方程 y ay by c ex 有特解 y ex (1 x e2x ) , 求微分方程的通解 .