高中数学第一单元基本初等函数(Ⅱ)1.2.1三角函数的定义学案新人教B版必修4

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类型一 三角函数定义的应用 命题角度 1 已知角 α 终边上一点坐标求三角函数值
10 例 1 已知 θ 终边上一点 P( x, 3)( x≠0) ，且 cos θ＝ 10 x，求 sin θ， tan θ.
反思与感悟 (1) 已知角 α 终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三
4
(1)
x|x
∈R且
x≠
kπ 2
，
k∈Ｚ
π (2) x|2k π＋ 2 ≤x≤2kπ＋π， k∈Ｚ
π
跟踪训练 4
x|2k π＜ x＜2kπ＋ ，k∈Ｚ 2
当堂训练
1． D 2.D 3.D 4.C
y
7
x 24
5． sin α＝ ＝－ ， cos α＝ ＝－ ，
r 25
r 25
y7 tan α＝ x＝ 24.
角函数值 . y ② 在 α 的终边上任选一点 P( x， y) ，设 P 到原点的距离为 r ( r >0) ，则 sin α ＝ r ， cos α x ＝ r . 当已知 α 的终边上一点求 α 的三角函数值时，用该方法更方便 . (2) 当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨
10
x.
∵ x≠0，∴ x＝± 1. 当 x＝1 时， P(1,3) ，
7 / 10
此时 sin
θ＝
3
3 10
＝ 12＋ 32
10
，
3 tan θ＝ 1＝ 3. 当 x＝－ 1 时， P( －1,3) ，
此时 sin θ＝
3
3 10
－1
＝ 2＋ 32
10
，
3 tan θ＝ － 1＝－ 3. 跟踪训练 1 2sin α＋ cos α＝± 1. 例 2 解 设角 α 的终边上任一点为 P( k，－ 3k)( k≠0) ，则 x＝ k， y＝－ 3k，
α为
自变量的函数，分别叫做角 α 的余弦函数、正弦函数和正切函数 .
(2) 有时我们还用到下面三个函数
r 角 α 的正割： sec α＝ ________＝x；
r 角 α 的余割： csc α＝ ________＝y；
x
角 α 的余切： cot
α＝
________
＝. y
这就是说， sec α，csc α ，cot α 分别是 α 的余弦、正弦和正切的倒数 .
跟踪训练 4
求函数 f ( x) ＝
sin x ＋lg cos x tan x
的定义域 .
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1. 已知角 α 的终边经过点 ( － 4,3) ，则 cos α 等于 ( )
43
3
4
A. 5
B. 5
C.－ 5
D. －5
θ
2. 已知 |cos θ| ＝ cos θ， |tan θ| ＝－ tan θ，则 2 的终边在 (
2a 2
a1
3a
cos α＝ 2a＝ 2，tan α＝ a ＝ 3.
若 a<0，则 α 为第三象限角， r ＝－ 2a，
3a
3
所以 sin α＝－ 2a＝－ 2 ，
cos
α＝－
a 2a＝－
1 2，
tan
α＝
3a a＝
3.
例 3 (1) 解 ①∵ 182°是第三象限角，
∴sin 182 °是负的，符号是“－”．
梳理 三角函数的定义域
三角函数 sin α cos α
tan α
定义域 R R π
α α≠ kπ＋ 2 ，k∈Ｚ
知识点三 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？
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梳理 三角函数值在各象限内的符号，如图所示 .
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦
②∵－ 43°是第四象限角，
∴cos( －43°) 是正的，符号是“＋”．
7π ③∵ 4 是第四象限角，
7π ∴tan 4 是负的，符号是“－”．
(2)D
跟踪训练 3 (1) ①sin 145 °cos( －210°) ＜ 0. ②sin 3 ·cos 4 ·tan 5 ＞ 0.
(2) 二
学案导学与随堂笔记答案精析例
类型二 三角函数值符号的判断
例 3 (1) 确定下列各三角函数值的符号 .
7π
①sin 182 ° ；②cos( － 43°）；③tan
. 4
(2) 若 α 是第二象限角，则点 P(sin α， cos α) 在 ( )
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B. 第二象限
A. 第一象限
D. 第四象限
C. 第三象限
反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的
1
3
cot α＝ tan α ＝－ 3 .
(2) 当 k＜ 0 时， r ＝－ 2k， α 是第二象限角，
y － 3k 3
sin α＝ ＝
＝，
r － 2k 2
xk
1
cos α＝ r ＝ － 2k＝－ 2，
y － 3k
tan α＝ ＝
＝－ 3，
xk
1 sec α＝ cos α ＝－ 2，
1 23 csc α＝ sin α ＝ 3 ，
时， sin α>0；当 α 的终边在第三、四象限时， sin α<0. x
(2)cos α＝ r ( r >0) ，因此 cos α 的符号与 x 的符号相同，当 α 的终边在第一、四象限
时， cos α>0；当 α 的终边在第二、三象限时， cos α<0.
(3)tan
α
＝
y x，因此
tan
α 的符号由
y 边在 y 轴上时，任取一点 P，其横坐标 x 都为 0，此时 x无意义，故 tan α 无意义．
知识点三
思考 三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于
x， y 的符号．
y (1)sin α＝ r ( r >0) ，因此 sin α 的符号与 y 的符号相同，当 α 的终边在第一、二象限
π 由上述定义可知，当 α 的终边在 y 轴上，即 α＝kπ± 2 ( k∈ Z) 时， tan α， sec α 没有
意义；当 α 的终边在 x 轴上，即 α＝ kπ（k∈ Z) 时， cot α，csc α 没有意义 .
知识点二 正弦、余弦、正切函数的定义域 思考 对于任意角 α， sin α ， cos α， tan α 都有意义吗？
r ＝ k2＋ － 3k 2＝ 2| k|.
(1) 当 k＞ 0 时， r ＝ 2k，α 是第四象限角，
y － 3k
3
sin α＝ r ＝ 2k ＝－ 2 ，
xk1
cos
α＝
r
＝
2k
＝
， 2
y － 3k tan α＝ x＝ k ＝－ 3，
1
sec
α＝ cos
α ＝2，
1
23
csc α＝ sin α ＝－ 3 ，
叫做角 α 的 ________，记作 ________，即 sin α＝ r ； r
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叫做角
α 的 ________，记作 ________，即
tan
α
y
＝
. x
y x
依照上述定义，对于每一个确定的角
α，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应；
π 当 α≠２kπ± 2 ( k∈ Z) 时，它有唯一的正切值与之对应 . 因此这三个对应法则都是以
1.2.1 三角函数的定义
学习目标 1. 理解任意角的三角函数的定义 弦、余弦、正切函数的定义域 .
.2. 掌握三角函数在各个象限的符号
.3. 掌握正
知识点一 任意角的三角函数 使锐角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点 PM⊥ x 轴于 M，设 P( x， y) ， | OP| ＝ r .
2. 要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类
讨论及三角函数值符号的正确选取 .
3. 要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值 .
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答案精析
问题导学
知识点一
y
x
y
思考 1 sin α＝ r ， cos α＝ r ， tan α＝ x.
思考 2 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点
sin
α
－ |cos
α｜的值是 (
)
A.1 B.0 C.2 D. －2 5. 已知角 α 的终边上有一点 P(24 k, 7k) ， k≠0，求 sin α ， cos α， tan α 的值 .
1. 三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点
P( x，y) 在终边上的位置无关，只
由角 α 的终边位置确定 . 即三角函数值的大小只与角有关 .
类型三 三角函数的定义域
例 4 求下列函数的定义域 .
sin x ＋ cos x
(1) y＝ tan x
；
(2) y＝ － cos x ＋ sin x .
不为零 .(2) 偶次
根号下大于等于零 .(3) 在真数位置时大于零 .(4) 在底数位置时大于零且不等于 1.
P( x， y) 在终边上的位置无关，只与角
α 的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
1
1
1
梳理 (1) 余弦 cos α 正弦 sin α 正切 tan α (2) cos α sin α tan α
知识点二 思考 由三角函数的定义可知，对于任意角 α， sin α， cos α 都有意义，而当角 α 的终
csc α， cot α 的值 .
反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分
两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标
( a，b) ，则对应角的三角函数值分别为
b
a
b
sin
α＝
， cos α ＝ a2＋ b2
， t an a2＋ b2
α ＝a.
跟踪训练 2 已知角 α 的终边在直线 y＝ 3x 上，求 sin α ， cos α， tan α 的值 .
P，作
思考 1 角 α 的正弦、余弦、正切分别等于什么？
思考 2 对确定的锐角 α， sin α， cos α， tan α 的值是否随 P 点在终边上的位置的改 变而改变？
梳理 如图，设 P( x， y) 是 α 终边上不同于坐标原点的任意一点，设 OP＝r ( r ≠0).
(1) 定义 xx
叫做角 α 的 ______，记作 ______，即 cos α＝ r ； r yy
x、 y 确定，当
α 终边在第一、三象限时，
xy>0， tan
α>0；当 α 终边在第二、四象限时， xy<0，tan α<0. 题型探究
例 1 解 由题意知 r ＝ | OP| ＝ x2 ＋ 9，
由三角函数定义得
x
x
cos θ＝ r ＝
. x2＋ 9
10
x
10
又∵ cos θ＝ 10 x，∴
＝ x2 ＋ 9
9 / 10
10 / 10
论. 跟踪训练 1 已知角 α 的终边过点 P( － 3a, 4a)( a≠0) ，求 2sin α＋ cos α 的值 .
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例 2 已知角 α 的终边落在直线
命题角度 2 已知角 α 的终边所在直线求三角函数值 3x＋ y＝ 0 上，求 sin α， cos α ， tan α， sec α，
终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三
正切，四余弦 .
跟踪训练 3 (1) 判断下列各式的符号 .
①sin 145 °cos( －210°) ；② sin 3 ·cos 4 ·tan 5.
(2) 已知点 P(tan α， cos α) 在第三象限，则 α 是第 ________象限角 .
)
A. 第二、四象限
B. 第一、三象限
C. 第一、三象限或 x 轴上 D. 第二、四象限或 x 轴上
3
3. 若点 P(3 ， y) 是角 α 终边上的一点，且满足
y<0， cos
α＝
，则 5
tan
α 等于 (
)
334
4
A. － 4
B. 4
C. 3
D. －3
|sin α｜ cos α
4. 当 α 为第二象限角时，
1
3
cot
α＝ tan
＝－ .
α
3
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跟踪训练 2 解 因为角 α 的终边在直线 y＝ 3x 上，所以可设 P( a， 3a)( a≠0) 为角 α 终边上任意一点，
则 r ＝ a2＋ 3a 2＝ 2| a|( a≠0) ． 若 a>0，则 α 为第一象限角， r ＝2a，
3a 3 所以 sin α＝ ＝ ，