第三章_静定结构的受力分析(第1课)
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M D2 0.25 2 0
D2
0.25kN
F 0
Y
FQD 2 0.25kN
M C 0.5kN m
(下侧受拉)
M
D2
0
二、荷载与内力之间的微分关系和增量关系
1. 微分关系
M FN qx o qy M＋dM FN+dFN x
FQ
y
dx
FQ dFQ
F
y
0
FQ dFQ q y dx FQ 0
s
A MC θ C FNC FQC r
qx
qxcosθ
ql/2
x
qxsinθ
31
q (qlsinθ )/2 (qlcosθ)/2 A ql/2
s
MC θ
ql/2 C FNC qxcosθ
qx
FQC
r
qxsinθ
x
Fr 0 ql FQC qx cos cos 0 2 l FQC q( x) cos (0 x l ) 2
5）已知力按实际方向表示，注明数值。未知 力按正方向表示。
4
截面法举例
FXA
A
XA
2kN/m e=0.2m
C
10kN
D1 D2
B 2m
FYA
2m
4m
FYB
F 0
X
FXA 10 0
FXA 10kN()
M
A
0
2 2 1 10 0.2 FYB 8 0
FYB 0.25kN()
A
B 17
C
D E
7 23
F
4) 作FQ图 17
A B
26
30 M图（kN· m）
9
D E C FQ图（kN） 7
F
7
20
例2 作图示单跨梁的M、FQ图。 80kN· m A B 1m 1m 解：130kN 1）求支座反力
160kN C
2m D 4m
40kN/m E
40kN F
2m 310kN
1 ME 0 FyA 8 (160 6 40 4 2 80 40 2 40 2 1) 1040 / 8 130kN ()
小结： 1）弯矩叠加是指竖标以基线或杆轴为准叠加， 而非图形的简单拼合； 2）应熟悉简支梁在常见荷载下的弯矩图； 3）先画M 图后画FQ图，注意荷载与内力之间 的微分关系。
25
要熟练运用叠加法作弯矩图，必须熟记常用单跨梁的弯矩图。
q
A
ql 2 8
B
Pa
A
P
l
A
Pab l
B
a
P B
ql 2 2
l
b
B
x dx y
FQB右
FQB左
F
y
0
FQB右 FQB左
dx M B左 m M B右 ( FQB左 FQB右 ) 0 2 M B右 M B左 m
14
MB 0
小结：
1）集中力偶作用点左右截面的弯矩产生突变， M 图有台阶，台阶高度等于m。 2）左右截面剪力不变。 m
B
0
dx M B左 M B右 ( FQB左 FQB右 ) 0 2 M B左 M B右
12
小结： 1）在有集中力作用点的左右截面，剪力有突 变。剪力图有台阶，台阶高度等于FP 。 2）M 图上有尖点，尖点指向同集中力的指向。
13
3. 集中力偶与内力之间的增量关系 m MB左 MB右
130kN 1m
取右图AD段为隔离体：
M
D
0
M D 130 4 80 160 2 600 320 280kN .m(下拉)
80kN· m A
1m 130kN
160kN
MD D
C
1m 2m FQDC
22
对悬臂段EF：
M
E
0
1 M E 40 2 40 22 80 80 160kN . m(上拉) 2
MA
MB
16
步骤：
1）选定控制截面，求控制截面在全部荷载作 用下的 M 值，将各控制面的 M 值按比例画在 图上，在各控制截面间连以直线——基线。
控制截面：集中力或者集中力偶作用截面， 分布荷载的起点和终点以及梁的左、右端支座 截面等。
2）对于各控制截面之间的直杆段，在基线上 叠加该杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的 M 图。
10
因此： 若剪力等于0，M 图平行于杆轴； 若剪力为常数，则 M 图为斜直线； 若剪力为x 的一次函数，即为均布荷载时， M 图为抛物线。
11
2. 集中荷载与内力之间的增量关系
MB左 FQB左
FP B dx y FQB右
MB右 x
F
M
y
0
FQB右 FP FQB左 0 FQB右 FQB左 FP
l tgθ
θ
qlsinθ
解： 1）支座反力如上图示。 2）求任一截面C之MC、FQC、FNC
。
30
取右图AC段为隔离体： q (qlsinθ )/2 (qlcosθ)/2 ql/2
M C 0 1 2 1 M C qx qlx 0 2 2 MC 1 qx ( l x )( 下拉 ) (0 x l ) 2
a
l
A
b M l
b
a M l
q
A
l
B
B
M
a
b
l
斜杆的受力分析
计算斜梁或斜杆的方法仍然是截面法。与水平杆相比，不同点在于 斜梁或斜杆的轴线是倾斜的。计算其轴力和剪力时，应将各力分别向截 面的法向、切向投影。 工程中，斜梁和 斜杆是常遇到的，如楼梯梁、刚架中的斜梁等。斜梁受均 布荷载时有两种表示方法： （1）按水平方向分布的形式给出（人群、雪荷载等），用q表示。
l /2 l /2
m/2
m/2
15
三、分段叠加法作弯矩图
分段叠加法是依据叠加原理得到的作 M 图的 简便作图法。 叠加原理：结构中由全部荷载所产生的内力 或变形等于每一种荷载单独作用所产生的效果 只有线性变形体才适用叠加原理。 的总和。 q MA MB A B MA MB + q A B A B =
C
P2 B YB
P1
XA A
C
YA
2. 比较内力 MC = MC0
0 QC = QCcosa
XA
0
A
P1
C
QC
MC NC MC
0
0
NC
0
YA
P1
0
QC
0 NC = -NCsina
XA
A YA
二者的弯矩相同,但斜梁的剪力和轴力分别等于相应水 平梁剪力的两个投影.
例1 q
B x ql FxA=0 A FyA=ql/2 θ C qlcosθ l FyB=ql/2
取右图DF段为隔离体： MD 0
M D 16 7 2 0 M D 16 14 30kN .m(下拉)
MD D FQDF
16kN.m F 2m 7kN
19
3) 作M图 将MA、MC、MD、MF的值按比例画在图上，并连 以直线（称为基线）；对AC、CD、DF段，再叠加 上相应简支梁在杆间荷载作用下的 M 图即可。
dFQ q y dx
M
O
0
dx dx M - (M dM ) FQ (FQ dFQ ) 0 2 2
dM FQ dx d 2M q y 2 dx
9
F
x
0
qx dx dFN 0
dFN qx dx
小结： 1）剪力图上某点切线的斜率等于该点横向荷 载的集度，但正负号相反。 2）弯矩图上某点切线的斜率等于该点的剪力。 3）弯矩图上某点的曲率等于该点的横向荷载的 集度，但正负号相反。 4）轴力图上某点的斜率等于该点轴向均布荷载 的集度 q x ，但正负号相反。
M
B
0
2 2 7 10 0.2 FYA 8 0
FYA 3.75kN()
2kN/m
10kN
A
截面法
e=0.2m 10kN D1 D2
B
XA
C
3.75kN
，
2m
2kN/m
4m
2m
0.25kN
10kN
A
MC FNC
CF
QC
3.75kN
F 0
X
10 FNC 0
（2）按沿轴线方向分布方式给出（自重、恒载），用q’表示。
q 与 q’间的转换关系：
qdx qds q q cos
相同水平跨度的简支梁和斜梁承受相同竖向荷载:
1. 比较支反力 XA =XA=0 YA =YA YB =YB 二者支反力相同
0 0 0
XA
0
A YA
0
P1
P2
B YB
0
F
y
0 FyE (160 40 6 40) 130
440 130 310kN ( )
21
2）选控制截面A、C、D、E、F，并求弯矩值 。
已知 MA＝0 ， MF＝0。 取右图AC段为隔离体：
80kN· m A
M
Mc C 1m F QCA
C
0
M C 130 2 80 340kN .m(下拉)
F 0
y
FyF (8 4 4 17) 7kN ()
18
2）选控制截面A、C、D、F并求弯矩值。 已知 MA＝0， MF＝0。 取右图AC段为隔离体：
8kN A 17kN 1m
MC
M
C
0
C 1m
FQCA
M C 8 1 17 2 0 M C 34 8 26kN .m(下拉)
第1节 直杆受力分析
静定结构的定义：
从几何组成的观点看，几何不变且无多余约束 的结构称为静定结构。
从静力分析的观点看，静定结构的内力可以由 三个平衡方程唯一确定。
平衡方程为：
F
x
0
F
y
0
M 0
1
一、截面法（隔离体）
1. 内力正负号
M
M
M
M
FQ FQ
FQ FQ
FN FN
FN FN
在结构力学中，要求弯矩图画在杆件受拉边， 不注正负号,剪力图和轴力图要注明正负号。
dy tg ; tg 1 (tg ) dx
33
3) 作内力图。
ql2/8 M图 (qlcosθ)/2 FQ 图
(qlcosθ)/2
(qlsinθ)/2
(qlsinθ)/2
FN 图
34
第2节 曲杆的受力分析
1、微分关系
dN Q qs ds R
dQ N qr ds R dM Q ds
2、受力分析方法:
截面法
（1）斜梁的倾角为常数，而曲梁各截面的的倾角是变量。 （2）计算曲梁的倾角时，可先写出曲梁的轴线方程y=f(x), 而后对x求一阶导数，进而确定倾角：
17
例1
作图示单跨梁的M、FQ图。 8kN 4kN/m B D
16kN.m
E F
C FyA=17kN 1m 1m 解： 1）求支座反力
A
4m
1m 1m F =7kN yF
1 1 M F 0 FyA 8 (8 7 4 4 4 16) 8 136 17kN ()
23
3) 作M、FQ图 将MA、MC、MD、ME 、MF的值按比例画在图 上，并连以直线（称为基线）；对AC、DE、EF 段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的M 图即可。 160 B C A D F E 130 140 210 M图（kN· m） 280 340 120 130 40 D A B C F E 30 24 190 FQ 图（kN）
FNC 10kN
F 0
M
Y
3.75 2 2 FQC 0
FQC 0.25kN
M C 3.5 kN m
(下侧受拉 )
C
0 3.75 2 2 2 1 M C 0
2kN/m
10kN
A
截面法
e=0.2m 10kN D1 D2
4m 2m B
XA
2m
C
3.75kN
0.25kN
2kN/m
10kN A 3.75kN
(c)
MD1
D1
FND1
FQD1
MD1 10kN
B
F 0 10 FND1 0
X
FND1 10kN
FND1
D1 FQD1
0.25kN
F 0 FQD1 0.25 0 FQD1 0.25kN
Y
F
FNC FNC
S
0
1 ql sin qx sin 0 2 l q( x)sin (0 x l ) 2
32
斜杆上的竖向分布荷载可以分解为垂直杆轴 和沿杆轴方向的分布荷载，如下图示。 ql qlcosθ
θ
qlsinθ
B (qlcosθ)/2
θ A (qlcosθ)/2
2
2. 隔离体 作隔离体应注意下列几点： 1）隔离体与其余部分的联系要全部切断，代 之以相应的约束力； 2）约束力要与被切断的约束性质相应； A
C A B
FxA
A
MA
FyA
C
FNC
FQC
FxA
A
FyA
3
3）隔离体只画受到的力，不画该隔离体施加 给其余部分的力；
4）不要遗漏力。隔离体受力图应包括荷载以 及受到的全部约束力；
M
D1
0
M D1 10 0.2 0.25 2 0
M D1 2.5kN
(下侧受拉 )
2kN/m
10kN
A
截面法
e=0.2m 10kN D1 D2
4m 2m B
XA
2m
C
3.75kN
0.25kN
FND2
MD2 FQD2
B
F 0
X
FND 2 0
FQD2＋0.25 0
D2
0.25kN
F 0
Y
FQD 2 0.25kN
M C 0.5kN m
(下侧受拉)
M
D2
0
二、荷载与内力之间的微分关系和增量关系
1. 微分关系
M FN qx o qy M＋dM FN+dFN x
FQ
y
dx
FQ dFQ
F
y
0
FQ dFQ q y dx FQ 0
s
A MC θ C FNC FQC r
qx
qxcosθ
ql/2
x
qxsinθ
31
q (qlsinθ )/2 (qlcosθ)/2 A ql/2
s
MC θ
ql/2 C FNC qxcosθ
qx
FQC
r
qxsinθ
x
Fr 0 ql FQC qx cos cos 0 2 l FQC q( x) cos (0 x l ) 2
5）已知力按实际方向表示，注明数值。未知 力按正方向表示。
4
截面法举例
FXA
A
XA
2kN/m e=0.2m
C
10kN
D1 D2
B 2m
FYA
2m
4m
FYB
F 0
X
FXA 10 0
FXA 10kN()
M
A
0
2 2 1 10 0.2 FYB 8 0
FYB 0.25kN()
A
B 17
C
D E
7 23
F
4) 作FQ图 17
A B
26
30 M图（kN· m）
9
D E C FQ图（kN） 7
F
7
20
例2 作图示单跨梁的M、FQ图。 80kN· m A B 1m 1m 解：130kN 1）求支座反力
160kN C
2m D 4m
40kN/m E
40kN F
2m 310kN
1 ME 0 FyA 8 (160 6 40 4 2 80 40 2 40 2 1) 1040 / 8 130kN ()
小结： 1）弯矩叠加是指竖标以基线或杆轴为准叠加， 而非图形的简单拼合； 2）应熟悉简支梁在常见荷载下的弯矩图； 3）先画M 图后画FQ图，注意荷载与内力之间 的微分关系。
25
要熟练运用叠加法作弯矩图，必须熟记常用单跨梁的弯矩图。
q
A
ql 2 8
B
Pa
A
P
l
A
Pab l
B
a
P B
ql 2 2
l
b
B
x dx y
FQB右
FQB左
F
y
0
FQB右 FQB左
dx M B左 m M B右 ( FQB左 FQB右 ) 0 2 M B右 M B左 m
14
MB 0
小结：
1）集中力偶作用点左右截面的弯矩产生突变， M 图有台阶，台阶高度等于m。 2）左右截面剪力不变。 m
B
0
dx M B左 M B右 ( FQB左 FQB右 ) 0 2 M B左 M B右
12
小结： 1）在有集中力作用点的左右截面，剪力有突 变。剪力图有台阶，台阶高度等于FP 。 2）M 图上有尖点，尖点指向同集中力的指向。
13
3. 集中力偶与内力之间的增量关系 m MB左 MB右
130kN 1m
取右图AD段为隔离体：
M
D
0
M D 130 4 80 160 2 600 320 280kN .m(下拉)
80kN· m A
1m 130kN
160kN
MD D
C
1m 2m FQDC
22
对悬臂段EF：
M
E
0
1 M E 40 2 40 22 80 80 160kN . m(上拉) 2
MA
MB
16
步骤：
1）选定控制截面，求控制截面在全部荷载作 用下的 M 值，将各控制面的 M 值按比例画在 图上，在各控制截面间连以直线——基线。
控制截面：集中力或者集中力偶作用截面， 分布荷载的起点和终点以及梁的左、右端支座 截面等。
2）对于各控制截面之间的直杆段，在基线上 叠加该杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的 M 图。
10
因此： 若剪力等于0，M 图平行于杆轴； 若剪力为常数，则 M 图为斜直线； 若剪力为x 的一次函数，即为均布荷载时， M 图为抛物线。
11
2. 集中荷载与内力之间的增量关系
MB左 FQB左
FP B dx y FQB右
MB右 x
F
M
y
0
FQB右 FP FQB左 0 FQB右 FQB左 FP
l tgθ
θ
qlsinθ
解： 1）支座反力如上图示。 2）求任一截面C之MC、FQC、FNC
。
30
取右图AC段为隔离体： q (qlsinθ )/2 (qlcosθ)/2 ql/2
M C 0 1 2 1 M C qx qlx 0 2 2 MC 1 qx ( l x )( 下拉 ) (0 x l ) 2
a
l
A
b M l
b
a M l
q
A
l
B
B
M
a
b
l
斜杆的受力分析
计算斜梁或斜杆的方法仍然是截面法。与水平杆相比，不同点在于 斜梁或斜杆的轴线是倾斜的。计算其轴力和剪力时，应将各力分别向截 面的法向、切向投影。 工程中，斜梁和 斜杆是常遇到的，如楼梯梁、刚架中的斜梁等。斜梁受均 布荷载时有两种表示方法： （1）按水平方向分布的形式给出（人群、雪荷载等），用q表示。
l /2 l /2
m/2
m/2
15
三、分段叠加法作弯矩图
分段叠加法是依据叠加原理得到的作 M 图的 简便作图法。 叠加原理：结构中由全部荷载所产生的内力 或变形等于每一种荷载单独作用所产生的效果 只有线性变形体才适用叠加原理。 的总和。 q MA MB A B MA MB + q A B A B =
C
P2 B YB
P1
XA A
C
YA
2. 比较内力 MC = MC0
0 QC = QCcosa
XA
0
A
P1
C
QC
MC NC MC
0
0
NC
0
YA
P1
0
QC
0 NC = -NCsina
XA
A YA
二者的弯矩相同,但斜梁的剪力和轴力分别等于相应水 平梁剪力的两个投影.
例1 q
B x ql FxA=0 A FyA=ql/2 θ C qlcosθ l FyB=ql/2
取右图DF段为隔离体： MD 0
M D 16 7 2 0 M D 16 14 30kN .m(下拉)
MD D FQDF
16kN.m F 2m 7kN
19
3) 作M图 将MA、MC、MD、MF的值按比例画在图上，并连 以直线（称为基线）；对AC、CD、DF段，再叠加 上相应简支梁在杆间荷载作用下的 M 图即可。
dFQ q y dx
M
O
0
dx dx M - (M dM ) FQ (FQ dFQ ) 0 2 2
dM FQ dx d 2M q y 2 dx
9
F
x
0
qx dx dFN 0
dFN qx dx
小结： 1）剪力图上某点切线的斜率等于该点横向荷 载的集度，但正负号相反。 2）弯矩图上某点切线的斜率等于该点的剪力。 3）弯矩图上某点的曲率等于该点的横向荷载的 集度，但正负号相反。 4）轴力图上某点的斜率等于该点轴向均布荷载 的集度 q x ，但正负号相反。
M
B
0
2 2 7 10 0.2 FYA 8 0
FYA 3.75kN()
2kN/m
10kN
A
截面法
e=0.2m 10kN D1 D2
B
XA
C
3.75kN
，
2m
2kN/m
4m
2m
0.25kN
10kN
A
MC FNC
CF
QC
3.75kN
F 0
X
10 FNC 0
（2）按沿轴线方向分布方式给出（自重、恒载），用q’表示。
q 与 q’间的转换关系：
qdx qds q q cos
相同水平跨度的简支梁和斜梁承受相同竖向荷载:
1. 比较支反力 XA =XA=0 YA =YA YB =YB 二者支反力相同
0 0 0
XA
0
A YA
0
P1
P2
B YB
0
F
y
0 FyE (160 40 6 40) 130
440 130 310kN ( )
21
2）选控制截面A、C、D、E、F，并求弯矩值 。
已知 MA＝0 ， MF＝0。 取右图AC段为隔离体：
80kN· m A
M
Mc C 1m F QCA
C
0
M C 130 2 80 340kN .m(下拉)
F 0
y
FyF (8 4 4 17) 7kN ()
18
2）选控制截面A、C、D、F并求弯矩值。 已知 MA＝0， MF＝0。 取右图AC段为隔离体：
8kN A 17kN 1m
MC
M
C
0
C 1m
FQCA
M C 8 1 17 2 0 M C 34 8 26kN .m(下拉)
第1节 直杆受力分析
静定结构的定义：
从几何组成的观点看，几何不变且无多余约束 的结构称为静定结构。
从静力分析的观点看，静定结构的内力可以由 三个平衡方程唯一确定。
平衡方程为：
F
x
0
F
y
0
M 0
1
一、截面法（隔离体）
1. 内力正负号
M
M
M
M
FQ FQ
FQ FQ
FN FN
FN FN
在结构力学中，要求弯矩图画在杆件受拉边， 不注正负号,剪力图和轴力图要注明正负号。
dy tg ; tg 1 (tg ) dx
33
3) 作内力图。
ql2/8 M图 (qlcosθ)/2 FQ 图
(qlcosθ)/2
(qlsinθ)/2
(qlsinθ)/2
FN 图
34
第2节 曲杆的受力分析
1、微分关系
dN Q qs ds R
dQ N qr ds R dM Q ds
2、受力分析方法:
截面法
（1）斜梁的倾角为常数，而曲梁各截面的的倾角是变量。 （2）计算曲梁的倾角时，可先写出曲梁的轴线方程y=f(x), 而后对x求一阶导数，进而确定倾角：
17
例1
作图示单跨梁的M、FQ图。 8kN 4kN/m B D
16kN.m
E F
C FyA=17kN 1m 1m 解： 1）求支座反力
A
4m
1m 1m F =7kN yF
1 1 M F 0 FyA 8 (8 7 4 4 4 16) 8 136 17kN ()
23
3) 作M、FQ图 将MA、MC、MD、ME 、MF的值按比例画在图 上，并连以直线（称为基线）；对AC、DE、EF 段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的M 图即可。 160 B C A D F E 130 140 210 M图（kN· m） 280 340 120 130 40 D A B C F E 30 24 190 FQ 图（kN）
FNC 10kN
F 0
M
Y
3.75 2 2 FQC 0
FQC 0.25kN
M C 3.5 kN m
(下侧受拉 )
C
0 3.75 2 2 2 1 M C 0
2kN/m
10kN
A
截面法
e=0.2m 10kN D1 D2
4m 2m B
XA
2m
C
3.75kN
0.25kN
2kN/m
10kN A 3.75kN
(c)
MD1
D1
FND1
FQD1
MD1 10kN
B
F 0 10 FND1 0
X
FND1 10kN
FND1
D1 FQD1
0.25kN
F 0 FQD1 0.25 0 FQD1 0.25kN
Y
F
FNC FNC
S
0
1 ql sin qx sin 0 2 l q( x)sin (0 x l ) 2
32
斜杆上的竖向分布荷载可以分解为垂直杆轴 和沿杆轴方向的分布荷载，如下图示。 ql qlcosθ
θ
qlsinθ
B (qlcosθ)/2
θ A (qlcosθ)/2
2
2. 隔离体 作隔离体应注意下列几点： 1）隔离体与其余部分的联系要全部切断，代 之以相应的约束力； 2）约束力要与被切断的约束性质相应； A
C A B
FxA
A
MA
FyA
C
FNC
FQC
FxA
A
FyA
3
3）隔离体只画受到的力，不画该隔离体施加 给其余部分的力；
4）不要遗漏力。隔离体受力图应包括荷载以 及受到的全部约束力；
M
D1
0
M D1 10 0.2 0.25 2 0
M D1 2.5kN
(下侧受拉 )
2kN/m
10kN
A
截面法
e=0.2m 10kN D1 D2
4m 2m B
XA
2m
C
3.75kN
0.25kN
FND2
MD2 FQD2
B
F 0
X
FND 2 0
FQD2＋0.25 0