范数等价判别定理的证明

范数等价判别定理的证明
范数等价判别定理是泛函分析中的一个重要结果，它表明在有限维赋范空间中的所有范数是等价的。

以下给出范数等价判别定理的证明。

首先，设$X$是一个有限维赋范空间，记$n = \dim(X)$。

证明思路：我们需要证明任意两个范数$\|\cdot\|_a$和
$\|\cdot\|_b$等价，即存在常数$c_1>0$和$c_2>0$使得对于任意的向量$x\in X$，有$c_1\|x\|_a \leq \|x\|_b \leq c_2\|x\|_a$。

首先证明$\|\cdot\|_a$和$\|\cdot\|_b$等价的充分性，即存在
$c_2>0$使得对于任意的向量$x\in X$，有$\|x\|_b \leq
c_2\|x\|_a$。

由于$X$是有限维空间，我们可以选取$X$的一组基
$\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}$。

对于任意的向量$x\in X$，我们可以将其表示为$x = \sum_{i=1}^n x_ie_i$。

其中$x_i$是标量。

我们要证明存在常数$c_2>0$使得$\|x\|_b \leq c_2\|x\|_a$成立。

由范数的定义可知，$\|x\|_a = \left(\sum_{i=1}^n
|x_i|^a\right)^{\frac{1}{a}}$，$\|x\|_b = \left(\sum_{i=1}^n
|x_i|^b\right)^{\frac{1}{b}}$。

考虑$\frac{1}{a}$和
$\frac{1}{b}$之间的大小关系：
若$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$，则对于任意的$i=1,2,\ldots,n$，有$|x_i|^a \geq |x_i|^b$，进而$\left(\sum_{i=1}^n
|x_i|^a\right)^{\frac{1}{a}} \geq \left(\sum_{i=1}^n
|x_i|^b\right)^{\frac{1}{b}}$。

令$c_2 = 1$，则对于任意的向量$x\in X$，有$\|x\|_b \leq c_2\|x\|_a$成立。

若$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$，则对于任意的$i=1,2,\ldots,n$，有$|x_i|^a \leq |x_i|^b$，进而$\left(\sum_{i=1}^n
|x_i|^a\right)^{\frac{1}{a}} \leq \left(\sum_{i=1}^n
|x_i|^b\right)^{\frac{1}{b}}$。

令$c_2 = \left(\frac{\sum_{i=1}^n |e_i|^b}{\sum_{i=1}^n |e_i|^a}\right)^{\frac{1}{b}}$，则对于任意的向量$x\in X$，有$\|x\|_b \leq c_2\|x\|_a$成立。

综上所述，$\|\cdot\|_a$和$\|\cdot\|_b$等价的充分性得证。

接下来证明必要性，即存在$c_1>0$使得对于任意的向量$x\in X$，有$c_1\|x\|_a \leq \|x\|_b$。

对于任意的$i=1,2,\ldots,n$，我们有$|x_i|^a \leq
\left(\sum_{i=1}^n |x_i|^a\right)^{\frac{1}{a}} = \|x\|_a$。

则对于任意的向量$x\in X$，有$|x_i|^a \leq \|x\|_a$成立。

由范数的定义可知，$\|x\|_b = \left(\sum_{i=1}^n
|x_i|^b\right)^{\frac{1}{b}}$。

根据不等式的运算性质，我们有$\left(\sum_{i=1}^n |x_i|^b\right)^{\frac{1}{b}} \geq
\left(\sum_{i=1}^n |x_i|^a\right)^{\frac{1}{a}}$，即$\|x\|_b \geq \|x\|_a$。

令$c_1 = \frac{1}{\|x\|_a}$，则对于任意的向量$x\in X$，有$c_1\|x\|_a \leq \|x\|_b$成立。

综上所述，范数等价判别定理得证。