人教A版选修1-1教案：3.2立体几何中的向量方法第3课时(含答案)

直角坐标系 . 设正方体的棱长为 1,
则 A1(1,0,0), B1 (1,1,0), C (0,0,1), D (0,0,1)
则A1D ( 1,0,1), B1C ( 1,0,1) A1D // B1C .即直线 A1D // B1C， 则 A1D // 平面 CB1D1.同理右证： A1B // 平面 CB1D1. 平面 A1BD // 平面 CB1D1.
例3 : 在正方体 ABCD A' B ' C ' D '中 . E,F分别是 CC ', BD的中点 . 求证： A' F 平面 BDE.
（图略） 分析 ：线面垂直
线线垂直。
例 3 是线面垂直问 题，图形和例 2 一 样是正方体，可进 一步训练坐标法。
证明 : 如图
取 DA, DC , DD '分别为 x轴 , y轴 , z轴 建立空间直角坐标系 , 设正方体的棱长为 2.
, 前面又学习了用向量表示
线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系，所以本节课是通过运用这些关系解决立体几何中的平
行与垂直问题。
本次课内容不难理解，但学生自己做题时往往会遇到一个如何转化的问题，因此，教学中应重点抓住
转换思想来进行 .
【教学目标】：
（ 1）知识与技能：
a 继续理解用向量表示空间中平行与垂直的关系和方法；
平面 BDE
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评注： 本题若用一般法证明， 容易证 A’Ｆ垂直于 BD，而证 A’Ｆ垂直于 DE，
或证 A’Ｆ垂直于 EF则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。
利用向量解决平行与垂直问题
1． 向量法：利用向量的概念技巧运算解决问题。
2． 坐标法：利用数及其运算解决问题。
两种方法经常结合起来使用。
反思归纳
1，直三棱柱 ABC A1B1C1 中，角 ACB 是直角， AC ＝ 1，CB ＝ 2 ，侧
棱 AA1 =1，侧面 AA1 B1B 的两条对角线交点为 D， B1C1的中点为 M ，求
例 4， 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射
让学生体会坐标法 的优势。
影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （三垂线定理） 已知：如图 ,OB 是平面 的斜线， O为斜足， AB
， A 为垂足，
用向量法证明三垂 线定理。
CD , CD OA
求证： CD OB
B
证明：
CD OA CD OA 0 AB
2． 平行与垂直关系的向量表示。 一、用向量处理平行问题
例1: 如图已知四边形 ABCD、 ABEF为两个正方形 , MN 分别在其对角线 BF上 , 且FM AN .求证： MN // 平面 EBC
E
备.
例 1 是一道线面平 行问题，需要利用 共面向量定理来证 明。同时介绍解决 问题的向量法。
FM
n
得 x·a· a =0 而 a≠0, ∴x=0, 即 b=ym+zn
∴ b、 m、 n 为共面向量，又 b￠α ,b ∥ α。
7， 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E 是 A1B 上的点， F 是 AC上的点，且 A1E=2EB， CF=2AF，
求证： EF∥平面 A1B1CD。
D
1
C
1
A' C AB ',求证： BC ' AB '
向量法：
C
B
A
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证明：设底面边长为 1, 设a AA', b AB,c AC a b 0, a c 0,b c 1/ 2.
.
【教学过程设计】 ：
教学环节 教学活动 一、复习引 1． 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” .
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设计意图 为学习新知识做准
3 课时（含答案）
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入 二、探究新 知
A(2,0,0),B(2,2,0), A ' F ( 1,1, 2),
A '(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0)
DB (2, 2,0), DE (0, 2,1)
A' F DB ( 1,1, 2) (2, 2,0) 0,
A ' F DE ( 1,1, 2) (0, 2,1) 0
A' F DB, A' F DE, 又DB DE D. A' F
又 E、 F 分别是 AB、CD的中点，故有 EA =- EB ， DF =- CF …②
将②代入①后，两式相加得
1
1
2 EF = AD + BC ，∴ EF
= 2
AD
+ 2
BC 即 EF 与 BC 、 AD 共面，∴ EF 与 AD、 BC平行于同一平面。
注： 本题若用立体几何知识去证明，有一定的难度，由此体会向量法证明的优越性。
D
OA C
CD AB CD AB 0
OB OA AB
CD OB CD ( OA AB ) CD OA CD AB 0
三、练习巩 固
CD AB 分别用向量法和坐标法解决以下问题：
巩固知识，培养技 能.
练习：
B' C'
在三棱柱 ABC A' B 'C '中，
A'
底面是正三角形， AA ' 底面 ABC，
∴ EF ， A1 D 、 DC 为共面向量。
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四、小结 五、作业
坐标法： 证明：（图略） 设底面边长为 2,高为 h, 如图建立空间直角坐标 系. A( 3,0,0), B(0,1,0),C (0, 1,0). A' ( 3,0,h), B' (0,1, h), C' (0, 1, h).
0 AB ' A 'C 3 1 h2 , h2 2. AB ' BC ' 0 2 h2 0. BC ' AB '
B
C
N
A
D
分析： 先复习共面向量定理。要解决问题，可以考虑将向量
MN 用
向量 BE, BC 线性表示出来。
证明 : 在正方形 ABCD与 ABEF中 , BE AB , FM AN , FB AC,
存在实数 , 使 FM FB, AN AC. MN MF FA AN BF EB AC
( BE BA AB AD ) EB (BE AD ) EB
6， 如图，已知 a⊥ α,a ⊥b,b ￠ α , 求证 b∥ α 。
证明：在 α内作不共线向量 m, n
b
∵ a、 m、 n 不共面，∴ b=x a+ym+zn。
a
两边同乘 a 得 a· b=x· a· a+y· a· m+z· a· n
m
∵a⊥b,a ⊥m,a⊥n, ∴ a· b=0, a· m=0, a·n=0
，则
（
）
A． + － 答： D
B． － +
C ．－ + +
D ．－ + －
2，若向量
、
（
）
A．
B．
C． 答： B
D ．以上三种情况都可能
3，一空间四边形 ABCD的对边 AB与 CD，AD与 BC都互相垂直，用向量证明： AC与 BD也互相垂直．
证明：
.又
，
即
. ……①
.
又
，
即
. ……②
由① +②得：
证明： EF = EB + BA + AF …（ 1）
EF = EA 1+ A1 D + DC + CF …（ 2）
A1
B
1
（ 1）× 2+（ 2）并 注意到 EA 1 =-2 EB ，
D
C
CF =-2 AF ， BA =- DC ，
1
1
得 EF = 3 A1 D - 3 DC
FE
A
B
而 EF￠平面 A1B1CD，∴ EF∥平面 A1B1CD。
∴ EF∥平面 PAD．
(2)
∵＝ ( - 2a, 0, 0 )
∴ ·＝ ( - 2a, 0, 0) ·(0, b, c) ＝
0
∴ CD⊥ EF．
（较难题） 5，对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面。
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b 会用向量法和坐标法等方法解决立体几何中的平行与垂直问题
.
（ 2）过程与方法： 在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。
（ 3）情感态度与价值观： 体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
【教学重点】：
向量法与坐标法 .
【教学难点】：
立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转化
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分析 要证明 EF、 BC、 AD平行于同一平面
DF
（ E、 F 分别为 AB、 CD的中点），只要证明相应
AE C
向量 EF 与 AD、 BC共面即可。
B
证明：如图，利用多边形加法法则可得，
EF = EA + AD + DF ， EF = EB + BC + CF …①。
即
.
பைடு நூலகம்
.
4，如图，已知矩形 ABCD所在平面外一点 P， PA⊥平面 ABCD， E、 F 分别是 AB、 PC的中点． （ 1）求证： EF∥平面 PAD； （ 2）求证： EF⊥CD；
证：如图，建立空间直角坐标系 A－ xyz，设 AB＝2a， BC＝ 2b， PA＝ 2c，则： A(0, 0, 0) ， B(2 a, 0, 0) ， C(2 a, 2 b, 0) ，
A'C A' A AC c a
AB' AB BB' b a
BC' BA AC CC' c a b
0 A'C AB ' (c a) (b a)
2
cb c a a b a
2
1
a cb
2
(c a 2a b) (b a) (2 a b) (b a)
2
2
2
2
2a a b b 2a b 1 1 0
所以，结论成立。
D(0, 2 b, 0) ， P(0, 0, 2 c) ∵ E 为 AB的中点， F 为 PC的中点
∴ E( a, 0, 0) ， F ( a, b, c)
(1) ∵ ＝ (0, b, c) ，＝ (0, 0, 2 c) ，＝ (0, 2 b, 0)
∴ ＝ ( ＋) ∴ 与、共面
又∵ E ? 平面 PAD
证 CD 平面 BDM 。 2，课本 p111 第 1、 3 题。
练习与测试：
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（基础题） 1，直三棱柱 ABC— A1B1C1 中，若
( BE BC) BE ( 1)BE BC. MN、BE、BC共面. M 平面 EBC, MN // 平面 EBC
评注： 向量 p 与两个不共线的向量 a、 b 共面的充要条件是存在实数对
使 p=xa+yb.
利用共面向量定理可以证明线面平行问题。 本题用的就 是向量法。
联系共线向量来理 解。
x,y
例2.在正方形 ABCD - A1B1C1D1中,
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利用向量解决平行与垂直问题
学校： 班级： 教师： 日期：
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识
人教 A 版选修求证1-:1平教面案A1B：D3//.平2 面立C体B1几D1何中的向量方法第
3 课时（含答案）
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（图略） 分析： 面面平行
线面平行
线线平行。
证明 : 如图分别以 D1A1、 D1C1、 D1D 三边所在的直线为 x, y, z轴建立空间
例 2 是关于面面平 行的问题，联系几 何定理与向 量平 行。同时介绍解决 问题的坐标法。
评注： 由于三种平行关系可以相互转化， 所以本题可用逻辑推理来证明。 用
向量法将逻辑论证转化为问题的算法化， 在应用向量法时需要合理建立空 间直角坐标系，方能减少运算量。
本题选用了 坐标法。 思考：
一般应如何建立空间直角坐标系？ 二、用向量处理垂直问题