2020-2021学年福建省福州市鼓楼区文博中学高一(下)期中数学试卷(解析版)

2020-2021学年福建省福州市鼓楼区文博中学高一（下）期中数
学试卷
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x﹣1≥0}，则集合A∩B＝（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x≥1}D．{x|1≤x＜2} 2．下列关于向量的命题正确的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
3．如图，已知等腰三角形△O'A'B'，O'A'＝A'B'是一个平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，则这个平面图形的面积是（）
A．B．1C．D．
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知A＝45°，a＝6，b＝，则B的大小为（）
A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°5．已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c
6．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足b2+c2﹣a2＝bc，且a＝，则＝（）
A．2B．3C．4D．2
7．如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记＝，＝，则＝（）
A．B．C．D．
8．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若（其中S△ABC表示△ABC的面积），且角A的平分线交BC于E，满足，则△ABC 的形状是（）
A．有一个角是30°的等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）
9．下列说法中错误的为（）
A．已知＝（1，2），＝（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（﹣，+∞）
B．向量＝（2，﹣3），＝（，﹣）不能作为平面内所有向量的一组基底C．非零向量，，满足||＞||且与同向，则＞
D．非零向量和，满足||＝||＝|﹣|，则与+的夹角为30°
10．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列结论中正确的是（）
A．g（x）的最小正周期为π
B．直线是g（x）图象的一条对称轴
C．
D．g（x）为奇函数
11．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，则（）A．长方体的表面积为20
B．长方体的体积为6
C．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为
D．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为
12．在△ABC中，角所对的边分别为a，b，c，给出下列四个命题中，其中正确的命题为（）A．若A：B：C＝1：2：3，则a：b：c＝1：2：3
B．若cos A＜cos B，则sin A＞sin B
C．若A＝30°，a＝3，b＝4，则这个三角形有两解
D．当△ABC是钝角三角形．则tan A•tan C＜1
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，其中第16题第一空2分，第二空3分，满分20分）
13．++﹣﹣＝．
14．向量在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数λ＝．
15．已知向量与的夹角为60°．且||＝4，||＝3，若，且，则实数λ的值是．
16．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，p为以A为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是；
若向量，则4λ﹣μ的最大值为．
四、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．已知i为虚数单位，复数z1＝1﹣i，z2＝3+ai（a∈R）．
（1）若z1+z2为实数，求z1z2的值；
（2）若为纯虚数，求|z2|．
18．已知，是同一平面内的向量，
（1）若||＝1，||＝2，与的夹角为60°，求|﹣2|；
（2）若＝（1，1），＝（2，x），与4平行，求与的夹角θ．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a cos B+b cos A＝2c cos B，．（1）求B；
（2）若a﹣c＝2，求△ABC的面积．
20．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°．在A 地听到弹射声音的时间比B地晚秒．在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°．（1）求A，C两地的距离；
（2）求这种仪器的垂直弹射高度HC（已知声音的传播速度为340米∕秒）
21．已知O为坐标原点，＝（2cos x，），＝（sin x+cos x，﹣1），若f（x）＝•+2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）当x∈（0，）时，若方程f（x）+m＝0有根，求m的取值范围．
22．已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域及其值域；
（2）求方程f（x）＝2x﹣2的解；
（3）若函数y＝2x﹣mf（x）有两个不同零点，求m的取值范围．
参考答案
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x﹣1≥0}，则集合A∩B＝（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x≥1}D．{x|1≤x＜2}解：∵集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，
B＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，
∴集合A∩B＝{x|1≤x＜2}．
故选：D．
2．下列关于向量的命题正确的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
解：对于A：向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出＝，即该选项错误；
对于B：长度不能相互平行，故该选项错误；
对于C：若，，显然可得出，故该选项正确；
对于D：若，不共线，＝，则该选项错误．
故选：C．
3．如图，已知等腰三角形△O'A'B'，O'A'＝A'B'是一个平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，则这个平面图形的面积是（）
A．B．1C．D．
解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，
∴直角三角形的直角边长是，
∴直角三角形的面积是×＝1，
∴原平面图形的面积是1×2＝2，
故选：D．
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知A＝45°，a＝6，b＝，则B的大小为（）
A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°解：在△ABC中，由正弦定理可得，即，解得sin B＝．∵b＜a，∴B＜A＝45°，∴B＝30°，
故选：A．
5．已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c
解：∵，，
∴c＜a＜b．
故选：A．
6．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足b2+c2﹣a2＝bc，且a＝，则＝（）
A．2B．3C．4D．2
解：△ABC的三边a，b，c满足b2+c2﹣a2＝bc，
整理得，
由于A∈（0，π），
所以A＝，
故sin A＝，
故．
故选：A．
7．如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记＝，＝，则＝（）
A．B．C．D．
解：∵平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，
∴＝＝＝＝﹣，＝＝，
∴＝++＝++
＝﹣+（+）＝+（﹣﹣）
＝﹣，
故选：D．
8．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若（其中S△ABC表示△ABC的面积），且角A的平分线交BC于E，满足，则△ABC 的形状是（）
A．有一个角是30°的等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
解：∵，
∴ab sin C＝＝，
∴tan C＝，由C∈（0°，180°），可得∠C＝60°．
又∵角A的平分线交BC于E，满足，
∴AE⊥BC，
∴△ABE≌△ACE，可得B＝C＝60°，A＝60°，
∴△ABC的形状是等边三角形．
故选：B．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）
9．下列说法中错误的为（）
A．已知＝（1，2），＝（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（﹣，+∞）
B．向量＝（2，﹣3），＝（，﹣）不能作为平面内所有向量的一组基底C．非零向量，，满足||＞||且与同向，则＞
D．非零向量和，满足||＝||＝|﹣|，则与+的夹角为30°
解：对于A，•（+λ）＝3λ+5＞0，且λ≠0，所以A不正确；
对于B，向量＝（2，﹣3），＝（，﹣），满足＝4，两个向量共线，所以不能作为平面内所有向量的一组基底，所以B正确；
对于C，向量是有方向的量，不能比较大小，所以C不正确；
对于D，非零向量和，满足||＝||＝|﹣|，所以以向量和的长度为边，构造菱形，满足与+的夹角为30°，所以D正确；
故选：AC．
10．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列结论中正确的是（）
A．g（x）的最小正周期为π
B．直线是g（x）图象的一条对称轴
C．
D．g（x）为奇函数
解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）＝sin2x 的图象，
故函数g（x）的周期为＝π，故A正确；
令x＝，求出g（x）＝，故C正确，B不正确；
显然，g（x）为奇函数，故D正确，
故选：ACD．
11．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，则（）A．长方体的表面积为20
B．长方体的体积为6
C．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为
D．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为
解：长方体的表面积为2×（3×2+3×1+2×1）＝22，故选项A错误；
长方体的体积为3×2×1＝6，故选项B正确；
如图（1）所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AB＝3，BC＝2，BB1＝1，求表面上两点间最短（长）距离，可把几何体展开成平面图形，
如图（2）所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，则有AC1＝，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离为；
如图（3）所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，则AC1＝，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离为；
如图（4）所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，则AC1＝，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离为，
因为＜＜，
所以沿着长方体表面由A到C1的最短距离是，故选项C正确，选项D错误．故选：BC．
12．在△ABC中，角所对的边分别为a，b，c，给出下列四个命题中，其中正确的命题为（）A．若A：B：C＝1：2：3，则a：b：c＝1：2：3
B．若cos A＜cos B，则sin A＞sin B
C．若A＝30°，a＝3，b＝4，则这个三角形有两解
D．当△ABC是钝角三角形．则tan A•tan C＜1
解：对于A，若A：B：C＝1：2：3，
则A＝30°，B＝60°，C＝90°，
故a：b：c＝sin30°：sin60°：sin90°＝1：：2．故错误；
对于B，在△ABC中，cos A＜cos B⇔A＞B⇔sin A＞sin B，故正确；
对于C，由A＝30°，a＝3，b＝4，可得，可得sin B＝＞sin30°，故满足条件的角B有2个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两个解，故正确；
对于D，当A为钝角时，tan A＜0，tan C＞0，tan A tan C＜1，成立，
当C为钝角时，tan A＞0，tan C＜0，tan A tan C＜1，成立，
当B为钝角时，cos B＝﹣cos（A+C）＝sin A sin C﹣cos A cos C＜0，可得sin A sin C＜cos A cos C，可得tan A•tan C＜1，成立，
综上，命题正确．
故选：BCD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，其中第16题第一空2分，第二空3分，满分20分）
13．++﹣﹣＝．
解：++﹣﹣＝＝；
故答案为：．
14．向量在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数λ＝2．
解：建立如图所示平面直角坐标系，取小正方形的边长为1，
则＝（1，1），＝（0，﹣1），＝（2，1），
∴＝（λ，λ−1），
∵向量与共线，
∴λ﹣2（λ﹣1）＝0，∴λ＝2．
故答案为：2．
15．已知向量与的夹角为60°．且||＝4，||＝3，若，且，则实数λ的值是．
解：向量与的夹角为60°．且||＝4，||＝3，若，且，可得＝＝0，即9﹣16λ+（λ﹣1）×＝0，解得λ＝．
故答案为：．
16．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，p为以A为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是[0，1]；
若向量，则4λ﹣μ的最大值为2．
解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，∵正方形ABCD的边长为1，则E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0），B（1，0），
设P（cosθ，sinθ），∴＝（1，1),＝（cosθ，sinθ),＝（cosθ﹣1，sinθ），•＝cos2θ﹣cosθ+sin2θ＝1﹣cosθ，
∵0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，
∴•的取值范围是[0，1]，
再由向量＝λ(1,1）+μ(,﹣1)＝(λ+μ,λ﹣μ)＝(cosθ，sinθ)
∴,∴,
∴4λ﹣μ＝2sinθ+2cosθ＝2sin(θ+),
∵θ∈[0,],∴θ+∈[,],∴sin(θ+)的最大值为1，
∴4λ﹣μ的最大值为2．
故答案为：[0，1]，2．
四、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
17．已知i为虚数单位，复数z1＝1﹣i，z2＝3+ai（a∈R）．
（1）若z1+z2为实数，求z1z2的值；
（2）若为纯虚数，求|z2|．
解：（1）∵z1+z2＝4+（a﹣1）i，若z1+z2为实数，则a＝1．………
此时z2＝3+i，
∴z1z2＝（1﹣i）（3+i）＝4﹣2i．………
（2）∵＝，………
若为纯虚数，则，得a＝3，………
∴．………
18．已知，是同一平面内的向量，
（1）若||＝1，||＝2，与的夹角为60°，求|﹣2|；
（2）若＝（1，1），＝（2，x），与4平行，求与的夹角θ．
解：（1）根据题意，若||＝1，||＝2，与的夹角为60°，
则•＝1×2×cos60°＝1，
则（﹣2）2＝2﹣4+42＝1﹣4+4×4＝13，
则|﹣2|＝；
（2）根据题意，若＝（1，1），＝（2，x），
则＝（3，1+x），4＝（6，4x﹣2），
若与4平行，则有3（4x﹣2）＝6（1+x），
解可得x＝2，
则＝（2，2），
则有＝2，与方向相同，
则与的夹角θ＝0°．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a cos B+b cos A＝2c cos B，．（1）求B；
（2）若a﹣c＝2，求△ABC的面积．
解：（1）∵a cos B+b cos A＝2c cos B，
∴sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos B，
∴sin（A+B）＝2sin C cos B，
∴sin C＝2sin C cos B，∵sin C≠0，
∴cos B＝，∵B∈（0，π），∴B＝．
（2）由余弦定理得，7＝a2+c2﹣2ac cos，
∴a2+c2﹣ac＝7，∵a﹣c＝2，
∴a＝3，c＝1，
∴S△ABC＝ac sin B＝×3×＝．
20．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°．在A 地听到弹射声音的时间比B地晚秒．在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°．（1）求A，C两地的距离；
（2）求这种仪器的垂直弹射高度HC（已知声音的传播速度为340米∕秒）
解：（1）由题意，设AC＝x，则
∵在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒0
∴BC＝x﹣×340＝x﹣40，
在△ABC内，由余弦定理：BC2＝BA2+CA2﹣2BA•CA•cos∠BAC，
即（x﹣40）2＝x2+10000﹣100x，解得x＝420．
（2）在△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，
∴CH＝AC•tan∠CAH＝140米．
答：该仪器的垂直弹射高度CH为140米．
21．已知O为坐标原点，＝（2cos x，），＝（sin x+cos x，﹣1），若f（x）＝
•+2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）当x∈（0，）时，若方程f（x）+m＝0有根，求m的取值范围．
解：（Ⅰ）∵＝（2cos x，），＝（sin x+cos x，﹣1），
∴f（x）＝•+2＝2cos x sin x+2cos2x﹣+2，
＝sin2x+cos2x+2，
＝2sin（2x+）+2，
其单调递减区间满足2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
∴f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
（Ⅱ）∵当x∈（0，）时，方程f（x）+m＝0有根，∴﹣m＝f（x）．
∵x∈（0，），∴2x+∈（，），
∴﹣＜sin（2x+）≤1，
∴f（x）∈（﹣+2，4]，
∴m∈[﹣4，﹣2）．
22．已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域及其值域；
（2）求方程f（x）＝2x﹣2的解；
（3）若函数y＝2x﹣mf（x）有两个不同零点，求m的取值范围．
解：（1）由2x﹣1≥0，解得x≥0，
则函数的定义域为[0，+∞）．
∵≥1，
∴函数f（x）的值域为[1，+∞）；
（2）由f（x）＝2x﹣2，得，
即，两边平方得（2x）2﹣7•2x+10＝0，
解得2x＝2或2x＝5，
∴x＝0或x＝log25，
验证x＝0不适合，舍去，
故x＝log25；
（3）∵，∴y＝2x﹣mf（x）＝，
令t＝（t≥1），
可得2x＝1+(t﹣1)2＝t2﹣2t+2，
则原函数化为h（t）＝t2﹣（m+2）t+2（t≥1）．
要使y＝2x﹣mf（x）有两个不同零点，即方程h（t）＝t2﹣（m+2）t+2＝0在[1，+∞）上有两个不等根．
则，解得＜m≤1．
∴若函数y＝2x﹣mf（x）有两个不同零点，则m的取值范围是（，1]．。