双曲线和抛物线的区别究竟在哪？

双曲线和抛物线的区别究竟在哪？
安徽省五河高级中学 刘瑞美（邮编：233300）
在复习圆锥曲线时，有学生提出这样的问题：“椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。

从图像上看，椭圆和双曲线与抛物线图像有着明显的差别，容易区分，但双曲线和抛物线图像都是无限延展的，其形状差不多，如何区分？怎样区分” ？带着这样的疑惑，我们从如下几个方面探讨了两者之间的差别。

1.从用平面截圆锥的角度比较
大家知道，双曲线和抛物线都属于圆锥曲线——也就是空间圆锥曲面与平面相交产生的曲线。

当平面与旋转轴间的夹角等于圆锥半顶角（平面与圆锥顶点不共面）时，交线为抛物线（如图1）；
（ 图1） （图2）
当平面与旋转轴间的夹角小于半顶角且大于等于0︒时，交线为双曲线（如图2）。

在我们教材的章头部分有这样一句话，当我们用平面去截圆锥，根据截面与圆锥轴的夹角不同，所得到截面周界分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线。

到底当截面与圆锥轴的夹角为多大时，得到的周界才是椭圆、双曲线和抛物线呢？
下面我们来证明上述结论。

为研究问题的方便，我们特作如下的约定：
设圆锥AEF 的轴截面AEF 顶角2(0)2
EAF π
αα∠=<<
，平面π与圆锥轴线AC 所成的角
(0)2
π
θθ≤≤。

设平面π过母线AE 上的点D ，又C π∈，.AC m =不
妨设平面AEF ⊥平面.πA 在平面π上的射影为O ，B 为平面π截圆锥
面所得图形上任一动点。

以O 为原点，,CO OA 分别为,y z 轴建立空间直角坐标系(如图3)，
则cos ,sin CO m OA m θθ==，因而(0,cos ,0),(0,0,sin ).C m A m θθ-
再设(,,0),B x y 则(0,cos ,sin ),AC m m θθ=--(,,sin )AB x y m θ=-，
22cos sin cos .
AC AB my m m θθα⋅=-+=两边平方整理可得：
2222222222cos (cos cos )2sin cos sin (cos sin )0
()x y m y m ααθθθθαθ⋅+-+⋅+-=*
1、 当2
π
θ=
时，()*式变为222222cos cos (cos 1)0,x y m ααα⋅+⋅+-=即22
2
2
tan x y m α+=
，
得到一个圆。

2、 当0θ=时，()*式变为2
2
2
2
cos sin 0,x y αα⋅-⋅=显然是两条直线。

3、当(0,)
2
π
θα=∈时，()*式变为2222222
cos 2sin cos sin (cos sin )0,x m y m αααααα⋅+⋅+-=
显然是一条抛物线。

4、当θα≠且02
π
θ<<
时，()*式可变为
22422
2
2
2
222222222
sin cos sin cos cos (cos cos )()sin (cos sin )0cos cos cos cos m m x y m θθθθααθθαθαθαθ⋅+-+-+-=--24422
2
2
2
22222sin cos sin cos cos (cos cos )()()cos cos cos cos m m x y θθθα
ααθαθαθ
⇒⋅+-+=
**--，
此时若0,2
π
αθ<<<因为22cos cos 0αθ->，则()**式显然表示椭圆；
若0,2
π
θα<<<
因为22cos cos 0αθ-<，则()**式显然表示双曲线。

很显然，当(0,
)2
π
θα=∈时，所得截面周界是抛物线；当02
π
θα<<<
时，所得截面周界是双曲线。

椭圆、双曲线，抛物线同属于圆锥曲线。

早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了。

古希
腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。

用垂直与锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。

阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。

2.从圆锥曲线第二定义比较
通过上面的研究我们发现，圆锥曲线是用平面截圆锥面得到平面曲线，因此它们之间存在着千丝万缕的联系，但又有着本质的区别。

圆锥曲线是平面内动点到定点与到定直线距离的比为常数e 的点的轨迹（定点不在定直线上）。

这个常数e 叫圆锥曲线的离心率，定点叫圆锥曲线的焦点，定直线叫圆锥曲线的准线。

当1e >时，其轨迹是双曲线，此时它有两个焦点、两条准线、两条渐近线；当01e <<时，其轨迹是椭圆，此时它也有两个焦点、两条准线；当1e =时，其轨迹是抛物线，此时它只有一个焦点和一条准线，没有渐近线。

实际上离心率的几何意义就是曲线上的动点到焦点和准线距离之比。

离心率e 是圆锥曲线概念的重要组成部分。

揭示了圆锥曲线之间的内在联系，它不仅是研究圆锥曲线图象和性质的基础，而且在很多数学问题的求解过程中，具有不可低估的特殊功能。

双曲线的离心率e 是用来刻画双曲线“张口”的大小的量。

从直观上看，双曲线的两支是向外无限延伸的，但始终在渐近线形成的一组对顶角中，不会越过这两条直线（通常称渐近线）。

而抛物线只向外无限延伸，不受任何条件的约束，它是没有渐近线的。

因此从离心率的大小、焦点个数、准线条数来看，双曲线和抛物线是属于两类不同性质的问题。

3.从有无渐近线比较
要从有无渐近线比较，就必须首先了解什么是渐近线。

从仿射几何的角度，二次曲线的渐近线就是二次曲线上的无穷远点的切线，如果不是无穷远直线，则称此直线为二次曲线的渐近线。

从中学教材中渐近线可以理解为：当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，若这一点到一条直线的距离无线趋近于零，则这条直线就称为这条曲线的渐近线。

换一句话说，渐近线就是一条曲线和一条直线无线靠近，但永远不相交。

因而双曲线有两条渐近线b
y x a
=±
，抛物线没有渐近线。

下面我们来证明上面的问题。

（1）设(,)M x y
是双曲线在第一象限内的点，则)y x a >，因为2
2
2
x a x -<
，所以
b
y x a
=
=
，即.b y x a <因而，双曲线在第一象限内的点都在直线b y x a =的下方。

再设
1(,),(,)M x y N x y 是第一象限内两个具有相同横坐标的点，且点M 在双曲线上，点N 在直线b
y x a
=
上，
则根据)y x a
=
>
得，1b MN y y x a =-=
)x a
>，这样当x 随着x 的增大而增大时，
随着x 的增大而减小，从而,M N 两点间的距离MN 随着x 的增大而减小，且当x 无限增大
时，MN 无限趋近于0，即双曲线在第一象限内与直线b
y x a
=越来越近。

再根据对称性可知，当双曲线的两支在向外无限延伸时，双曲线与两条直线b
y x a
=±无线逼近，但永远不会与这两条直线相交。

因而双曲线有两条渐近线。

（2）假设抛物线2
2(0)x py p =>存在渐近线为y kx b =+，设(,),(,)M x y N x Y 是第一象限内两个具有相同横坐标的点，且点M 在抛物线2
1(0)2y x x p
=
>上，点N 在直线(0)y kx b k =+>上，则.Y kx b =+设MQ 表示点M 到直线y kx b =+的距离，则.MQ MN <
由假设可知y kx b =+是抛物线2
2(0)x py p =>的渐近线，即当x 逐渐增大时，MQ 无限接近于零。

而2211(),22MN y Y x kx b x kx b p p
=-=-+=--令21()(0),2f x x kx b x p =-->
有2
2221112()(22)(),2222
pk b f x x kx b x pkx pb x pk p p p +=--=-
-=--(,)x pk ∴∈+∞时，
()f x 是单调增的。

即当x 逐渐增大时，MN 也逐渐增大，x 逐渐增大时，MN 无限
接近于.+∞如图4，设直线的倾斜角为α，
则t a n 0.c o s
k M Q M N αα=>==
(→+∞当).x →+∞
所以当
x 逐渐增大时，点M 到直线y kx b =+的距离
也逐渐增大。

这与假设矛盾，所以抛物线不存在渐近线。

因而，双曲线有两条渐近线，抛物线没有渐近线。

4.两者有着不同应用
从物理性质比较，两者具有不同的物理性质。

将一个点光源放在其焦点上，经过曲线反射后，汇聚一点，则曲线是椭圆（如图5）；若经过曲线反射后，光线分散，其反向延长线汇聚一点，则曲线是双曲线（如图6）若经过曲线反射后，光线为平行光线，则曲线是抛物线（如图7）。

圆锥曲线这些性质在现代的航天、航空、航海及现代化的通信领域中都有着广泛地应用。

通过从以上几个方面对抛物线和双曲线的比较分析，使学生对两者有了一个清醒的认识，并从本质上加强了对圆锥曲线的再认识。

参考文献：
1.刘瑞美.对2011年一道高考圆锥曲线问题的探究,中学数学杂志[J]，201
2.3 2.刘瑞美.与二次曲线切线有关的问题之探究，中学数学研究[J]，2012.7
3.曹 军.“通性通法”应为解题首选方法，数学通报[J]，2012.7
图7
图6 图5。