随机过程2012A卷及答案

河北科技大学2012——2013 学年第一学期
《应用随机过程》试卷（A ）
学院 理学院 班级 姓名 学号
一．概念简答题（每题5分，共40分）
1. 已知随机过程{}(t)=Xsin t,t (-,+)X ω∈∞∞，其中X 为随机变量，服从正态分布
2
(,)
N
μσ。

(1)按物理结构分，(t)X 属哪一类随机过程；
(2)按概率结构分，(t)X 又属哪一类随机过程。

2. 什么是时齐的独立增量过程？
3. 简述Poisson 过程的随机分流定理
4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念
5. 简述Markov 状态分解定理
6．简述HMM 要解决的三个主要问题
7. 设随机变量12X ,,,n X X 相互独立且服从同一正态分布2(,)N μσ，试求
=1
1=
n
k
k X X n
∑
的分布。

8．设更新过程 {}(),0N t t ≥的更新时间距k T 的概率密度函数为2(),0t f t te t λλ-=≥ 求证：均值函数211()(1)2
4
t
N m t t e
λλ-=-
-，并求其更新强度()t λ。

二．综合题（每题10分，共60分）
1.二阶矩过程{}(t),0t<1X ≤的相关函数为 2
121212
(t ,t )=
,0,<11-X R t t t t σ
≤
此过程是否均方连续、均方可微，若可微，则求12(t ,t )X R '和12(t ,t )XX R '。

2. 已知随机变量Y 的密度函数为47,01
(),0,Y y y f y ⎧<<=⎨
⎩其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为2|3,01
(|),0,X Y x x y f x y ⎧<<<=⎨
⎩其他
试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数(,)f x y .
3. 设随机过程{}(t)=cos t,t T X Φ∈，其中Φ是服从区间(0,2)π上均匀分布随机变量，试证：
（1）当{}|0,1,2,T n n ==±± 时，{}(),X t t T ∈为平稳序列。

（2）当{}|(,)T t t =∈-∞+∞时，{}(),X t t T ∈不是平稳过程。

4．如果(0),(1),,(),X X X n 是取整数值且相互独立的随机序列。

（1）试证{}(),0X n n ≥是马尔可夫链，在什么条件下是其次的？
（2）设{}0
(),0,1,2,,()()n
i k P X n i p n Y n
X k
=====∑ ，试证{(),0}Y n n ≥是齐次马
尔可夫链，指出其状态空间，并求其一步转移概率。

5．一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。

假设每箱平均重50kg，标准差为5kg，若用最大载重量为5000kg的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障部超载的概率大于0.9772.
6．设I={1,2,3,4}，其一步转移概率矩阵P=
11
00
22
1000
12
00
33
11
00
22
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
，试画出状态传递图，
对其状态进行分类，确定哪些状态是常返态，并确定其周期。

河北科技大学2012——2013 学年第一学期
《应用随机过程》试卷（A ）答案
一．概念简答题（每题5分，共40分）
1.已知随机过程{}(t)=Xsin t,t (-,+)X ω∈∞∞，其中X 为随机变量，服从正态分布
2
(,)N μσ。

(1)按物理结构分，(t)X 属哪一类随机过程； (2)按概率结构分，(t)X 又属哪一类随机过程。

答：（1）因为随机过程(t)X 的参数空间=(-,+)T ∞∞为连续集合，而X 服从正态分布，亦在(-,+)∞∞上取值，即(t)X 的状态空间=(-,+)E ∞∞为连续集合，故此随机过程(t)X 属于参数空间为连续集，状态空间为连续集的随机过程。

（2）因为2
222(t)=(X sin t )<+i E X E ωσ⎡⎤≤∞⎣⎦
，所以 (t)X 为二阶矩过程。

由于X 服从正态分布， (t)X 中任意多个随机变量(t )=X sin t ,=1,2,,i i X i n ω
的线性组合=1
=1
(t )=(t )X n
n
i i i i i i X ααω∑∑服从正态分布，故1((t ),,(t ))n X X 服从n 维
正态分布，所以{}(t)=Xsin t,t =(-,+)X T ω∈∞∞ 还是正态随机过程。

2．什么是时齐的独立增量过程？
答：称随机过程{t ξ：t ≥0}为独立增量过程，如果对于01,0,n n t t t ∀∀≤<<< 起始随机变量及其后的增量s t s ξξ+-是相互独立的随机变量组；如果s t s ξξ+-的分布不依赖于s, 则此独立增量过程又称为时齐的独立增量过程。

3.简述Poisson 过程的随机分流定理
答：设t N 为强度为λ的poisson 过程，如果把其相应的指数流看成顾客流，用与此指数流相互独立的概率p,把每个到达的顾客，归入第一类，而以概率1-p 把
他归入第二类。

对i=1,2,记 ()i t N 为t 前到达的第i 类顾客数，那么
(1)
(2)
{:0},{:0}t
t
N t N t ≥≥分别为强度为p λ与（1-p ）λ的poisson 过程，而且这
两个过程相互独立。

4.简述Markov 链与Markov 性质的概念
答：如果随机变量是离散的，而且对于0n ∀≥及任意状态
01111001,,,,,(|,,,)(|)
n n n n n n n i j i i p j i i i p j i ξξξξξξ-+--+======= 都有 ，该随
机序列为Markov 链，该对应的性质为Markov 性质。

5. 简述Markov 状态分解定理
答：(1) Markov 链的状态空间S 可惟一分解为 12S T H H =⋃⋃⋃ ，其中T 为暂态的全体，而i H 为等价常返类。

（2）若Markov 链的初分布集中在某个常返类k H 上，则此Markov 链概率为1地永远在此常返类中，也就是说，它也可以看成状态空间为k H 的不可约Markov 链。

6．简述HMM 要解决的三个主要问题
答：(1)从一段观测序列{,}k Y k m ≤及已知的模型(,,)A B λμ=出发，估计n X 的最佳值，称为解码问题。

这是状态估计的问题。

(2) 从一段观测序列{,}k Y k m ≤出发，估计模型参数组(,,)A B λμ=，称为学习问题。

这是参数估计问题。

(3) 对于一个特定的观测链{,}k Y k m ≤，已知它可能是由已经学习好的若干模型之一所得的观测，要决定此观测究竟是得自于哪一个模型，这称为识别问题，就是分类问题。

7.设随机变量12X ,,,n X X 相互独立且服从同一正态分布2(,)N μσ，试求
=1
1=
n
k
k X X n
∑
的分布。

答:由2~(,)i X N μσ可知
22
-
2
(t)=e
,=1,2,,i
t
i t X i n σμϕ
由于12X ,,,n X X 相互独立，根据特征函数的性质可得，=1
=(
)n
k k X X n
∑的特征函数为
22
22
-
-
22
(t)=((
))=(e
)=e
i
t
t
i t i t n
n
n
X X t n
σσμμϕϕ
上式即为正态分布2
(,
)N n
σ
μ的特征函数，所以有唯一性可知
2
=1
1
=
~(,
)n
k k X X N n
n
μ
μ∑
8．设更新过程 {}(),0N t t ≥的更新时间距k T 的概率密度函数为2(),0t f t te t λλ-=≥ 求证：均值函数211()(1)2
4
t
N m t t e
λλ-=
-
-，并求其更新强度()t λ。

答：因为更新间距~(2,)k T λΓ，故更新时刻1
~(2,)
n
n k
k T
n τλ==Γ∑ ，其概率密度函
数与分布函数分别为
21(),0(2)
()0,0n n t
t e t n f t t λτλλ--⎧>⎪
Γ=⎨⎪≤⎩ 210
(),0(2)
()0,0n t n s
s e ds t n F t t λτλλ--⎧>⎪Γ=⎨⎪≤⎩
⎰ 21
21
1
1
()
()()()
()(2)
(21)!
n
n t t n s
s
N n n s m t F t s e
ds e
ds n n λλτ
λλλλ-∞
∞
---===
=
=
Γ-∑∑
⎰
⎰
220
1()(1)(1)2
2
2
4
t t s
s
s
s
t
t
e
e
e ds e
ds e
λλλλλλ
λ
λ----=
-=-=
-
-⎰
⎰
21()()(
(1))
2
4
t
N d d t
t m t e
dt
dt
λλλ-=
=
-
-
注：21
1
()
1()(21)!
2
n t
t
k t e e
n λλλ-∞
-==
--∑
二．综合题（每题10分，共60分） 1．二阶矩过程{}(t),0t<1X ≤的相关函数为
2
121212
(t ,t )=
,0,<11-X R t t t t σ
≤
此过程是否均方连续、均方可微，若可微，则求12(t ,t )X R '和12(t ,t )XX R '。

解：
2
2
2
1
12122
2
1
122
12(t ,t )=
,
(t ,t )=
(1-t t )(1-t t )
X X t t R R t t σσ∂∂∂∂
2
2
1212123
12
12(1+t )
(t ,t )=
,0,<1(1-t t )X t R t t t t σ∂
≤∂
由对称性知，
2
1212
(t ,t )X R t t ∂
∂存在且等于
2
1221
(t ,t )X R t t ∂
∂，显然
在任意点
2
2
1212123
12
12(1+t )
(t ,t )=
,0,<1(1-t t )
X t R t t t t σ∂
≤∂{}121
2(t ,t ):0
t ,
<1≤上
连续，故12(t ,t )X R '广义二阶可微，即{}(t),0t<1X ≤是均方可微的随机过程，从而均方
连续。

[]2
2
121212123
1212(1+t )
(t ,t )=E (t )X (t )=
(t ,t )=
(1-t t )
X X t R X R t t σ'∂
''∂
(5分) []2
1
1212122
2
12(t ,t )=E (t )X (t )=
(t ,t )=
(1-t t )
XX X t R X R t σ'∂'∂ (5分)
2. 已知随机变量Y 的密度函数为47,01
(),0,Y y y f y ⎧<<=⎨
⎩其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为2|3,01
(|),0,X Y x x y f x y ⎧<<<=⎨
⎩其他
试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数(,)f x y .
解：(,)f x y =42|73,01
()(|)0,Y X Y y x x y f y f x y ⎧⨯<<<⨯=⎨⎩
其他 (5分)
=4221,01
0,y x x y ⎧<<<⎨⎩其他
（5分）
3.设随机过程{}(t)=cos t,t T X Φ∈，其中Φ是服从区间(0,2)π上均匀分布随机变
量，试证：
（1）当{}|0,1,2,T n n ==±± 时，{}(),X t t T ∈为平稳序列。

（2）当{}|(,)T t t =∈-∞+∞时，{}(),X t t T ∈不是平稳过程。

证：（1）当参数空间为{}|0,1,2,T n n ==±± 时 ①[][]20
1,0
1
()cos()cos()0,02t E X t E t xt dx t ππ=⎧=Φ=
=⎨≠⎩⎰
(1分)
②[][]
121212211(t ,t )=E cos()cos()cos(())cos(())2
X R t t E t t t t ΦΦ=Φ++Φ-
当120t t ==时，12(t ,t )=1X R 当1t 与2t 不全为零时，有
[]221121221
21
1
,0
11
(t ,t )=
cos(())cos(())22
20,0
X t t R x t t x t t dx t t ππ⎧-=⎪++-⋅=⎨⎪-≠⎩⎰
即12(t ,t )X R 只与21t t -有关。

(2分)
③21,0|()|(t,t)1,02
X t E X t R t =⎧⎪⎡⎤==⎨⎣⎦≠⎪⎩，即2
|()|E X t ⎡⎤<+∞⎣⎦
故当{}|0,1,2,T n n ==±± 时，{}(),X t t T ∈为平稳序列。

(2分) （2）当参数空间为{}|(,)T t t =∈-∞+∞时，由于
[][]20
1,
01
()cos()cos()12sin(2),0
2t E X t E t xt dx t t πππ=⎧⎪
=Φ=
=⎨≠⎪⎩⎰
(5分) 为t 的函数，不是常数，故当{}|(,)T t t =∈-∞+∞时，{}(),X t t T ∈不是平稳过程。

4．如果(0),(1),,(),X X X n 是取整数值且相互独立的随机序列。

（1）试证{}(),0X n n ≥是马尔可夫链，在什么条件下是其次的？
（2）设{}0
(),0,1,2,,()()n
i k P X n i p n Y n
X k
=====∑ ，试证{(),0}Y n n ≥是齐次马
尔可夫链，指出其状态空间，并求其一步转移概率。

答：（1）(0),(1),,(),X X X n 是独立随机变量序列，故为马尔可夫过程，其状态集
{}0,1,2,E =±± ，所以()X n 是马尔可夫链。

其一步转移转移概率
{}()(1)|(){(1)}ij p k P X k j X k i P X k j =+===+=与k 有关，
所以()X n 一般情况下是非齐次马尔科夫链，仅当{(1)P X k j +=与绝对时刻k 无关，即()X k 同分布时，()X n 为齐次马尔可夫链。

(5分)
（2）0
()()n
k Y n X k ==
∑
为独立增量的随机过程，状态集{}0,1,2,E =±± ，故为马
尔科夫链，一步转移概率
{}()(1)|(){(1)},ij j i
p k P Y k j Y k i P X k j i p i j E -=+===+=-=∈
与绝对时间k 无关，故{(),0}Y n n ≥是齐次马尔科夫链。

(5分) 5. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。

假设每箱平均重50kg ，标准差为5kg ，若用最大载重量为5000kg 的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障部超载的概率大于0.9772.
解：记i X 表示第i 箱的重量，12i = ，，，则12X ,,,,n X X 独立同分布，且
(X i E
设汽车可装m 箱符合要求，即=150000.9772
m k k P X ⎧⎫
≤≥⎨⎬⎩⎭
∑
而=1
=1
=1
=1
()=()=50m,D ()=D ()=25m m
m
m
m
k k k k k k k k E X E X X X ∑∑∑∑
根据列维中心极限定理可知
=1
-505000=m k m
k k X m P X P ⎧⎫
⎪⎪⎧⎫≤≤≈Φ⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭
∑∑
(5分)于是
(
0.9772Φ≥，而(2)=0.9772Φ，故
210+0
m
≥⇒≤
1010
解得
2
0<<=98.0199
10
m
⎛
⎝⎭
(5分)
即每辆车最多可装98箱。

6．设I={1,2,3,4}，其一步转移概率矩阵P=
11
00
22
1000
12
00
33
11
00
22
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
，试画出状态传递
图，对其状态进行分类，确定哪些状态是常返态，并确定其周期。

解：
因为对一切()
4444
1,0,01,
n
n f f
≥==<
所以从而知道状态4是非常返态。

（1分）
(1)()
333333
222
2,,1,
333
n
n f f f
≥===<
时,所以从而知道状态3也是非常返态。

（1分）
而(1)(2)
111111
11
1,
22
f f f
=+=+=（2分）
(1)(2)2
222222
...01/21/2...1,
f f f
=++=+++=（2分）所以状态1和状态2都是常返态。

又由于
()
111
1
113
12,
222
n
n
nf
μ
∞
=
==⨯+⨯=<+∞
∑（2分）
()
2222
1
11
1023...3,
22
n
n
nf
μ
∞
=
==⨯+⨯+⨯+=<+∞
∑而其周期均为1，故状态1与状态2是正常返态，且为遍历态。

（2分）。