苏教版初三九年级上册数学 压轴解答题试题(Word版 含答案)

苏教版初三九年级上册数学压轴解答题试题（Word版含答案）
一、压轴题
1．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点
A、B(不与P，Q重合)，连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ.
(1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O的半径；
(2)如图2，选接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上(不与P、M重合)，连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明.
2．阅读理解：
如图，在纸面上画出了直线l与⊙O，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当△OPM的面积最小时，称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”．
解决问题：
（1）如图1，⊙A的半径为1，A(0，2) ，分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，下列三角形中，是x轴与⊙A的“最美三角形”的是．(填序号)
①ABM；②AOP；③ACQ
（2）如图2，⊙A的半径为1，A(0，2)，直线y=kx（k≠0）与⊙A的“最美三角形”的面积
为1
2
，求k的值．
（3）点B在x轴上，以B3为半径画⊙B，若直线3与⊙B的“最美三3
B的横坐标
B
x的取值范围．
3．问题提出
（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．
问题探究
（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且
2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．
问题解决
（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．
4．如图，⊙O 的直径AB ＝26，P 是AB 上（不与点A ，B 重合）的任一点，点C ，D 为⊙O 上的两点．若∠APD ＝∠BPC ，则称∠DPC 为直径AB 的“回旋角”．
（1）若∠BPC ＝∠DPC ＝60°，则∠DPC 是直径AB 的“回旋角”吗？并说明理由； （2）猜想回旋角”∠DPC 的度数与弧CD 的度数的关系，给出证明（提示：延长CP 交⊙O 于点E ）；
（3）若直径AB 的“回旋角”为120°，且△PCD 的周长为3AP 的长． 5．如图①，
O 经过等边ABC 的顶点A ，C （圆心O 在ABC 内），分别与AB ，
CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF EC ⊥交AE 于点F ． （1）求证：BD BE =．
（2）当:3:2AF EF =，6AC =，求AE 的长．
（3）当:3:2AF EF =，AC a =时，如图②，连结OF ，OB ，求OFB △的面积（用含a 的代数式表示）．
6．如图1，有一块直角三角板，其中AB 16=，ACB 90∠=，CAB 30∠=，A 、B 在x 轴上，点A 的坐标为()20,0，圆M 的半径为33，圆心M 的坐标为()
5,33-，圆M 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右做平移运动，运动时间为t 秒；
()1求点C 的坐标；
()2当点M 在ABC ∠的内部且M 与直线BC 相切时，求t 的值；
()3如图2，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点，连接EM 、FM ，在运动过程中，是否存在某一
时刻，使EMF 90∠=？若存在，直接写出t 的值，若不存在，请说明理由．
7．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =.点P 从点A 出发，沿着
A C
B →→运动，速度为1个单位/s ，在点P 运动的过程中，以P 为圆心的圆始终与斜边AB 相切,设⊙P 的面积为S ，点P 的运动时间为t （s ）（07t <<）. （1）当47t <<时，BP = ；（用含t 的式子表示） （2）求S 与t 的函数表达式；
（3）在⊙P 运动过程中，当⊙P 与三角形ABC 的另一边也相切时，直接写出t 的值.
8．某校网球队教练对球员进行接球训练，教练每次发球的高度、位置都一致．教练站在球场正中间端点A 的水平距离为x 米，与地面的距离为y 米，运行时间为t 秒，经过多次测试，得到如下部分数据： t 秒 0 1.5 2.5 4 6.5 7.5 9 … x 米 0 4 8 10 12 16 20 … y 米
2
4.56
5.84
6
5.84
4.56
2
…
（1）当t 为何值时，网球高度达到最大值？ （2）网球落在地面时，与端点A 的水平距离是多少？ （3）网球落在地面上弹起后，y 与x 满足()
2
56y a x k =-+
①用含a 的代数式表示k ；
②球网高度为1.2米，球场长24米，弹起后是否存在唯一击球点，可以将球沿直线扣杀到A 点，若有请求出a 的值，若没有请说明理由．
9．已知抛物线y ＝﹣
14
x 2
+bx +c 经过点A （4，3），顶点为B ，对称轴是直线x ＝2．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点B 的坐标；
（2）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，连接AC ，过A 作AD ⊥x 轴于点D ，E 是线段AC 上
的动点（点E 不与A ，C 两点重合）；
（i ）若直线BE 将四边形ACOD 分成面积比为1：3的两部分，求点E 的坐标； （ii ）如图2，连接DE ，作矩形DEFG ，在点E 的运动过程中，是否存在点G 落在y 轴上的同时点F 恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE 的长；若不存在，请说明理由． 10．抛物线G ：2
y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 交于C （0，-1），且AB =4OC ．
（1）直接写出抛物线G 的解析式： ；
（2）如图1，点D （-1，m ）在抛物线G 上，点P 是抛物线G 上一个动点，且在直线OD 的下方，过点P 作x 轴的平行线交直线OD 于点Q ，当线段PQ 取最大值时，求点P 的坐标；
（3）如图2，点M 在y 轴左侧的抛物线G 上，将点M 先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上，若S △CMN =2，求点M 的坐标．
11．抛物线()2
0y ax bx c a =++≠的顶点为(),P h k ，作x 轴的平行线4y k =+与抛物线交
于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4． （1）请直接写出a 的值____________； （2）若抛物线当0x =和4x =时的函数值相等， ①求b 的值；
②过点()0,2Q 作直线2y =平行x 轴，交抛物线于M 、N 两点，且4QM QN +=，求
c 的取值范围；
（3）若1c b =--，2727b -<<AB 与抛物线所夹的封闭区域为S ，将抛物线绕原点逆时针旋转α，且1
tan 2
α=
，此时区域S 的边界与y 轴的交点为C 、D 两点，若点D 在点C 上方，请判断点D 在抛物线上还是在线段AB 上，并求CD 的最大值．
12．如图1，ABC ∆是⊙O 的内接等腰三角形，点D 是弧AC 上异于,A C 的一个动点，射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ，连结BD 交AC 于点F . （1）求证：ADB CDE ∠=∠；
（2）若7BD =，3CD =，①求AD DE •的值；②如图2，若AC BD ⊥，求
tan ACB ∠；
（3）若5
tan 2
CDE ∠=
，记AD x =，ABC ∆面积和DBC ∆面积的差为y ，直接写出
y 关于x 的函数关系式.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、压轴题
1．(1) ☉O 的半径是3
2
；(2)AB ∥ON ，证明见解析. 【解析】 【分析】
(1) 连接AB ，根据题意可AB 为直径，再用勾股定理即可． (2) 连接OA , OB ,
OQ ,根据圆周角定理可得Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∠=∠∠=∠，从而证出
OC AB ⊥,
延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠，再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90︒得证. 【详解】 解：(1)连接AB ，
在☉0中，
o APQ BPQ 45∠=∠=， o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=
AB ∴是☉0的直径.
Rt APB ∴∆在中，22AB AP BP =+
AB=3∴
∴☉0的半径是
32
(2)AB//ON
证明：连接OA , OB , OQ , 在☉0中,
AQ AQ =, BQ BQ =,
Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠.
又
APQ BPQ ∠=∠,
AOQ BOQ ∴∠=∠.
在AOB ∆中，OA OB =, AOQ BOQ ∠=∠,
OC AB ∴⊥,即o OCA 90∠=
连接OQ ，交AB 于点C 在☉0中，OP OQ =
OPN OQP.∴∠=∠
延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠
o NOP 2OPN 90∴∠+∠=,
又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=，
NOQ 90O ∴∠=
NOQ OCA 180O ∴∠+∠= .
AB//ON ∴ 【点睛】
本题考查了圆周角定理，勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是一道综合题，灵活运用相关知识是解题的关键． 2．（1）②；（2）±1；（3）23＜B x ＜33或733
-＜B x ＜23-【解析】
【分析】
（1）本题先利用切线的性质，结合勾股定理以及三角形面积公式将面积最值转化为线段最值，了解最美三角形的定义，根据圆心到直线距离最短原则解答本题．
（2）本题根据k的正负分类讨论，作图后根据最美三角形的定义求解EF，利用勾股定理求解AF，进一步确定∠AOF度数，最后利用勾股定理确定点F的坐标，利用待定系数法求k．
（3）本题根据⊙B在直线两侧不同位置分类讨论，利用直线与坐标轴的交点坐标确定
∠NDB的度数，继而按照最美三角形的定义，分别以△BND，△BMN为媒介计算BD长度，最后与OD相减求解点B的横坐标范围．
【详解】
（1）如下图所示：
∵PM是⊙O的切线，
∴∠PMO=90°，
当⊙O的半径OM是定值时，22
PM OP OM
=-，
∵
1
=
2
PMO
S PM OM
••，
∴要使PMO
△面积最小，则PM最小，即OP最小即可，当OP⊥l时，OP最小，符合最美三角形定义．
故在图1三个三角形中，因为AO⊥x轴，故△AOP为⊙A与x轴的最美三角形．
故选：②．
（2）①当k＜0时，按题意要求作图并在此基础作FM⊥x轴，如下所示：
按题意可得：△AEF是直线y=kx与⊙A的最美三角形，故△AEF为直角三角形且AF⊥OF．
则由已知可得：
111
=1
222
AEF
S AE EF EF
••=⨯⨯=，故EF=1．
在△AEF中，根据勾股定理得：22
AF AE
==
∵A(0,2)，即OA=2，
∴在直角△AFO 中，22=2OF OA AF AF -==， ∴∠AOF=45°，即∠FOM=45°，
故根据勾股定理可得：MF=MO=1，故F(-1,1)， 将F 点代入y=kx 可得：1k =-． ②当k ＞0时，同理可得k=1． 故综上：1k =±．
（3）记直线33y x =+与x 、y 轴的交点为点D 、C ，则(3,0)D -，(0,3)C ， ①当⊙B 在直线CD 右侧时，如下图所示：
在直角△COD 中，有3OC =，3OD =tan 3OC
ODC OD
∠=
=ODC=60°． ∵△BMN 是直线33y x =+与⊙B 的最美三角形， ∴MN ⊥BM ，BN ⊥CD ，即∠BND=90°， 在直角△BDN 中，sin BN
BDN BD
∠=， 故23
=
sin sin 60?BN BN BD BN BDN =∠．
∵⊙B 3， ∴3BM =．
当直线CD 与⊙B 相切时，3BN BM ==
因为直线CD 与⊙B 相离，故BN 3BD ＞2，所以OB=BD-OD ＞23． 由已知得：113=322BMN
S
MN BM MN ••=•=3
MN ＜1． 在直角△BMN 中，2223BN MN BM MN =+=+1+3=2，此时可利用勾股定理算得BD ＜
33，OB BD OD =- ＜333-33
， 则23＜B x 3
②当⊙B 在直线CD 左侧时，同理可得：73B x
＜23-
故综上：2＜B x ＜3或3
-＜B x ＜2- 【点睛】
本题考查圆与直线的综合问题，属于创新题目，此类型题目解题关键在于了解题干所给示例，涉及动点问题时必须分类讨论，保证不重不漏，题目若出现最值问题，需要利用转化思想将面积或周长最值转化为线段最值以降低解题难度，求解几何线段时勾股定理极为常见．
3．（1）12；（2）；（3）． 【解析】 【分析】
（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.
（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.
（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点
N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴
对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长. 【详解】
（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
135BAC ∠=，
180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，
BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，
BD AD ∴=，
在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，
222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，
4AB =
222232BD AB ∴===，解得：4BD =，
6AC =，
11
641222
ABC S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=．
（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，
D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ，
PD PQ ∴=，
PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，
点P 为AB 上的动点，
PC PD CQ ∴+≥，
∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度， 点C 为半圆AB 的中点，
90COB ∴∠=，
90BOD COD COB ∠+∠=∠=，
11903033
BOD COB ∴∠=∠=⨯=， 10AB =，
1110522
OD AB ∴==⨯=， 在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=，
155,222
DH OD QH DH ∴==∴==， 2
222553522OH OD DH ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭， 由作图知，四边形OMQH 为矩形， 553,22
OM QH MQ OH ∴====， 515522
CM OM OC ∴=+=+=， 222215535322CQ CM MQ ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
PC PD ∴+的最小值为53．
（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、， 点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，
PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，
,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，
．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，
SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠，
E 为OA 上的点，
F 为OB 上的点
PE EF FP SN ∴++≥，
∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长度，
45POA POB AOB ∠+∠=∠=，
45SOA NOB ∴∠+∠=，
454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=． 扇形AOB 的半径为20，
20OS ON OP ∴===，
在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=
PE EF FP ∴++的长度的最小值为202
【点睛】
本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.
4．（1）∠DPC是直径AB的回旋角，理由见解析；（2）“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数，证明见解析；（3）3或23．
【解析】
【分析】
（1）由∠BPC＝∠DPC＝60°结合平角＝180°，即可求出∠APD＝60°＝∠BPC，进而可说明∠DPC是直径AB的回旋角；
（2）延长CP交圆O于点E，连接OD，OC，OE，由“回旋角”的定义结合对顶角相等，可得出∠APE＝∠APD，由圆的对称性可得出∠E＝∠D，由等腰三角形的性质可得出∠E＝
∠C，进而可得出∠D＝∠C，利用三角形内角和定理可得出∠COD＝∠CPD，即“回旋
角”∠CPD的度数＝CD的度数；
（3）①当点P在半径OA上时，在图3中，过点F作CF⊥AB，交圆O于点F，连接PF，则PF＝PC，利用（2）的方法可得出点P，D，F在同一条直线上，由直径AB的“回旋角”为120°，可得出∠APD＝∠BPC＝30°，进而可得出∠CPF＝60°，即△PFC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得出∠CFD＝60°．连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于点G，则∠COD
＝120°，根据等腰三角形的性质可得出CD＝2DG，∠DOG＝1
2
∠COD＝60°，结合圆的直径
为26可得出CD＝3PCD的周长为3DF＝24，过点O作
OH⊥DF于点H，在Rt△OHD和在Rt△OHD中，通过解直角三角形可得出OH，OP的值，再根据AP＝OA﹣OP可求出AP的值；②当点P在半径OB上时，用①的方法，可得：BP＝
3，再根据AP＝AB﹣BP可求出AP的值．综上即可得出结论．
【详解】
（1）∵∠BPC＝∠DPC＝60°，
∴∠APD＝180°﹣∠BPC﹣∠DPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠APD＝∠BPC，
∴∠DPC是直径AB的回旋角．
（2）“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数，理由如下：
如图2，延长CP交圆O于点E，连接OD，OC，OE．
∵∠CPB＝∠APE，∠APD＝∠CPB，
∴∠APE＝∠APD．
∵圆是轴对称图形，
∴∠E＝∠D．
∵OE＝OC，
∴∠E＝∠C，
∴∠D＝∠C．
由三角形内角和定理，可知：∠COD＝∠CPD，
∴“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数．
（3）①当点P在半径OA上时，在图3中，过点F作CF⊥AB，交圆O于点F，连接PF，则PF＝PC．
同（2）的方法可得：点P，D，F在同一条直线上．
∵直径AB的“回旋角”为120°，
∴∠APD＝∠BPC＝30°，
∴∠CPF＝60°，
∴△PFC是等边三角形，
∴∠CFD＝60°．
连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于点G，则∠COD＝120°，
∴CD＝2DG，∠DOG＝1
2
∠COD＝60°，
∵AB=26，∴OC=13，
∴
3
2 CG
∴CD ＝2×1332
＝133. ∵△PCD 的周长为24+133，
∴PD +PC +CD ＝24+133，
∴PD +PC ＝DF ＝24．
过点O 作OH ⊥DF 于点H ，则DH ＝FH ＝12
DF ＝12． 在Rt △OHD 中，OH ＝222213125OD DH -=-=,
在Rt △OHP 中，∠OPH ＝30°，
∴OP ＝2OH ＝10，
∴AP ＝OA ﹣OP ＝13﹣10＝3；
②当点P 在半径OB 上时，
同①的方法，可得：BP ＝3，
∴AP ＝AB ﹣BP ＝26﹣3＝23．
综上所述，AP 的长为：3或23．
【点睛】
此题是圆的综合题，考查圆的对称性质，直角三角形、等腰三角形与圆的结合，（3）是此题的难点，线段AP 的长度由点P 所在的位置决定，因此必须分情况讨论.
5．(1)证明见解析；(2)13(3)
2330a 【解析】
【分析】
(1)根据△ABC 是等边三角形，从而可以得出∠BAC=∠C ，结合圆周角定理即可证明；
(2)过点A 作AG ⊥BC 于点G ，根据△ABC 是等边三角形，可以得到BG 、AG 的值，由BF ∥AG 可得到AF BG EF EB
=，求出BE ，最后利用勾股定理即可求解； (3)过点O 作OM ⊥BC 于点M ，由题(2)知AF BG EF EB =，CG=BG=1122
AC a =，可以得到BM 的值，根据BF ∥AG ，可证得△EBF ∽△EGA ，列比例式求出BF ，从而表示出△OFB 的面积．
【详解】
(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，
∵∠DEB=∠BAC=60°，∠D=∠C=60°，
∴∠DEB=∠D ，
∴BD=BE ；
(2)解：如图所示，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，
∵△ABC 是等边三角形，AC=6，
∴BG=11322BC AC ==， ∴在Rt △ABG 中，333AG BG ==，
∵BF ⊥EC ，
∴BF ∥AG ，
∴
AF BG EF EB
=， ∵AF ：EF=3：2， ∴BE=23
BG=2， ∴EG=BE+BG=3+2=5，
在Rt △AEG 中，()2222335213AE AG EG =+=+=
(3)解：如图所示，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，
由题(2)知
AF BG EF EB =，CG=BG=1122AC a =， ∴3=2
AF BG EF EB =， ∴22113323
EB BG a a ==⨯=，
∴EC=CG+BG+BE=1114 2233
a a a a
++=，
∴EM=1
2
EC=
2
3
a，
∴BM=EM-BE=
211
333
a a a
-=，
∵BF∥AG，
∴△EBF∽△EGA，
∴
1
2
3
=
115
32
a
BF BE
AG EG a a
==
+
，
∵
3
3
AG BG a
==，
∴
233
525
BF a a
=⨯=，
∴△OFB的面积＝2
1313
223
BF BM
a a a
⋅
=⨯⨯=．
【点睛】
本题主要考查了圆的综合题，关键是根据等边三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质求解．
6．（1）()
C8,43；（2）t=18s；（3）t1513
=±．
【解析】
【分析】
（1）如图1中，作CH⊥AB于H．解直角三角形求出CH，OH即可．
（2）如图1﹣1中，设⊙M与直线BC相切于点N，作MH⊥AB于H．求出OH的长即可解决问题．
（3）设M（﹣5+t，33），EF
1
2
=AB=8，由∠EMF=90°，可得EM2+MF2=EF2，由此构建方程即可解决问题．
【详解】
（1）如图1中，作CH⊥AB于H．
∵A（20，0），AB=16，∴OA=20，OB=4．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=16，
∠CAB
=30°，∴BC 12
=
AB =8，CH =BC •sin60°=43，BH =BC •cos60°=4，∴OH =8，∴C （8，43）． （2）如图1﹣1中，设⊙M 与直线BC 相切于点N ，作MH ⊥AB 于H ．
∵MN =MH 3MN ⊥BC ，MH ⊥BA ，∴∠MBH =∠MBN =30°，∴BH 3==9，∴点M 的运动路径的长为5+4+9=18，∴当点M 在∠ABC 的内部且⊙M 与直线BC 相切时，t 的值为18s ．
（3）∵C （8，3B （4，0），A （20，0）．
∵CE =EB ，CF =FA ，∴E （6，3），F （14，3），设M （﹣5+t ，3），EF 12
=AB =8． ∵∠EMF =90°，∴EM 2+MF 2=EF 2，∴（6+5﹣t ）2+32+（14+5﹣t ）2+32=82，整理得：t 2﹣30t +212=0，解得：t =1513
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了平移变换，解直角三角形，切线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
7．（1）7-t （2）()()()22904;25{1674725
t t S t t ππ<≤=-<<（3）516,23t t == 【解析】
【分析】
（1）先判断出点P 在BC 上，即可得出结论；
（2）分点P 在边AC 和BC 上两种情况：利用相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论；
（3）分点P 在边AC 和BC 上两种情况：借助（2）求出的圆P 的半径等于PC ，建立方程求解即可得出结论．
【详解】
（1）∵AC =4，BC =3，∴AC +BC =7．
∵4＜t ＜7，∴点P 在边BC 上，∴BP =7﹣t ．
故答案为：7﹣t ；
（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得：AB=5，由运动知，AP=t，分两种情
况讨论：
①当点
P在边AC上时，即：0＜t≤4，如图1，记⊙P与边AB的切点为H，连接PH，
∴∠AHP=90°=∠ACB．
∵∠A=∠A，∴△APH∽△ACB，∴
PH AP
BC AB
=，∴
35
PH t
=，∴PH
3
5
=t，∴S
9
25
=πt2；
②当点P在边BC上时，即：4＜t＜7，如图，记⊙P与边AB的切点为G，连接PG，
∴∠BGP=90°=∠C．
∵∠B=∠B，∴△BGP∽△BCA，∴
PG BP
AC AB
=，∴
7
45
PG t-
=，∴PG
4
5
=（7﹣t），
∴S
16
25
=π（7﹣t）2．
综上所述：S
2
2
9
04
25
16
747
25
t t
t t
π
π
⎧
≤
⎪⎪
=⎨
⎪-
⎪⎩
（＜）
（）（＜＜）
；
（3）分两种情况讨论：
①当点P在边AC上时，即：0＜t≤4，由（2）知，⊙P的半径PH
3
5
=t．
∵⊙P与△ABC的另一边相切，即：⊙P和边BC相切，∴PC=PH．
∵PC=4﹣t，∴4﹣t
3
5
=t，∴t
5
2
=秒；
②当点P在边BC上时，即：4＜t＜7，由（2）知，⊙P的半径PG
4
5
=（7﹣t）．
∵⊙P与△ABC的另一边相切，即：⊙P和边AC相切，∴PC=PG．
∵PC=t﹣4，∴t﹣4
4
5
=（7﹣t），∴t
16
3
=秒．
综上所述：在⊙P运动过程中，当⊙P与三角形ABC的另一边也相切时，t的值为
5
2
秒或16
3
秒．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，用分类讨论的思想解决问题是解答本题的关键．
8．（1）10；（2）10+米；（3）①100k a =-；②不存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用表格中数据直接得出网球达到最大高度时的时间及最大值；
（2）首先求出函数解析式，进而求出网球落在地面时，与端点A 的水平距离；
（3）①由（2）得网球落在地面上时，得出对应点坐标，代入计算即可； ②由球网高度及球桌的长度可知其扣杀路线解析式为110
y x =，若要击杀则有(21
10010
a x a x --=，根据有唯一的击球点即该方程有唯一实数根即可求得a 的值，继而根据对应x 的值取舍可得．
【详解】
（1）由表格中数据可得4t =，（秒），网球达到最大高度，最大高度为6；
（2）以A 为原点，以球场中线所在直线为x 轴，网球发出的方向为x 轴的正方向，竖直运动方向为y 方向，建立平面直角坐标系．
由表格中数据，可得y 是x 的二次函数，且顶点坐标为(10，6)，
可设2(10)6y m x =-+，
将（0，2）代入，可得：125m =-
， ∴21(10)625
y x =--+，
当0y =，得10x =±(负值舍去)，
∴网球落在地面上时，网球与端点A 的距离为10+米；
（3）①由（2）得网球落在地面上时，对应的点为(10+，0)代入
(2
y a x k =-+，得100k a =-；
②不存在． ∵网高1.2米，球网到A 的距离为24122
=米， ∴扣杀路线在直线经过（0，0）和（12，1.2）点， ∴扣杀路线在直线110
y x =上，
令(2110010a x a x --=，
整理得：2150010ax x a ⎛
⎫-+= ⎪⎝⎭
，
当0=时符合条件，
2
21106200010a a ⎛
⎫
=+-=
⎪⎝
⎭，
解得1400
a =
，2400a =．
开口向下，0a ＜， ∴1
a ，2a 都可以， 将1a ，2a 分别代入(2
1
10010
a x a x --=
，得到得解都是负数，不符合实际． 【点睛】
本题主要考查了二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． 9．（1）y ＝﹣14x 2
+x +3，顶点B 的坐标为（2，4）；（2）（i ）点E 的坐标为（85
，3）或（12
5
，3）；（ii ）存在；当点G 落在y 轴上的同时点F 恰好落在抛物线上，此时AE 的长为
43． 【解析】 【分析】
（1）由题意得出2
1441,43,124b c b ⎧-⨯++=⎪⎪⎨-=⎪⎛⎫⨯-⎪
⎪⎝⎭⎩
，解得1,
3,b c =⎧⎨=⎩，得出抛物线的函数表达式为：y ＝﹣
14x 2+x +3＝﹣1
4
（x ﹣2）2+4，即可得出顶点B 的坐标为（2，4）； （2）（i ）求出C （0，3），设点E 的坐标为（m ，3），求出直线BE 的函数表达式为：y ＝
12m --x +46
2
m m --，则点M 的坐标为（4m ﹣6，0），由题意得出OC ＝3，AC ＝4，OM ＝4m ﹣6，CE ＝m ，则S 矩形ACOD ＝12，S 梯形ECOM ＝
1518
2
m -，分两种情况求出m 的值即可； （ii ）过点F 作FN ⊥AC 于N ，则NF ∥CG ，设点F 的坐标为：（a ，﹣14
a 2
+a +3），则NF ＝3﹣（﹣
14a 2+a +3）＝1
4
a 2﹣a ，NC ＝﹣a ，证△EFN ≌△DGO （ASA ），得出NE ＝OD ＝AC ＝4，则AE ＝NC ＝﹣a ，证△ENF ∽△DAE ，得出
NF NE AE AD =，求出a ＝﹣4
3
或0，当a ＝0
时，点E与点A重合，舍去，得出AE＝NC＝﹣a＝4
3
，即可得出结论．
【详解】
（1）∵抛物线y＝﹣1
4
x2+bx+c经过点A（4，3），对称轴是直线x＝2，
∴
2
1
441, 4
3,
1
2
4
b c
b
⎧
-⨯++=⎪
⎪
⎨-=
⎪⎛⎫
⨯-
⎪ ⎪
⎝⎭
⎩
解得
1,
3, b
c
=⎧
⎨
=⎩
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣1
4
x2+x+3，
∵y＝﹣1
4
x2+x+3＝﹣
1
4
（x﹣2）2+4，
∴顶点B的坐标为（2，4）；
（2）（i）∵y＝﹣1
4
x2+x+3，
∴x＝0时，y＝3，
则C点的坐标为（0，3），
∵A（4，3），
∴AC∥OD，
∵AD⊥x，
∴四边形ACOD是矩形，
设点E的坐标为（m，3），直线BE的函数表达式为：y＝kx+n，直线BE交x轴于点M，如图1所示：
则
24,
3, k n
mk n
+=⎧
⎨
+=⎩
解得：
1
,
2
46
,
2
k
m
m
n
m
-
⎧
=
⎪⎪-
⎨
-
⎪=
⎪-
⎩
，
∴直线BE的函数表达式为：y＝
1
2
m
-
-
x+
46
2
m
m
-
-
，
令：y＝
1
2
m
-
-
x+
46
2
m
m
-
-
＝0，则x＝4m﹣6，
∴点M的坐标为（4m﹣6，0），
∵直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，
∴点M在线段OD上，点M不与点O重合，
∵C（0，3），A（4，3），M（4m﹣6，0），E（m，3），∴OC＝3，AC＝4，OM＝4m﹣6，CE＝m，
∴S矩形ACOD＝OC•AC＝3×4＝12，
S梯形ECOM＝1
2
（OM+EC）•OC＝
1
2
（4m﹣6+m）×3＝
1518
2
m-
，
分两种情况：
①S ECOM
S ACOD
梯形
矩形
＝
1
4
，即
1518
2
12
m-
＝
1
4
，
解得：m＝8
5
，
∴点E的坐标为：（8
5
，3）；
②S ECOM
S ACOD
梯形
矩形
＝
3
4
，即
1518
2
12
m-
＝
3
4
，
解得：m＝12
5
，
∴点E的坐标为：（12
5
，3）；
综上所述，点E的坐标为：（8
5
，3）或（
12
5
，3）；
（ii）存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上；理由如下：由题意得：满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方，
过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，如图2所示：
设点F的坐标为：（a，﹣1
4
a2+a+3），
则NF＝3﹣（﹣1
4
a2+a+3）＝
1
4
a2﹣a，NC＝﹣a，
∵四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形，
∴∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，EF＝DG，EF∥DG，AC∥OD，∴∠NEF＝∠ODG，∠EMC＝∠DGO，
∵NF∥CG，
∴∠EMC＝∠EFN，
∴∠EFN＝∠DGO，
在△EFN和△DGO中，∠NEF=∠ODG，EF=DG,∠EFN=∠DGO，∴△EFN≌△DGO（ASA），
∴NE＝OD＝AC＝4，
∴AC﹣CE＝NE﹣CE，即AE＝NC＝﹣a，
∵∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90
°，
∴∠NEF+∠EFN＝90°，∠NEF+∠DEA＝90°，
∴∠EFN＝∠DEA，
∴△ENF∽△DAE，
∴
NE NF
AD AE
=，即
4
3
＝
2
1
4
a a
a
-
-
，
整理得：
3
4
a2+a＝0，
解得：a＝﹣
4
3
或0，
当a＝0时，点E与点A重合，
∴a＝0舍去，
∴AE＝NC＝﹣a＝
4
3
，
∴当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为
4
3
．
【点睛】
本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、二次函数的性质、一次函数解析式的求法、坐标与图形性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，属于中考压轴题型．
10．（1）2
1
1
4
y x
=-；（2）点P
37
(,)
216
-；（3）(222,222
M--+
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到AB=4，根据函数对称轴x=0，得到OA=OB=2，得到A、B坐标，代入函数解析式即可求解；
（2）首先求得直线OD解析式，然后设P（2
1
,1
4
t t-），得到PQ关于t的解析式，然后
求出顶点式即可求解； （3）设点21,
14M m m ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，然后求得直线CM 的解析式，得到EM 的表达式，然后根据CMN
CNE
MNE
S
S
S
=+即可求解．
【详解】
（1）∵AB =4OC ，且C （0，-1） ∴AB=4
∴OA=OB=2，即A 点坐标()2,0-，B 点坐标()2,0 代入A 点坐标得2021a =- 解得14
a =
∴G 的解析式为2
114
y x =- 故答案为2
114
y x =
-
（2）当1x =-时，34
y =-,即：点D 为（31,4--）
∴直线OD 为：34
y x = 设P （21,
14t t -），则Q 为（22141
,1334
t t --），则： 22214141325
()()33333212
PQ t t t t t =--=-++=--+
∴当3
2t =
时，PQ 取得最大值2512，此时点P 位37(,)216
- （3）设点21,
14M m m ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，则N ()214,414m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭
∵C 点坐标为(0,1)-
∴可设直线CM 为1y kx =-，带入M 点坐标得：1
4
k m =
∴直线CM 为1
14
y mx =
- 过点N 作NE y ∥轴交CM 于点E ，则E 点为()14,
414m m m ⎛⎫++- ⎪⎝
⎭
∴4EN m =-- ∵()()1
2
CMN
CNE MNE
C N N M S S
S
x x x x EN ⎡⎤=+=
-+-•⎣⎦ ∴
()()1
04=22
m m --- ∴2440m m +-=
解得：1222m =--，2222m =-+（舍去） ∴M (222,222--+ 【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数综合应用，是二次函数部分的压轴题，题目较难，应画出示意图，然后进行讨论分析．
11．（1）1；（2）①4b =-；②26c ≤<；（3）D 一定在线段AB 上，
5210
+=
CD 【解析】 【分析】
（1）根据题意顶点P （k ，h ）可将二次函数化为顶点式：()2
y a x k h =-+，又
4y k =+与抛物线交于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4，即可得出a 的值；
（2）①根据抛物线x=0和x=4时函数值相等，可得到顶点P 的横坐标，根据韦达定理结合（1）即可得到b 的值，
②根据（1）和（2）①即可得二次函数对称轴为x=2，利用点Q （0，2）关于对称轴的对称点R （4，2）可得QR=4，又QR 在直线y=2上，故令M 坐标（t ，2）（0≤t ＜2），代入二次函数即求得c 的取值范围；
（3）由c=-b-1代入抛物线方程即可化简，将抛物线绕原点逆时针旋转αα，且tanα=2，转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线l ，且tanα=2，可得到直线l 的解析式，最后联立
直线方程与抛物线方程运算求解． 【详解】
解：（1）根据题意可知1二次函数2
y ax bx c =++（a≠0）的顶点为P （k ，h ），
故二次函数顶点式为()2
y a x k h =-+，
又4y k =+与抛物线交于点A 、B ，且无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4， ∴a=1； 故答案为：a=1．
（2）①∵二次函数当0x =和4x =时的函数值相等
∴222
b b
x a =-
=-= ∴4b =-
故答案为：4b =-．
②将点Q 向右平移4个单位得点()4,2R 当2c =时，2
42y x x =-+ 令2y =，则2242x x =-+ 解得14x =，20x =
此时()0,2M ，()4,2N ，4MN QR == ∵4QM QN +=∵QM NR = ∴4QN NR QR +==
∴N 在线段QR 上，同理M 在线段QR 上 设(),2M m ，则02m ≤<，224m m c =-+
2242(2)6c m m m =-++=--+
∵10-<，对称轴为2m =，02m ≤< ∴c 随着m 的增大而增大 ∴26c ≤<
故答案为：26c ≤<．
（3）∵1c b =--∴2
1y x bx b =+--
将抛物线绕原点逆时针旋转α，且tan 2α=，转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线
l ，且tan 2α=，
∴l 的解析式为2y x =
2
21
y x y x bx b =⎧⎨=+--⎩∴2
(2)10x b x b +---= ∴2
2
2
4(2)448b ac b b b ∆=-=-++=+
∴22
b x -+±=
∴12,22b D b ⎛-+-++
⎝⎭
2224412444244
AB ac b b b b y k b a ---+-+=+=+==-++
124224AB D b y y
b b ⎛⎫-
+-=
-++-
++=
⎪⎝⎭
∵20b ≥ ∴1
2404410
444
D AB
b y y -+-+-=≥==>
∴点1D 始终在直线AB 上方
∵
2C b -+-⎝⎭
∴24224B
C
A b y y
b b ⎛⎫-+-=-+--++=
⎪⎝⎭
∴22
48416
44
AB C b b y y -+
+--+
+-==
)
2
216
4
-
+=
∵b
-<<2028b ≤<，
∴4≤< 设n ，4n ≤
<
∴2(2)16
4
AB C n y y --+-=
∵1
04
-
<，对称轴为2n =
∴当4n ≤<时，AB C y y -随着n 的增大而减小 ∴当4n =时，0AB C y y -= ∴当4n ≤<时，AB C y y > ∴区域S 的边界与l 的交点必有两个 ∵1D AB y y >
∴区域S 的边界与l 的交点D 一定在线段AB 上 ∴D AB y y =
∴2(2)16
4
D C C AB n y y y y --+-=-=
∴当22n =时，D C y y -有最大值122+ 此时122
D C x x +-=
由勾股定理得：()()
22
5210
C C
D D CD x x y y +=
-+-=
，
故答案为：5210
+=CD ． 【点睛】
本题考查二次函数一般式与顶点式、韦达定理的运用，以及根与系数的关系判断二次函数交点情况，正确理解相关知识点是解决本题的关键． 12．(1)证明见解析；（2）①215（3）2
1029
y x = 【解析】 【分析】
()1由圆内接四边形性质知ABC CDE ∠∠=，由AB AC =知ABC ACB ∠∠=，从而
得ADB ACB ABC CDE ∠∠∠∠===；
()2①由BAD DCE ∠∠=，ADB CDE ∠∠=可证
ADB ∽CDE.从而得
AD DB
CD DE
=； ②连接AO 并延长交BD 于点M ，连接CM ，证MAF ≌DAF 得MF DF =，据此知
BM CM CD 3===，MF DF 2==，求得22CF CD DF 5=-=定义可得答案；
()3证
ABD ∽AEB 得2AB AD AE.=⋅证ABD ∽CED 得BD CD AD DE.⋅=⋅从而
得2ABC BCD
111
S
S
AB AC sin BAC BD CD sin BDC x sin BAC 222
∠∠∠-=
⋅⋅-⋅⋅=，再由5
tan ABC tan CDE 2
∠∠==，可设BM 2a =，知AM 5a =，AB 29a =，由面积法可得BN 29=
，即20
sin BAC 29
∠=，据此得出答案．
【详解】 解：()
1四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，
ABC 180ADC CDE ∠∠∠∴=-=．
AB AC =，
ABC ACB ∠∠∴=．
ADB ACB ABC CDE ∠∠∠∠∴===；
()2①
四边形ABCD 内接于圆，
BAD 180BCD DCE ∠∠∠∴=-=．
又ADB CDE ∠∠=，
ADB ∴∽CDE ． AD DB CD DE
∴=， AD DE BD CD 7321∴⋅=⋅=⨯=；
②连接AO 并延长交BD 于点M ，连接CM ，
AM 平分BAC ∠， AM BC ∴⊥，
CAD CBD 90ACB MAF ∠∠∠∠∴==-=．
MAF ∴≌()DAF ASA ．
MF DF ∴=，即AC 是线段MD 的中垂线． BM CM CD 3∴===， MF DF 2∴==，
在Rt CDF 中，2222CF CD DF 325=--=，
BF tan ACB 5CF 5
∠∴=
== ()3BAD EAB ∠∠=，ADB ACB ABE ∠∠∠==，
ABD ∴∽AEB ，
AB AD AE AB
∴=，即2AB AD AE =⋅． CDE ADB ∠∠=，DCE BAD ∠∠=
ABD ∴∽CED ，
BD AD DE
CD ∴
=，即BD CD AD DE ⋅=⋅． ABC BCD 11S S AB AC sin BAC BD CD sin BDC 22∠∠-=⋅⋅-⋅⋅, ()1sin BAC AD AE AD DE 2
∠=⋅-⋅. 21x sin BAC 2
∠=， 又5tan ABC tan CDE 2
∠∠==， 如图2，设BM 2a =，则AM 5a =，AB 29a =
， 由面积法可得BN 29=，即20sin BAC 29
∠=， 22ABC BCD 12010S S x x 22929y ∴-==
⨯=． 【点睛】
本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、相似三角形和全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角函数的应用等知识点．。