高等几何复习题

《高等几何》练习题
一 、判断题
（ ）1、两个三角形的面积之比是仿射不变量。

（ ）2、变换群越大，它所对应的几何内容越丰富。

（ ）3、无穷远直线与二阶曲线没有交点。

（ ）4、一点的极线是其所有调和共轭点的轨迹。

（ ）5、三角形的三中线共点是仿射性质。

（ ）6、一直线的齐次线坐标唯一。

（ ）7、仿射变换把单位向量仍变为单位向量。

（ ）8、交比是射影不变量。

（ ）9、透视对应必是射影对应。

（ ）10、平面内不共线三点可以确定一条二阶曲线。

（ ）11、渐近线是二次曲线的自共轭直径。

二、填空题
1、 梯形的仿射图形是 。

2、 等边三角形的仿射图形是 。

3、 “点”与“ ”叫做平面上的对偶元素。

4、 设)8,1(),2
1,21(),2,1(C B A ---为共线三点，则=)(ABC 。

5、 已知点)1,0,1(),1,1,1(),1,1,1(=-==D B A 且2),(=CD AB ，则=C _________。

6、 四点)1,0,1(),3,1,3(),1,1,1(),1,1,1(4321P P P P --在同一直线上，则
=),(4321P P P P _________。

7、 无穷远直线的齐次方程为________________________________。

8、 012=++y x 上的无穷远点的坐标是 。

9、 直线]1,2,[i i -上的实点坐标为 。

10、 一点),,(321x x x x ≡在一直线],,[321u u u u ≡上的充要条件是
_________________。

11、 已知点A 的坐标)1,1,2(-及点P 的方程032321=++u u u ，则直线AP 的方
程为 。

12、 设二直线]3,1,2[],1,1,1[交点为A ，点P 的线坐标方程为032321=++u u u ，
则直线AP 方程为 。

13、 方程03=x 在射影坐标系下表示坐标三点形的第三边，而在仿射坐标系下它
表示___________________________。

14、 二阶曲线与二级曲线统称为__________________。

15、 射影几何的基本不变量是 。

16、 点)1,1(经过二次射影变换⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2
1'221'1232x x x x x x ρρ后所得的对应点的坐标是 。

17、 重叠的一维基本形的射影变换066'
'=++-λλλλ的自对应元素的参数 为 。

18、 由两个成射影对应的线束031=-x x λ与032=-x x μ)1(=+μλ所构成
的二阶曲线的方程为____________________________________。

19、
二次曲线0133221=++x x x x x x 的中心为__________________。

20、 点)1,2,1(P 关于二阶曲线06422
3312121=+++x x x x x x 的极线方程为____________________________________。

21、 通过二直线]1,3,1[和]1,5,1[-的交点且属于二级曲线0
24232221=-+u u u 的直线为____________________________________。

22、 抛物线01424222=+-++x y xy x 的焦点为
_________________________。

23、
在平面上，非恒等的射影变换的不共线的不变点至多有_____________个。

24、 二阶曲线03231232221=-+-x x x x x 的线坐标方程是
_____________________。

25、
二阶曲线042321=-x x x 的线坐标方程是_____________________。

26、
与有心二次曲线一直径平行的一组弦被________________________所平分。

27、
射影平面上二阶曲线共可分为三种类型，代表___________类曲线。

28、 直
线0321=++x x x 关于二阶曲线042632323121232221=---++x x x x x x x x x 的极点是_____________________。

29、 抛物线0142422
2=+-++x y xy x 的准线为_____ ________。

30、 点)0,1,1(-关于二阶曲线0248533231212
32221=-++++x x x x x x x x x 的极线方程是 。

31、 二阶曲线024222
33231222121=+++++x x x x x x x x x 过点)1,1,1(的直径方程为 。

三、解答题：
1、 已知命题：“若从二阶曲线上任一点向此二阶曲线上四定点连四直线，则此
四直线的交比为常数。

” 写出它的对偶命题。

2、 已知点P 不在二阶曲线Γ上，求作P 关于Γ的切线。

3、 已知命题：“一个完全四点形的四个顶点若在一条二阶曲线上，则这个完全
四点形的对边三点形的顶点是其对边的极点。

” 写出它的对偶命题。

4、 已知射影平面上的五点54321,,,,A A A A A （无三点共线），求作其中一点3
A 的切线 。

1A •
2A • 5A •
4A •
3A •
5、 作出下图的对偶图形。

p q
l m A
A p n n D
B C q m
B C
(1) (2)
6、设直线l 上的点)2(),1(),0(321P P P 经射影对应，顺次对应'l 上的点
)2(),0(),1('
3'2'1--P P P ，求射影对应式及l 上的无穷远点对应的点坐标。

7、设直线OX 与三点形ABC 的三边AB CA BC ,,分别交于''',,C B A 。

证明：),(),('''O C B A CX AB O = 。

A
B C
8、设B A ,在二阶曲线Γ上，
D C ,不在Γ上，BD AC ,分别交Γ于Q P ,；BC AD ,
分别交Γ于V U ,。

求证：UV PQ CD ,,共点。

9、求二维射影变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=-=3
21'321'221'12364x x x x x x x x x x ρρρ的不变点和不变直线。

10、求使三点)1,1(),1,1(),0,0(-变到三点)7,3(),5,2(),3,2(-的仿射变换。

11、已知二阶曲线05222:2
2=+-+--Γy x y xy x 。

（1）求Γ的中心坐标和渐近线方程；（2）求一对共轭直径，使其中一条平行于直线02=+-y x 。

12、证明：四边形各对对边中点的连线与两对角线中点的连线相交于一点。

（8分） A
G
B M F
F
N
C D
H
13、给定二阶曲线04102422=++-+y x y xy x
（1）证明它是双曲线，并求出中心； （2）求出它的主轴方程；
（3）求通过点)1,1(A 的直径方程及其共轭直径方程。

14、设ABC 三点形是二阶曲线的外切三点形，G F E ,,为切点，直线EG 与BC 交于H 。

求证：1),(-=HF BC 。

15、设'PP 是二阶曲线的直径，任何点Q 的切线与P 点的切线交于R ；Q P '交PR 于X 。

求证：RX PR =。

16、证明：四边形ABCD 的边DA CD BC AB ,,,上各有一点，依次是H G F E ,,,。

如果
FG EH BD ,,相交于一点M ，则HG EF AC ,,也相交于一点。

17、设D C B A ,,,是四个共线点，且),(),(PC AB DP AB =。

证明在D C B A →→,所决定的对合里P 是自对应点。

18、设B A ,为二定点，XY 为定直线，在XY 上任取两点Q P ,。

又AP 与BQ 交于L ，AQ 与BP 交于M 。

求证：LM 通过AB 上一定点。

• B
A •
X Y
19、二阶曲线Γ是由下列两个成射影对应的线束构成的：0
3321=+--x x x x λ
与0)4(22321'321=+-+-+x x x x x x λ且0'=-λλ。

（1）求二阶曲线Γ的方程；
（2）求二阶曲线Γ的渐近线；（3）求斜率为21的直径方程。

20、设C B A ,,是不同的共线点，且),,,,,(),,,,,(X R Q A C B R Q P C B A ∧，求证：X 与P 重合。

21、直线AB 与CD 交于U ，直线AC 与BD 交于V ，直线UV 分别交BC AD ,于 G F ,，直线BF 与AC 交于L 。

求证：三直线AU CF LG ,, 交于一点。