福建省华安一中、龙海二中2020届高三上学期第一次联考数学(文)试题 Word版含解析

华安一中､龙海二中2019-2020学年上学期第一次月考
高三文科数学试题
一､选择题
1.集合{
}
2
|20A x x x =--<，集合B 是函数(
)2
lg 1y x =-的定义域，则下列结论正确的是
（ ） A. A B =
B. A B
C. B A
D.
A B =∅
【答案】C 【解析】 【分析】
可解出集合A ，B ，然后进行子集、相等的判断，交集的运算即可． 【详解】
{}22|20=(1,2),{|10}(1,1)A x x x B x x =--<-=->=-，
A B ∴≠, B A ，A B B =,
故选：C
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的交集，子集的概念，属于容易题. 2.时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为（ ） A.
143
π B. 143
π-
C.
718
π D. 718
π-
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据分针每分钟转6°，求出度数，再根据角度和弧度的关系即可求出．
【详解】分针每分钟转6︒，则分针在8点到10点20分这段时间里转过度数为6(26020)840-︒⨯⨯+=-︒，
14
8401803
π
π∴-︒⨯
=-
︒
， 故选：B ．
【点睛】本题主要考查了任意角的概念和角度和弧度的转化，属于基础题．
3.在等差数列{}n a 中，15487a a a +==，
，则5a =（ ） A. 11 B. 10
C. 7
D. 3
【答案】B 【解析】
试题分析：依题意，有11148,37a a d a d ++=+=，解得1512,3,410a d a a d =-==+=. 考点：等差数列．
4.下列函数中，在区间()0,∞+上为增函数的是（ ）
A. ()2log 5y x =+
B. 13x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
C. y =
D.
1
y x x
=
- 【答案】A 【解析】 【分析】
根据基本初等函数的单调性逐项判断即可．
【详解】A 中，函数()2log 5y x =+可看作由2log y t =，5t x =+复合而成的函数， 而5t x =+递增，2log y t =递增，
()2log 5y x =+在(0,)+∞上递增； B 中，13x
y ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
的底数为13，1013<<，
∴函数在R 上递减，排除B ；
C 中，y =在(0,)+∞上递增，y =在(0,)+∞上递减，排除C ；
D 中，1y x x =
-，1
y x =在()0,∞+上递减，y x =-在()0,∞+上递减，故1y x x
=-在(0,)
+∞上递减，排除D ； 故选：A ．
【点睛】本题考查函数单调性的判断，属基础题，熟练掌握基本函数的单调性是解决本题的基础．
5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且39S =，30a =，则公差d =（ ） A. -3 B. 3
C. -2
D. 2
【答案】A 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】
39S =，30a =，
∴132
392
a d ⨯+
=，120a d +=， 则解得公差3d =-． 故选：A ．
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c .若2,30︒===a c B ，则ABC
∆的面积为（ ）
A.
12
B. 1
C.
2
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知利用三角形面积公式即可计算得解．
【详解】解：
2,30︒===a c B ，
11
sin 2sin3022ABC S ac B ∆∴==⨯︒=
． 故选：C ．
【点睛】本题主要考查了三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题． 7.设α角属于第二象限，且cos cos
2
2
α
α
=-，则
2
α
角属于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】C
【解析】 【分析】
由α是第二象限角，知2
α在第一象限或在第三象限，再由|cos |cos 22αα
=-，知cos 02α<，
由此能判断出角2
α
所在象限． 【详解】
α是第二象限角，
90360180360k k α∴︒+︒<<︒+︒，k Z ∈
45180901802
k k α
∴︒+︒<
<︒+︒k Z ∈，
当2,k n n =∈Z 时，
2α
在第一象限， 当21,k n n Z =+∈时，2
α
在第三象限，
∴2
α
在第一象限或在第三象限， |cos
|cos
2
2
α
α
=-，
cos
02
α
∴<
∴
2
α
角在第三象限． 故选：C ．
【点睛】本题考查角所在象限的判断，是基础题，比较简单．解题时要认真审题，注意熟练掌握基础的知识点．
8.对于任意实数x ，符号[]x 表示x 的整数部分，即[]
x 是不超过x 的最大整数，例如[]22=；
[]2.12=；则[][][][]3333log 1log 2log 3log 27+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+的值为（ ）
A. 42
B. 43
C. 44
D. 45
【答案】D 【解析】 【分析】
直接利用新定义，化简求解即可．
【详解】由题意可知：3[log 1]0=，3[log 3]1=，3[log 27]3= []33333[log 1][log 2][log 3][log 26log 27]+++⋯++
00111111222223=++++++++++++⋯+++，(6个1，18个2) 62183=+⨯+
45=．
故选：D ．
【点睛】本题考查新定义的应用，函数值的求法，考查计算能力，属于中档题． 9.若角θ的终边经过点34(,)55
-，则sin(
)cos()tan(2)2
π
θπθπθ++-+-=（ ）
A.
43
B. 43-
C.
34
D. 34
-
【答案】A 【解析】 由
题
知
4tan θ=-
3
．由诱导公式
()()44sin cos tan 2cos cos tan tan 233
πθπθπθθθθθ⎛⎫⎛⎫++-+-=--=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故本题答案选A ． 10.已知1sin cos ,4x x ⋅=-且34
x π
π<<，则sin cos x x +的值是（ ） A. 3
4-
B. 12
-
C. 22
-
D.
22
【答案】C 【解析】 试
题
分
析
：
因
34
x π
π<<,故,而
,故sin cos x x
+.应选C.
考点：同角的三角函数关系及运用.
11.已知:tan α，tan β是方程2830x x --=的两根，则()tan αβ+的值为（ ） A. 8 B. -3 C. -2 D. 2
【答案】D 【解析】 分析】
先由韦达定理求出tan tan αβ+，tan tan ββ⋅，再由两角和的正切公式即可计算出
()tan αβ+.
【详解】
方程2830x x --=的判别式△0>，
tan tan 8αβ∴+= tan tan 3αβ⋅=- tan tan 8
tan()21tan tan 13
αβαβαβ+∴+=
==-+
故选：D ．
【点睛】本题综合考查了一元二次方程根与系数的关系，两角和的正切公式，解题时要牢记公式，认真计算，属于容易题. 12.函数()2ln f x x x =-+的
图象在1x =处的切线方程为（ ） A. 10x y ++=
B. 10x y -+=
C. 210x y -+=
D.
210x y +-=
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出切点的坐标和切线的斜率，再写出切线的方程.
【详解】当x=1时，f(1)=-2+0=-2，所以切点为（1,-2）, 由题得11
()2,(1)211
f x k f x ''=-+
∴==-+=-， 所以切线方程为y+2=-1·(x-1),
即：10x y ++= 故选A
【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二､填空题 13.满足条件{}{}1,21,2,3A =的所有集合A 的个数是____个.
【答案】4
【解析】
【分析】
利用条件{1，2}{1
A=，2，3}，则说明A中必含所有元素3，然后进行讨论即可．
【详解】因为{1，2}{1
A=，2，3}，
所以3一定属于A，则满足条件的{3}
=
A或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，共有4个．故答案为：4
【点睛】本题主要考查集合关系的应用，利用并集关系确定集合A的元素．比较基础．
14.若数列｛n a｝的前n项和22
n
S n n
=-，则此数列的通项公式_______．
【答案】23
n
a n
=-
【解析】
数列的前n项和是不含常数项的关于实数n的二次函数，
据此可得，该数列为等差数列，
其通项公式为：123
n n n
a S S n
-
=-=- .
点睛：由S n求a n时，1
1
,1
,2
n
n n
S n
a
S S n
-
=
⎧
=⎨
-≥
⎩
，注意验证a1是否包含在后面a n的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n与S n的关系的数列题均可考虑上述公式．
15.如图，在单位圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，AB AC
⋅的取值范围为_____.
【答案】[]
0,2
【解析】
【分析】
由向量数量积的定义、余弦函数的定义可求.
【详解】由向量数量积的定义可知，21
||||cos ||2
AB AC AB AC BAC AB =∠=, 而0||2AB ≤≤， 所以21
||2
[0,2]AB AC AB =
∈ 故答案为：[]0,2
【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，余弦函数的定义，圆的性质，属于中档题. 16.已知数列{}n a 为正项等差数列，其前2020项和20201010S =，则22019
11a a +的最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】
数列{}n a 为正项等差数列，其前2020项和20201010S =，利用求和公式及其性质可得：19281a a a a +==+，再利用乘1法与基本不等式的性质即可得出．
【详解】数列{}n a 为正项等差数列，其前2020项和20201010S =，
∴
202102020()
10102
a a +=，
可得20121920201a a a a +==+，
∴
201922
222019
2019201922019220192019
11()(121
)22
4a a a a a a a a a a a a a =+=++++=+，
当且仅当201921
2
a a ==时取等号． 故答案为：4
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质、乘1法与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三､解答题
17.设等差数列{}n a 满足35a =，109a =- （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值 【答案】a n =11-2n,n=5时，S n 取得最大值 【解析】
试题分析：解：（1）由a n =a 1+（n-1）d 及a 3=5，a 10=-9得,a 1+9d=-9，a 1+2d=5,解得d=-2，a 1=9，,数列{a n }的通项公式为a n =11-2n,（2）由（1）知S n =na 1+
(1)
2
n n -d=10n-n 2．因为S n =-（n-5）2
+25．所以n=5时，S n 取得最大值．
考点：等差数列
点评：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．
18.已知定义域为R 的函数()122x x b
f x a
+-+=+是奇函数.
（1）求a ，b 的值；
（2）在（1）的条件下，解不等式()()2150f t f t ++-≤. 【答案】（1）1，2（2）4|3t t ⎧
⎫≥⎨⎬⎩⎭
【解析】 【分析】
（1）利用函数的奇偶性可得(0)0f =，且f （1）(1)f =--，由此求得a ，b 的值． （2）由题意根据()f x 在R 上为减函数，可得()()()2155f t f t f t +≤-=-+，由此求得它的解集．
【详解】（1）因为()f x 是R 上的奇函数， 所以()00f =，即
102b
a
-+=+，解得1b =， 从而有()121
2x x f x a
+-+=+.
又由()()11f f =--知11
21241a a
-+-+=-++，解得2a =.
（2）由（1）知()12111
22221
x x x
f x +-+=-+++=，易知()f x 在R 上为减函数， 又因为()f x 是奇函数 ∴()()2150f t f t ++-≤转化
()()()2155f t f t f t +≤-=-+
由函数为减函数得：215t t +≥-+， 解得4
3
≥
t 故所求不等式()()2150f t f t ++-≤的解集为:4|3t t ⎧⎫≥
⎨⎬⎩
⎭
. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性，属于基础题．
19.已知函数2()2cos cos f x x x x m =++在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值为3， （1）求常数m 的值； （2）求()f x 的单调增区间；
（3）将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的1
2
倍，再把所得图象向右平移
12
π
个单位，得到函数()y g x =，求函数()y g x =的解析式.
【答案】（1）3m =；（2）,,3
6π
πππ⎡
⎤
∈-+
∈⎢⎥⎣
⎦x k k k z ；（3）()2sin 446π⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
g x x 【解析】 【分析】
（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据函数在给定区间上的最小值求出参数的值；
（2）结合正弦函数性质计算可得； （3）根据三角函数的变换规则计算可得；
【详解】解：（1）因为2()2cos cos f x x x x m =++
()cos 212f x x x m ∴=+++
()2sin 216f x x m π⎛
⎫∴=+++ ⎪⎝
⎭
0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， 72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦
1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦ ()min 12132f x m ⎛⎫∴=⨯-++= ⎪⎝⎭
3m ∴=
（2）由（1）知()2sin 246f x x π⎛⎫=+
+ ⎪⎝⎭ 令222262k x k π
π
π
ππ-+≤+≤+，()k Z ∈
解得36k x k π
π
ππ-+≤≤+，()k Z ∈
即函数的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦
，()k Z ∈； （3）将函数()2sin 246f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 446y x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭， 再把2sin 446y x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π
个单位， 得到2sin 442sin 441266y x x πππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 所以()2sin 446g x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭； 【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质及三角函数的变换规则，属于中档题.
20.已知ABC ∆的内角A ､B ､C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =（1）若2b =，角60A =︒，求角B 的值；
（2）若3ABC S ∆=，cos 45B =
，求b ，c 的值. 【答案】（1）30（2）
39，53 【解析】
【分析】 （1）直接利用已知条件和正弦定理求出结果；
（2）利用三角形的面积公式和余弦定理求出结果.
【详解】（1）由正弦定理得1sin 2B =
，在ABC ∆中a b >， ∴A B >，
∴30B =︒；
（2）在ABC ∆中，
∵cos 45B =
， ∴3sin 5B =， 1323325ABC S c ∆=⋅⋅=得53c =. 由余弦定理得222132cos 3
b a
c ac B =+-=， ∴39b =. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理，属于中档题.
21.已知函数()ln k f x e x x
=+（其中e 是自然对数的底数，k 为正数） （1）若()f x 在0x 处取得极值，且0x 是()f x 的一个零点，求k 的值；
（2）若(1,)k e ∈，求()f x 在区间1[,1]e 上的最大值.
【答案】（1）1k =；（2）k
【解析】
【详解】（1）由已知得0()0f x '=，即
0,k x x ∴= 又0()0f x =即ln 0,1k e e k e
+=∴=
（2）22
()()k e x e k e f x x x x '-=-=， 11,1k k e e e <≤∴≤≤，由此得1(,)k x e e ∈时，()f x 单调递减；(,1)k x e
∈时()f x 单调递增，故max 1()(),(1)f x f f e ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭ 又1(),(1)f ek e f k e =-=，当,ek e k ->即
1e k e e <<-时max 1()()f x f ek e e ==- 当ek e k -≤即11
e k e <<-时，max ()(1)
f x f k ==． [选修4-4:坐标系与参数方程]
22.
已知圆的极坐标方程为：2cos 604πρθ⎛⎫--
+= ⎪⎝⎭
. （1）将极坐标方程化普通方程； （2）若点(,)P x y 在该圆上，求x y +的最大值和最小值.
【答案】（1）224460x y x y +--+=
（2）最大值为6，最小值为2
【解析】
【分析】
（1
）将2cos 604πρθ⎛
⎫--+= ⎪⎝⎭
先由两角差的余弦公式展开，再化为普通方程． （2
）由题可知圆的参数方程为22x y θθ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ （θ为参数），因为点(,)P x y 在该圆上，
所以()2,2P θθ+，所以可得42sin 4x y πθ⎛
⎫++ ⎪⎝+⎭
=，从而得出答案． 【详解】（1
）由圆的极坐标方程为：2cos 604πρθ⎛
⎫--+= ⎪⎝⎭
可得2
60ρθθ⎫-++=⎪⎪⎝⎭，即24cos 4sin 60ρρθρθ--+= 所以直角坐标方程为22
4460x y x y +--+=
（2）由（1）可知圆的方程为()()22
222x y -+-=
所以圆的参数方程为22x y θθ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ ，（θ为参数）
因为点(,)P x y
在该圆上，所以()
2,2P θθ
所以2242sin 4x y πθθθ+=⎛⎫+++=++ ⎪⎝
⎭ 因为sin 4πθ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
的最大值为1，最小值为1- 所以x y +的最大值为6，最小值为2
【点睛】极坐标与参数方程是高考的重要选修考点，学生应准确掌握极坐标方程与普通方程的互化，与圆锥曲线有关的最值问题可转化为三角函数求最值．
[选修4-5:不等式选讲]
23.
已知0,0a b >>，且2292a b +=
，若a b m +≤恒成立， （1）求m 的最小值；
（2）若21x x a b -+≥+对任意的,a b 恒成立，求实数x 的取值范围．
【答案】（1）3；（2）13x ≤-或53
x ≥
． 【解析】
试题分析：第一问结合柯西不等式，凑成相应的形式，从而求得结果，第二问注意向最值转换． 试题解析：（1）因为22222()(11)()a b a b ++≥+，所以3a b +≤，（当且仅当11a b =，即32{32
a b ==时取等号）
又因为a b m +≤恒成立，所以3m ≥．故m 的最小值为3．
（2）使21x x a b -+≥+恒成立，须且只须213x x -+≥．
∴
{
223
x
x x
≤
-+-≥
或
01
{
223
x
x x
<≤
-++≥
或
1
{
223
x
x x
>
-+≥
∴
1
3
x≤-或
5
3
x≥．
考点：柯西不等式，恒成立问题的转换．。