高考复习空间几何体的外接球内切球问题复习题(含答案)

空间几何体的外接球内切球问题
一、单选题（共19题；共38分）
1.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球半径为（）
A. 1
B. √3
2C. √2
2
D. 1
2
2.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）
A. 2
B. √3
C. √2
D. 1
3.已知球O的半径是R，A、B、C是球面上三点，且A与B、A与C、B与C的球面距离分别为
π2R,π
2
Rπ
3
R，则四面体OABC的体积为（）
A. √3
12
R3 B. √3
4
R3 C. √2
12
R3 D. √2
4
R3
4.已知A、B、C三点在球心为O，半径为3的球面上，且三棱锥O﹣ABC为正四面体，那么A、B两点间的球面距离为（）
A. π
3B. π
2
C. 2
3
π D. π
5.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 5
6.△ABC的三个顶点在一个半径为1的球面上，O为球心，G为△ABC的中心，且OG=√3
3
. 则△ABC的外接圆的面积为（）
A. π
B. 2π
C. 2π
3D. 3π
4
7.正方体的内切球和外接球的半径之比为（）
A. √3:3
B. √3:2
C. 2:√3
D. √3:1
8.三棱锥A-BCD的三条侧棱两两互相垂直，且AB=2，AD=√3，AC=1，则A,B两点在三棱锥的外接球的球面上的距离为（）
A. 2√2π
B. √2π
C. √2
2π D. √2
4
π
9.正六棱柱的底面边长为4,高为6,则它的外接球的表面积为（）
10.已知空间4个球，它们的半径均为2，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为( )
A. √6−2
B. √6−√2
C. √10−3
D. 2√2−2 11.已知直三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 的6个顶点都在球 O 的球面上，若 AB =3,AC =4,AB ⊥AC,AA 1=12 ，则球 O 的直径为（ ）
A. 3√172
B. 4√10
C. 13
D. 2√10 12.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的半径为（ ）
A. 34√3√6
B. √3√6
C. √3√6
D. √3√6
13.矩形 ABCD 中， AB =4 ， BC =3 ，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B −AC −D ，则四面体 ABCD 的外接球的体积是（ ）
A. 125π
3 B. 125π
6 C. 125π
9 D. 125π
12
14.已知四面体 ABCD 的外接球球心O 恰好在棱AD 上，且 AB =BC =√2 ， AC =2 ，DC= 2√3 ，则这个四面体的体积为（ ）
A. 23
B. 2√33
C. 4√33
D. 5√33
15.已知四棱锥 S −ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面 ABCD 是正方形且和球心 O 在同一平面内，若此四棱锥的最大体积为 18 ，则球 O 的表面积等于（ ）
A. 18π
B. 36π
C. 54π
D. 72π
16.已知长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中， AB =3，AD =4，AA 1=5， ,则长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 外接球的表面积为（ ）
A. 100 π
B. 75 π
C. 50 π
D. 25 π
17.三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC 且PA ＝2，△ABC 是边长为 √3 的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A. 4π
3 B. 4π C. 8π D. 20π
18.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥 P −ABC 为鳖臑， PA ⊥ 平面 ABC,PA =3,AB =4,AC =5 ，三棱锥 P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）
19.已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=1，PB=√3，PC=2√2，则这个三棱锥的外接球的体积为（）
A. 2√3π
B. 4√3π
C. 8√3π
D. 32√3π
二、填空题（共13题；共13分）
20.半径为R的球O放置在水平平面α上，点P位于球O的正上方，且到球O表面的最小距离为R，则从点P发出的光线在平面α上形成的球O的中心投影的面积等于________．
21.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是________
22.一个半径为5cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4cm，则截面圆面积为________cm2.
23.已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，AB=√3，CD=2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是________
24.若多面体的各个顶点都在同一球面上，则称这个多面体内接于球．如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，且AB=BC=2，AA1=2√2，则A、B两点之间的球面距离为________
25.已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥面BCD，△BCD为边长为2的正三角形，AB=2，则三棱锥的外接球体积为________．
26.一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为________．
27.已知S,A,B,C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AS=AB=1，BC=
√3，则球O的表面积为________．
28.已知三棱锥S−ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=4,SA=SB=SC=4，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离为________．
29.一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为________（只填写序号）.
30.如图，半球内有一内接正四棱锥S−ABCD，该四棱锥的体积为4√2
，则该半球的表面积为
3
________．
31.如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB= √3，∠ACB=60°，∠BCD=90°，
AB⊥CD，CD= 2√2，则该球的体积为________．
32.在三棱锥A−BCD中，AC=CD=√2,AB=AD=BD=BC=1,若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是________．
三、解答题（共2题；共10分）
33.已知球面上的三点A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13，求球心到平面ABC的距离．
34.有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
【考点】球面距离及相关计算，由三视图还原实物图，球内接多面体
【解析】【解答】由三视图可知，该四棱锥是底面为边长为 1 的正方形，一条长为 1 的 侧棱与底面垂直，将该棱锥补成棱长为 1 的正方体，则棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体外接球的直径就是
正方体的对角线，即 2R =√3,R =√32
， 故答案为：B.
【分析】结合三视图,将几何体还原为棱锥,将棱锥补成棱长为 1 的正方体，则棱锥的外接球就是正方体的外接球,由正方体外接球的直径就是正方体的对角线求解.
2.【答案】B
【考点】球面距离及相关计算
【解析】【解答】设两圆的圆心分别为 O 1,O 2 ，球心为 O ，公共弦为 AB ，其中点为 E ，则 OO 1EO 2 为矩形，于是对角线 O 1O 2=OE ，而 OE =√OA 2−AE 2=√22−12=√3 ， ∴O 1O 2=√3 ， 故答案为：B.
【分析】由球心O,弦端点A,弦中点E 构成直角三角形求解.
3.【答案】A
【考点】球面距离及相关计算
【解析】【解答】解：球心O 与A ，B ，C 三点构成三棱锥O ﹣ABC ，如图所示，
已知A 与B 、A 与C 、B 与C 的球面距离分别为π2R ,π2R π3R ， OA=OB=OC=R ，
∴∠AOB=AB ^
OA =π2
=90°， ∴同样可得∠AOB=∠AOC=90°，∠BOC=60°，
由此可得AO ⊥面BOC ．
∵S △BOC =12R ×√32R =√34
R 2． ∴由V O ﹣ABC =V A ﹣BOC =13×√34R 2×R=√3
12R 3 ． 故选A ．
【分析】根据题意可知：球心O与A，B，C三点构成三棱锥O﹣ABC，且OA=OB=OC=R，
∠AOB=∠AOC=90°，∠BOC=60°，故AO⊥面BOC．所以此题可以A为顶点根据体积公式求得三棱锥O﹣ABC的体积．
4.【答案】D
【考点】球面距离及相关计算
【解析】【解答】解：作出图形，
∵几何体O﹣ABC为正四面体，
∴球心角∠AOB=π
3
∴A，B两点的球面距离=π
×3=π，
3
故选：D．
【分析】欲求A，B两点的球面距离，先求出A、B两点的球心角∠AOB，再利用球面距离的定义即可求出．
5.【答案】B
【考点】球面距离及相关计算
【解析】【解答】解：由题意画轴截面图，
截面的面积为5π，半径为√5，
截面的面积为8π的圆的半径是2√2，
设球心到大截面圆的距离为d，
球的半径为r，则5+（d+1）2=8+d2，
∴d=1，∴r=3
故选B
【分析】画出图形，求出两个截面圆的半径，即可解答本题．
6.【答案】C
【考点】球面距离及相关计算
【解析】【解答】先确定△ABC 的外接圆的半径，再求△ABC 的外接圆的面积．【解答】设△ABC 的外接
圆的半径为r ，则∵O 为球心，G 为三角形ABC 的中心，且OG=√33 ，球的半径为1, R=∴△ABC 的外接圆的面积为π×(√63)×(√63)=2π3
,故选C. 7.【答案】A 【考点】球面距离及相关计算
【解析】【解答】设正方体的棱长为a ，则它的内切球的半径为， 它的外接球的半径为， 所以它的内切球和外接球的半径之比为故选A.
【分析】解决此类问题，要注意到正方体的内切球是与正方体的面相切，而外接球的直径是正方体的体对角线.
8.【答案】C
【考点】球面距离及相关计算
【解析】【解答】
如图长方体的对角线就是球的直径：， OA=OB=， ∠AOB=， 则A 、B 两
点在三棱锥的外接球的球面上的距离为：，故选C．
【分析】对于球的内接体问题，球面距离问题，考查学生空间想象能力，是基础题
9.【答案】C
【考点】球面距离及相关计算，棱柱的结构特征
【解析】【解答】如图，正六棱柱的外接球的直径是正六棱柱体对角线FH的长，
∵侧棱垂直于底面，∴FG⊥GH；
在中，由勾股定理得：，
∴，即；
∴它的外接球的表面积为100π．故选C．
10.【答案】A
【考点】球面距离及相关计算
【解析】【解答】以此个球的球心为顶点，可以构成一个边长为的正四面体，则小球的球心到正四面体的各顶点距离相等为（为小球半径）,如图，其中为小球球心，所以
，解得，，选A.
11.【答案】C
【考点】球内接多面体
【解析】【解答】因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，
所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，
△ABC的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC，其中点是球心，
即侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是侧面B1BCC1的对角线的长，
因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=13，
所以球的直径为：13．
故答案为：C。

【分析】由三棱柱的结构特征,得到上下底面的中心连线垂直底面ABC，其中点是球心,找到了球心,再求半径,直径.
12.【答案】B
【考点】球内接多面体
【解析】【解答】由三视图可知，该几何体是如下图所示的B1−AED1，设F为AB1的中点，通过计算得D1F=√6, EF=√3,D1E=3，所以EF⊥D1E，而在等腰三角形EAB1中EF⊥AB1，故
EF⊥平面AB1D1，所以V E−AB
1D1=1
3
⋅√3
4
⋅(2√2)2⋅√3=2.设内切球的半径为r，则1
3
(S AB
1D1
+
S AEB
1+S AED
1
+S B
1D1E
)⋅r=2，即1
3
(2√3+√6+3+3)r=2，故r=
6+2√3+√6
. 故答案为：B
【分析】根据题意由三视图可知，该几何体是三棱锥B1− A E D1，结合已知条件利用勾股定理即可计算出E F ⊥ D1 E，再由线面垂直的判定定理即可得证 E F ⊥平面 A B1 D1，进而求出高的值再根据等体积法分解三角形的面积，代入数值即可求出球的半径。

13.【答案】B
【考点】球的体积和表面积，球内接多面体
【解析】【解答】由题意知，球心到四个顶点的距离相等，
∴球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半为5
2
V=4
3
π(
5
2
)3=
125π
6
故答案为：B
【分析】由题意知，球心到四个顶点的距离相等，则球心在对角线 A C 上，且其半径为 A C 长度的一半,再求体积.
14.【答案】B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，球内接多面体
【解析】【解答】∵AB=BC=√2，AC=2，
∴AB2+BC2=AC2，
∴AB⊥BC，
∴△ABC外接圆的直径为AC,球心O′为AC的中点
∵球心O恰好在侧棱DA上,
∴OO'⊥面ABC，又外接球球心O恰好在棱AD上，所以O为AD中点，所以AD//BC. 即BC⊥面ABC，DC= 2√3，
个四面体的体积为1
3S△ABC⋅DC=1
3
×1
2
×√2×√2×2√3=2√3
3
.
故答案为：B.
【分析】由数据得到AB⊥BC,则直角△ABC外接圆的直径为AC,球心O′为AC的中点,得到BC ⊥面 A B C ,再由体积公式求体积.
15.【答案】B
【考点】球的体积和表面积，球内接多面体
【解析】【解答】当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，设球的半径为R，因为底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，所以正四棱锥的底面边长为√2R，高为R，所以V=
1 3Sℎ=1
3
×(√2R)2×R=2
3
R3=18⇒R=3，所以球的表面积为S=4πR2=4π×32=36π.
故答案为:B．
【分析】由于底面 A B C D 是正方形且和球心O 在同一平面内,则ABCD为球的大圆的内接正方形,则当顶点与球心连线垂直于底面时,体积达到最大,此时高中R.由体积最大值得为18,得到关于半径的方程,求半径再求表面积.
16.【答案】C
【考点】球的体积和表面积，球内接多面体
【解析】【解答】∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，
∴长方体的对角线AC
1
=√AB2+AD2+AA12=√32+42+52=5√2，
∵长方体ABCD−A1B1C1D1的各顶点都在同一球面上，∴球的一条直径为AC
1
=5√2，
可得半径R=5√2
2，因此，该球的表面积为S=4πR2=4π×（5√2
2
）
2
=50π
故答案为：C
【分析】长方体的外接球直径就是长方体的对角线,求出半径,再求球表面积.
17.【答案】C
【考点】球的体积和表面积，球内接多面体
【解析】【解答】设外接球半径为R，则2=√R2−1+√R2−1∴R2=2,S=4πR2=8π ,
故答案为：C
【分析】由三棱锥的外接球结合三棱锥的结构特征,得到关于球半径R的方程,求解得到R的值,再求表面积.
18.【答案】C
【考点】球的体积和表面积，球内接多面体
【解析】【解答】由题意，PA⊥面ABC，则△PAC,△PAB为直角三角形，PA=3,AB=4，所以PB=5，又△ABC 是直角三角形，所以∠ABC=90°,AB=4，AC=5所以BC=3,因为△PBC为直角三角形，经分析只能∠PBC= 90o，故PC=√PB2+BC2=√25+9=√34，三棱锥P−ABC的外接球的圆心为PC的中点，所以2R=√34则球O的表面积为4πR2=34π.
故答案为：C.
【分析】球的表面积公式为：S=4πR2.
19.【答案】B
【考点】球内接多面体
【解析】【解答】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它
扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：√1+3+8=2√3
所以球的直径是2√3，半径为√3，球的的体积：43×π×(√3)3=4√3π．故答案为：B．
【分析】根据题意可知它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长即为球的直径，把数值代入到球的条件公式求出结果。

二、填空题
20.【答案】3πR2
【考点】球面距离及相关计算，旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】【解答】轴截面如图1所示，MN=NT=TP=√3R，中心投影的面积为3πR2．
故答案为：3πR2
【分析】问题实质上是圆锥的内切球,由其结构特征求中心投影的面积.
21.【答案】√3
4
【考点】球面距离及相关计算，棱锥的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，
所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，2
3×√3
2
a=1，a=
√3，该正三棱锥的体积：1
3×√3
4
×(√3)2×1=√3
4
．【分析】三棱锥的体积公式为：V=1
3
aℎ，其中h
为底高，a为底面面积。

22.【答案】9π
【考点】球面距离及相关计算
【解析】【解答】由题球的半径，截面圆的半径，球心到截面圆的距离满足勾股定理，∴截面圆半径r=√52−42=3，则截面圆面积为π×32=9π
即答案为9π
【分析】根据球面距离及相关计算，要求截面圆面积就要先算出半径，球半径、截面圆半径、球心到截面圆的距满足勾股定理。

最后根据圆面积公式求解。

23.【答案】2π
3
【考点】球面距离及相关计算
【解析】【解答】球心到四个顶点距离相等，故球心O在CD中点，则OA=OB=OC=OD=1，
再由AB=√3，在△A0B中，利用余弦定理cos∠AOB=
则∠AOB=2π
3，则弧AB=2π
3
•1=．
故答案为：2π
3
．
【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为CD的中点，且OA=OB=OC=OD，进而在△A0B中，利用余弦定理求得cos∠AOB的值，则∠AOB可求，进而根据弧长的计算方法求得答案．
24.【答案】2π
3
【考点】球面距离及相关计算
【解析】【解答】解：由题意可得：长方体ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，
所以正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD边长为2，高AA1=2√2，它的八个顶点都在同一球面上，则正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的对角线长为球的直径，中点O为球心．
所以正四棱柱对角线AC1=4，
则球的半径为2．
在△AOB中根据余弦定理可得∠AOB=π
3
；
则A，B两点的球面距离为π
3·2=2π
3
故答案为：2π
3
．
【分析】已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD边长为2，高AA1=2√2，它的八个顶点都在同一球面上，那么，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的对角线长为球的直径，中点O为球心，根据球面距离的定义，应先算出球面两点对球心的张角，再乘以球的半径即可．
25.【答案】28
27
√21π
【考点】球的体积和表面积，球内接多面体
【解析】【解答】解：根据已知中底面△BCD是边长为2的正三角形，AB⊥面BCD，可得此三棱锥外接球，即为以△BCD为底面以AB为高的正三棱柱的外接球
∵△BCD是边长为2的正三角形，
∴△BCD的外接圆半径r= 2√3
3
，球心到△BCD的外接圆圆心的距离d=1
故球的半径R= √4
3+1= √21
3
，
∴三棱锥的外接球体积为4
3π⋅(√21
3
)3= 28
27
√21π．
故答案为：28
27
√21π．
【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△BCD为底面以AB为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，可得球的半径R，即可求出三棱锥的外接球体积．
26.【答案】4√3π
【考点】球内接多面体
【解析】【解答】设该长方体底面边长为x米，由题意知其高是：24−8x
4
=6−2x，（0<x<3），则长方体的体积V(x)=x2(6−2x)，（0<x<3），V′(x)=12x−6x2=6x(2−x)，由V′(x)=0，得x=2，且当0<x<2时，V′(x)>0，V(x)单调递增；当2<x<3时，
V′(x)<0，V(x)单调递减，∴体积函数V(x)在x=2处取得唯一的极大值，即为最大值，此时长方体的高为6−2x=2，∴其外接球的直径2R=√22×3=2√3，∴R=√3，∴其外接球的体积
V=4πR3
3
=4√3π，故答案为4√3π.【分析】根据题意求出关于长方体底面边长为x的长方体的体积代数式，对该式子求导通过对导函数正负的讨论得出原函数的增减性以及极值，进而求出外接球的半径以及外接球的体积的值。

27.【答案】5π
【考点】球的体积和表面积，球内接多面体
【解析】【解答】将四面体S−ABC补成一个长方体,长宽高分别为1,1,√3 ,因此球心O为长方体对角线中点,直径为对角线长√1+1+3=√5 , 从而球O的表面积为π(√5)2=5π.故答案为:5π
【分析】将四面体S − A B C 补成一个长方体,则其外接球就是四面体的外接球,直径就是长方体的对角线,求出直径,再求表面积.
28.【答案】2√3
3
【考点】球内接多面体
【解析】【解答】∵三棱锥S−ABC中SA=SB=SC，
∴顶点S在底面ABC上的射影H为ΔABC的外心，
又ΔABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴点H为AB的中点．
∴S H⊥平面ABC．
如上图，设点O为三棱锥S−ABC外接球的球心，则OH的长即为外接球的球心到平面ABC的距离．
设球半径为R，则OB=R,OH=SH−SO=SH−R．
由题意得，SH=√SB2−BH2=2√3,BH=1
2
AB=2，
在RtΔOHB中，有OB2=OH2+HB2，即R2=(2√3−R)2+22，解得R=4√3
3
，
∴OH=2√3−4√3
3=2√3
3
，
即三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离为2√3
3
．
故答案为：2√3
3
【分析】由球半径,球心到平面ABC的距离,三角形ABC的外接圆半径构成直角三角形求出球心到平面 A B
C 的距离.
29.【答案】①②③
【考点】球内接多面体
【解析】【解答】当截面与正方体的某一面平行时，可得①，将截面旋转可得②，继续旋转,过正方体两顶点时可得③，即正方体的对角面，不可能得④.故答案为:①②③.
【分析】考虑过球心的截面的不同位置,得到截面的可能图形.
30.【答案】6π
【考点】球的体积和表面积，球内接多面体
【解析】【解答】设所给半球的半径为R，则四棱锥的高ℎ=R，则AB=BC=CD=DA=√2R，
所以4√2
3=1
3
(√2R)2R⇒R=√2，所以半球的表面积为2πR2+πR2=6π.故答案为:6 π .
【分析】找到其中直角三角形,由勾股定理求得球的半径,再求表面积.
31.【答案】4√3π
【考点】球的体积和表面积，球内接多面体
【解析】【解答】以△ABC所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为1
2⋅√3
sin60°
=1．
依题意得CD⊥平面ABC，故球心到截面的距离为1
2
CD=√2，则球的半径为√12+(√2)2=√3，所
以球的体积为4
3
⋅π⋅(√3)3=4√3π．
答案：4√3π
【分析】根据题意利用正弦定理求出截面圆的半径的值，再结合线面垂直的性质得出球心到截面的距离为CD，借助勾股定理即可求出半径的值，并把数值代入到球的体积公式求出结果即可。

32.【答案】7
3
π
【考点】球内接多面体
【解析】【解答】
由已知可得BC⊥AB，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD
设三棱锥外接球的球心为O，正三角形ABD的中心为O1，则OO1⊥平面ABD，
连接O1B，O O1，OC，在直角梯形O1B CO中，有O1B=√3
3
，BC=1，OC=OB=R，
可得：R2=7
12，故所求球的表面积为7
3
π.
故答案为：7
3
π
【分析】根据题意结合已知条件可得证BC ⊥平面ABD再由球内接正三角形的性质即可得证O O1⊥平面ABD利用直角梯形的几何关系求出球的半径进而求称呼球的表面积。

三、解答题
33.【答案】解：∵62+82=102，∴△ABC为Rt△．
∵球心O在平面ABC内的射影M是截面圆的圆心，
∴M是AC的中点且OM⊥AC．
在Rt△OAM中，OM=√OA2−AM2=12．
∴球心到平面ABC的距离为12．
【考点】球面距离及相关计算
【解析】【分析】先确定△ABC的形状为Rt△，然后找出球心到平面ABC的距离，求解即可．
34.【答案】解：设正方体的棱长为a，三个球的半径依次为r1,r2,r3，表面积依次为S1,S2,S3．①正方
体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，则有2r1＝a，r1=a
2
，所以S1=4π
r12=πa2．
a，所以S2=4πr22=2π
②球与正方体的各棱的切点为每条棱的中点，则有2r2＝√2a，r2=√2
2
a2．
a，所以S3=4πr32=3πa2．
③正方体的各个顶点在球面上，则有2r3＝√3a，r3=√3
2
综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3
【考点】球的体积和表面积，球内接多面体
【解析】【分析】分析一个球与正方体的关系,得到三个半径与棱长的关系,从而求得其表面活性剂积的比.。