澄城县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

澄城县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，则m 的值为（ ）
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
2． 设,,a b c 分别是ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ++=与
sin sin 0bx B y C -+=的位置关系是（ ）
A ．平行
B ． 重合
C ． 垂直
D ．相交但不垂直 3． 在ABC ∆中，2
2
tan sin tan sin A B B A =，那么ABC ∆一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
4． 若函数是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，2）
B ．
C ．（0，2）
D ．
5． 已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为
，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 已知x ＞1，则函数的最小值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
7． 已知a 为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（ ）
A ．a ＞0
B ．a ＜0
C ．a ＞e
D ．a ＜e
8． 已知圆C 方程为2
2
2x y +=，过点(1,1)P -与圆C 相切的直线方程为（ ）
A ．20x y -+=
B ．10x y +-=
C ．10x y -+=
D ．20x y ++= 9． 已知函数f （x ）=lg （1﹣x ）的值域为（﹣∞，1]，则函数f （x ）的定义域为（ ） A ．[﹣9，+∞） B ．[0，+∞） C ．（﹣9，1）
D ．[﹣9，1）
10．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，，，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ） A ．
725
B ．725- C. 725± D ．2425
11．在等比数列{a n }中，已知a 1=3，公比q=2，则a 2和a 8的等比中项为（ ） 则几何体的体积为（ ）
34
意在考查学生空间想象能力和计算能．如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由 块木块堆成．
14．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．
①若AC=BD ，则四边形EFGH 是 ； ②若AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是 ．
15．S n =++…+= ．
16．已知条件p ：{x||x ﹣a|＜3}，条件q ：{x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ．
17．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，则S 6= ．
18．若6()mx y +展开式中33x y 的系数为160-，则m =__________．
【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
已知圆M 与圆N ：2
22)35()35(r y x =++-关于直线x y =对称，且点)3
5,31(-D 在圆M 上.
（1）判断圆M 与圆N 的位置关系；
（2）设P 为圆M 上任意一点，)35,1(-A ，)3
5,1(B ，B A P 、、三点不共线，PG 为APB ∠的平分线，且交
AB 于G . 求证：PBG ∆与APG ∆的面积之比为定值.
20．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1)cos 2cos a B b A c -=， （Ⅰ）求
tan tan A
B
的值；
（Ⅱ）若a =4
B π
=
，求ABC ∆的面积．
21．【海安县2018届高三上学期第一次学业质量测试】已知函数()()
2x
f x x ax a e =++，其中a R ∈，e 是
自然对数的底数.
（1）当1a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调减区间；
（3）若()4f x ≤在[]
4,0-恒成立，求a 的取值范围.
22．已知函数2(x)1ax f x =
+是定义在（-1，1）上的函数, 12
()25
f =
（1）求a 的值并判断函数(x)f 的奇偶性
（2）用定义法证明函数(x)f 在（-1，1）上是增函数；
23．设集合{}
()(
){
}
2
2
2
|320,|2150A x x x B x x a x a =-+==+-+-=.
（1）若{}2A B =,求实数的值；
（2）A B A =,求实数的取值范围.1111]
24．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a
（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．
澄城县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：若果树前n 年的总产量S 与n 在图中对应P （S ，n ）点 则前n 年的年平均产量即为直线OP 的斜率 由图易得当n=9时，直线OP 的斜率最大 即前9年的年平均产量最高， 故选C
2． 【答案】C 【解析】
试题分析：由直线sin 0A x ay c ++=与sin sin 0bx B y C -+=，
则sin (sin )2sin sin 2sin sin 0A b a B R A B R A B ⋅+⋅-=-=，所以两直线是垂直的，故选C. 1 考点：两条直线的位置关系. 3． 【答案】D 【解析】
试题分析：在ABC ∆中，2
2
tan sin tan sin A B B A =，化简得
22sin sin sin sin cos cos A B
B A A B
=，解得 sin sin sin cos sin cos cos cos B A
A A
B B A B =⇒=，即s
i n 2s i n 2A B =，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或
2
A B π
+=
，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D ．
考点：三角形形状的判定．
【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出sin 2sin 2A B =，从而得到A B =或2
A B π
+=是试
题的一个难点，属于中档试题． 4． 【答案】B
【解析】解：∵函数
是R 上的单调减函数，
∴
∴
故选B
【点评】本题主要考查分段函数的单调性问题，要注意不连续的情况．
5．【答案】A
【解析】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，
∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）
由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，
得=，设b=4t，a=3t，则c==5t（t＞0）
∴该双曲线的离心率是e==．
故选A．
【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．
6．【答案】B
【解析】解：∵x＞1∴x﹣1＞0
由基本不等式可得，
当且仅当即x﹣1=1时，x=2时取等号“=”
故选B
7．【答案】C
【解析】解：由积分运算法则，得
=lnx=lne﹣ln1=1
因此，不等式即即a＞1，对应的集合是（1，+∞）
将此范围与各个选项加以比较，只有C项对应集合（e，+∞）是（1，+∞）的子集
∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a＞e
故选：C 【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．
8． 【答案】A 【解析】
试题分析：圆心(0,0),C r =，设切线斜率为，则切线方程为1(1),10y k x kx y k -=+∴-++=
，由
,1d r k =∴=，所以切线方程为20x y -+=，故选A.
考点：直线与圆的位置关系．
9． 【答案】D
【解析】解：函数f （x ）=lg （1﹣x ）在（﹣∞，1）上递减， 由于函数的值域为（﹣∞，1]， 则lg （1﹣x ）≤1， 则有0＜1﹣x ≤10， 解得，﹣9≤x ＜1． 则定义域为[﹣9，1）， 故选D ．
【点评】本题考查函数的值域和定义域问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题．
10．【答案】A
【解析】
考
点：正弦定理及二倍角公式.
【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如θθθθθ2222
sin cos 2cos ,1cos sin -==+,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定
理
R C
c
B b A 2sin sin sin a ===，余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， 实现边与角的互相转化.
11．【答案】B
【解析】解：∵在等比数列{a n}中，a1=3，公比q=2，
∴a2=3×2=6，
=384，
∴a
和a8的等比中项为=±48．
2
故选：B．
12．【答案】D
【解析】
二、填空题
13．【答案】4
【解析】解：由三视图可以看出此几何体由两排两列，前排有一个方块，后排左面一列有两个木块右面一列有一个，
故后排有三个，故此几何体共有4个木块组成．
故答案为：4．
14．【答案】
菱形；
矩形．
【解析】解：如图所示：①∵EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵AC=BD
∴EF=FG
∴四边形EFGH是菱形．
②由①知四边形EFGH是平行四边形
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG
∴四边形EFGH是矩形．
故答案为：菱形，矩形
【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，主要涉及了线段的中点，中位线定理，构成平面图形，研究平面图形的形状，是常考类型，属基础题．
15．【答案】
【解析】解：∵==（﹣），
∴S n=++…+
=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣）
=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．
16．【答案】[0，2]．
【解析】解：命题p：||x﹣a|＜3，解得a﹣3＜x＜a+3，即p=（a﹣3，a+3）；
命题q：x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，即q=（﹣1，3）．
∵q是p的充分不必要条件，
∴q ⊊p ，
∴
，
解得0≤a ≤2， 则实数a 的取值范围是[0，2]．
故答案为：[0，2]．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法、充分必要条件的判定与应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
17．【答案】63
【解析】解：解方程x 2﹣5x+4=0，得x 1=1，x 2=4．
因为数列{a n }是递增数列，且a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根， 所以a 1=1，a 3=4．
设等比数列{a n }的公比为q ，则，所以q=2．
则
．
故答案为63．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础的计算题．
18．【答案】2-
【解析】由题意，得33
6160C m =-，即3
8m =-，所以2m =-．
三、解答题
19．【答案】（1）圆与圆相离；（2）定值为2. 【解析】
试题分析：（1）若两圆关于直线对称，则圆心关于直线对称，并且两圆的半径相等，可先求得圆M 的圆心，
DM r =,然后根据圆心距MN 与半径和比较大小，从而判断圆与圆的位置关系；（2）因为点G 到AP 和BP 的距离相等，所以两个三角形的面积比值PA
PB S S APG PBG =
∆∆,根据点P 在圆M 上，代入两点间距离公式求PB 和PA ,最后得到其比值.
试题解析：（1） ∵圆N 的圆心)35,35
(-N 关于直线x y =的对称点为)3
5,35(-M ， ∴9
16)3
4(||2
2
2
=
-==MD r ，
∴圆M 的方程为9
16
)35()35(22=
-++y x .
∵3
8
23210)310()310(||22=>=+=r MN ，∴圆M 与圆N 相离
.
考点：1.圆与圆的位置关系；2.点与圆的位置关系.1 20．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由1)cos 2cos a B b A c -=及正弦定理得
1)sin cos 2sin cos sin sin cos +cos sin A B B A C A B A B -==， （3分）
cos 3sin cos A B B A =
，∴
tan tan A
B
=6分）
（Ⅱ）tan A B ==3A π=
，sin 42sin sin 3
a B
b A ππ==
=， （8分）
sin sin()C A B =+=
， （10分） ∴ABC ∆
的面积为111
sin 2(3222
ab C ==（12分） 21．【答案】（1）210x y -+=（2）当2a =时，()f x 无单调减区间；当2a <时，()f x 的单调减区间
是()2,a --；当2a >时，()f x 的单调减区间是(),2a --.（3）2
44,4e ⎡⎤-⎣⎦
【解析】试题分析：（1）先对函数解析式进行求导，再借助导数的几何意义求出切线的斜率，运用点斜式求出切线方程；（2）先对函数的解析式进行求导，然后借助导函数的值的符号与函数单调性之间的关系进行分
类分析探求；（3）先不等式()4f x ≤进行等价转化，然后运用导数知识及分类整合的数学思想探求函数的极值与最值，进而分析推证不等式的成立求出参数的取值范围。

（2） 因为()()()()2
'222x
x
f x x a x a e x a x e ⎡⎤=+++=++⎣⎦，
当2a =时，()()2
'20x
f x x e =+≥，所以()f x 无单调减区间.
当2a ->-即2a <时，列表如下：
所以()f x 的单调减区间是()2,a --.
当2a -<-即2a >时，()()()'2x
f x x x a e =++，列表如下：
所以()f x 的单调减区间是(),2a --.
综上，当2a =时，()f x 无单调减区间；
当2a <时，()f x 的单调减区间是()2,a --； 当2a >时，()f x 的单调减区间是(),2a --.
（3）()()()()2'222x x
f x x a x a e x a x e ⎡⎤=+++=++⎣⎦
. 当2a =时，由（2）可得，()f x 为R 上单调增函数，
所以()f x 在区间[]
4,0-上的最大值()024f =≤，符合题意. 当2a <时，由（2）可得，要使()4f x ≤在区间[]
4,0-上恒成立，
只需()04f a =≤，()()2
244f a e
--=-≤，解得2442e a -≤<.
当24a <≤时，可得()4a a
f a e
-=
≤，()04f a =≤. 设()a a g a e =，则()1'a a
g a e
-=，列表如下：
所以()()max
114g a g e ⎡⎤==
<⎣⎦
，可得4a a
e
≤恒成立，所以24a <≤. 当4a >时，可得()04f a =≤，无解.
综上，a 的取值范围是2
44,4e ⎡⎤-⎣⎦.
22．【答案】（1）1a =，()f x 为奇函数；（2）详见解析。

【解析】
试题分析：（1）11222
125514a f a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭+，所以1a =，则函数()2
1x f x x =+，函数()f x 的定义域为()1,1-，关于原点对称，又()()
()22
11x x
f x f x x x --==-=-++-，所以函数()f x 为奇函数；（2）设12,x x 是区间()1,1-上两个不等是实数，且12x x <，则210x x x ∆=->，()()21
2122
2111x x y f x f x x x ∆=-=
-=++
()()
()()
()()()()
()()()()
22211221121221122222222
1
2
12
1
111111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-+---=
=++++++，因为
()11,1x ∈-，()21,1x ∈-，
且12x x <，所以1211x x -<<，则1210x x ->，所以()()()()
2112222
1
10
11x x x x x x -->++，即0y ∆>，所以函数()f x 在
区间()1,1-上为增函数。

试题解析：（1）12225
5
f a ⎛⎫== ⎪
⎝⎭
所以=1a ， 定义域为()1,1-,关于原点对称，且()()
()2
2
11x x
f x f x x
x --=
=-
=-++-,所以()f x 为奇函数； （2）设12,x x 是区间()1,1-上两个不等是实数，且12x x <，则210x x x ∆=->
()()21
21222111x x y f x f x x x ∆=-=-=++()()()()()()()()
22211221122222
21211111111x x x x x x x x x x x x +-+--=++++
因为()11,1x ∈-，()21,1x ∈-，且12x x <， 所以1211x x -<<，则1210x x ->，所以()()()()
2112222
1
10
11x x x x x x -->++，
即0y ∆>，
所以函数()f x 在区间()1,1-上为增函数。

考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性。

23．【答案】（1）1a =或5a =-；（2）3a >． 【解析】
（2）{}{}1,2,1,2A A B == .
①()()
22
,2150B x a x a =∅+-+-=无实根,0∆<, 解得3a >; ② B 中只含有一个元素，()()
22
2150x a x a +-+-=仅有一个实根,
{}{}0,3,2,2,1,2a B A B ∆===-=-故舍去;
③B 中只含有两个元素，使 ()()
22
2150x a x a +-+-= 两个实根为和,
需要满足()2
212121=a 5
a ⎧+=--⎪⎨⨯-⎪⎩方程组无根，故舍去, 综上所述3a >]
考点：集合的运算及其应用.
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）当a=0时，由f （x ）≥g （x ）得|2x+1|≥x ，两边平方整理得3x 2
+4x+1≥0，
解得x≤﹣1 或x≥﹣∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）
（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，即h（x）=，
故h（x）min=h（﹣）=﹣，故可得到所求实数a的范围为[﹣，+∞）．
【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题．。