弧齿锥齿轮几何参数设计

第14章 弧齿锥齿轮的轮坯设计
14.1 弧齿锥齿轮的基本概念
14.1.1 锥齿轮的节锥
对于相交轴之间的齿轮传动，一般采用锥齿轮。

锥齿轮有直齿锥齿轮和弧齿锥齿轮。

弧齿锥齿轮副的形式如图14-1所示，与直齿锥齿轮相比，轮齿倾斜呈弧线形。

但弧齿锥齿轮的节锥同直齿锥齿轮的节锥一样，相当于一对相切圆锥面作纯滚动，它是齿轮副相对运动的瞬时轴线绕齿轮轴线旋转形成的（图14-2
）。

两个相切圆锥的公切面成为齿轮副的节平面。

齿轮轴线与节平面的夹角，即节锥的半锥角称为锥齿轮的节锥角δ1或δ2。

两齿轮轴线之间的夹角称为锥齿轮副的轴交角∑。

节锥任意一点到节锥顶点O 的距离称为该点的锥距R i ，节点P 的锥距为R 。

因锥齿轮副两个节锥的顶点重合，则 21δδ+=∑
大小轮的齿数之比称为锥齿轮的传动比
1
2
12z z i =
(14-1) 小轮和大轮的节点半径r 1、r 2分别为
11sin δR r = 22sin δR r = (14-2)
它们与锥齿轮的齿数成正比，即
1
2
1212sin sin z z r r ==δδ (14-3) 传动比与轴交角已知，则节锥可惟一的确定，大、小轮节锥角计算公式为
∑
+∑
=
cos 1sin 12122i i tg δ 21δδ-∑= (14-4)
当0
90=∑时，即正交锥齿轮副，122i tg =δ 14.1.2弧齿锥齿轮的旋向与螺旋角
1．旋向
弧齿锥齿轮的轮齿对母线的倾斜方向称为旋向，有左旋和右旋两种（图14-3）。

面对轮齿观察，由小端到大端顺时针倾斜者为右旋齿轮（图14-3b ），逆时针倾斜者则为左旋齿（图14-3a ）。

大小轮的旋向相
图14-2 锥齿轮的节锥与节面
(a) 左旋 (b) 右旋
图14-3 弧齿锥齿轮的旋向
图14-1 弧齿锥齿轮副
反时，才能啮合。

一般情况下，工作面为顺时针旋转的（从主动轮背后看，或正对被动轮观察），主动锥齿轮的螺旋方向为左旋，被动轮为右旋（图14-1）；工作面为逆时针旋转的，情况相反。

这样可保证大小轮在传动时具有相互推开的轴向力，从而使主被动轮互相推开以避免齿轮承载过热而咬合。

2．螺旋角
弧齿锥齿轮轮齿的倾斜程度由螺旋角βi 来衡量。

弧齿锥齿轮纵向齿形为节平面与轮齿面相交的弧线，该弧线称为节线，平面齿轮的节线称为齿线。

节线上任意一点的切线与节锥母线的夹角称为该点的螺旋角βi 。

通常把节线中点的螺旋角定义为弧齿锥齿轮的名义螺旋角β。

弧齿锥齿轮副在正确啮合时，大小轮在节线上除了有相同的压力角之外，还要具有相同的螺旋角。

由图14-4中的⊿OO 0P ，利用余弦定理可知
)90cos(2002022β--+=Rr r R S (14-5a)
同理，在⊿OO 0P ’
中
)90cos(2002022i i i r R r R S β--+= (14-5b)
两式相减，则得节线上任意一点的螺旋角的计算公式为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=
)sin 2(21sin 00
R r R R R r i i i ββ (14-5c)
式中，r 0为刀盘半径。

14.1.3 弧齿锥齿轮的压力角
弧齿锥齿轮副在节点啮合时，齿面上节点的法矢与节平面的夹角称为齿轮的压力角。

弧
齿锥齿轮的压力角通常指的是法面压力角αn ，其中20º压力角最为常见。

它与端面压力角αt 的关系为
βααcos tan t n tg = (14-6)
14.1.4 弧齿锥齿轮的当量齿轮
直齿锥齿轮的当量齿轮为节圆半径为Rtg δ1、Rtg δ2，齿数为
11cos δz 、2
2
cos δz 的圆柱齿轮副。

则弧齿锥齿轮的当量齿轮为节圆半径为Rtg δ1、Rtg δ2，齿数为
11cos δz 、2
2
cos δz ，螺旋角为β
的斜齿圆柱齿轮副。

因此，弧齿锥齿轮在法截面内的啮合，也可以用当量圆柱齿轮
图14-4 弧齿锥齿轮的齿线与螺旋角
副来近似，即它们为一对节圆半径
βδ211cos Rtg r v =
β
δ22
2
cos Rtg r v = (14-7) 齿数为
β
δ3
111cos cos z z v =
βδ322
2cos cos z z v = (14-8) 的圆柱齿轮副。

14.2 弧齿锥齿轮的重合度（Contact ratio ）
重合度ε又称重迭系数，反映了同时啮合齿数的多寡（图14-5），其值愈大则传动愈平稳，每一齿所受的力亦愈小，因此它是衡量齿轮传动的质量的重要指标之一。

简单地来讲，一个齿啮合转过的弧长与其周节的比值即为该齿轮副的重合度。

或者更通俗地讲，一个齿从进入啮合到退出啮合的时间与其啮合周期的比值为齿轮副的重合度ε。

只有重合度0.1≥ε才能保证齿轮副连续传动。

弧齿锥齿轮的重合度包括两部分，端面重合度与轴面重合。

14.2.1 端面重合度（Transverse contact ratio ）
端面重合度又称横向重合度，弧齿锥齿轮的端面重合度可利用当量齿轮进行计算。

计算
过程如下 中点锥距，mm
0.5m e R R b =- (14-9)
小齿轮齿顶角，度
111a a θδδ=- (14-10）
大齿轮齿顶角，度
222a a θδδ=- (14-11）
小齿轮中点齿顶高，mm
1110.5tan am ae a h h b θ=- (14-12）
大轮中点齿顶高，mm
2220.5tan am ae a h h b θ=- (14-13）
图14-5 弧齿锥齿轮的重合度
中点端面模数，mm
m
mt et e
R m m R =
(14-14） 大端端面周节，mm
e et p m π= (14-15）
中点法向基节，mm
cos cos m
mbn e m n e
R p p R βα=
(14-16） 中点法向周节，mm
cos mbn
mn n
p p α=
(14-17)
222cos (cos tan )
mn
n m n p p αβα=
+ (14-18）
小齿轮中点端面节圆半径，mm
1112cos e m
mpt e
d R r R δ=
(14-19）
大齿轮中点端面节圆半径，mm
2222cos e m
mpt e
d R r R δ=
(14-20）
小齿轮中点法向节圆半径，mm
112
cos mpt mpn m r r β=
(14-21）
大齿轮中点法向节圆半径，mm
222cos mpt mpn m
r r β=
(14-22）
小齿轮中点法向基圆半径，mm
11cos mbn mpn n r r α= (14-23）
大齿轮中点法向基圆半径，mm
22cos mbn mpn n r r α= (14-24）
小齿轮中点法向顶圆半径，mm
111mne mpn am r r r =+ (14-25）
大齿轮中点法向顶圆半径，mm
222mne mpn am r r r =+ (14-26）
小齿轮中点法向齿顶部分啮合线长，
mm
11sin an mpn n g r α= (14-27）
大齿轮中点法向齿顶部分啮合线长，
mm
22sin an mpn n g r α= (14-28）
中点法向截面内啮合线长，mm
12an an an g g g =+ (14-29）
端面重合度。

对直齿锥齿轮和零度锥齿轮，该数值必须大于1.0。

2
n
g p ααε=
(14-30） 14.2.3 轴面重合度（Face contact ratio ）
轴面重合度又称纵向重合度。

轴面重合度为齿面扭转弧与周节的比值，即
(2)2(1)e z e e b R b K b R R ⎡⎤
-
⎢⎥
⎢⎥=
⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
(14-31) 331
(t a n t a n )3
z z m m e et K K R m βεββπ=-
(14-32）
对于弧齿锥齿轮与准双曲面齿轮轴面重合度εF 应不小于1.25，最佳范围在1.25~1.75之
间。

总重合度
0ε= (14-33）
14.3 弧齿锥齿轮几何参数设计计算
弧齿锥齿轮各参数的名称如图14-6所示。

弧齿锥齿轮的轮坯设计，就是要确定这些参数的计算公式和处理方法。

14.3.1 弧齿锥齿轮基本参数的确定
在进行弧齿锥齿轮几何参数设计计算之前，首先要确定弧齿锥齿轮副的轴交角、齿数、模数、旋向、螺旋角，压力角等基本参数：
1） 弧齿锥齿轮副的轴交角∑和传动比i 12，根据齿轮副的传动要求确定。

2） 根据齿轮副所要传动的功率或扭矩确定小轮外端的节圆直径d 1和小轮齿数z 1[
格里森二文
集]
，z 1一般不得小于5。

弧齿锥齿轮的外端模数m 可直接按公式
m ＝
1
1
z d (14-34) 确定，不一定要圆整。

弧齿轮齿轮没有标准模数的概念。

3） 大轮齿数可按公式
Z 2＝i 12Z 1 (14-35）
计算后圆整，大轮齿数与小轮齿数之和不得少于40，本章后面介绍的非零变位设计可突破这一限制。

图14-6 弧齿锥齿轮齿坯参数
4） 根据大轮和小轮的工作时的旋转方向确定齿轮的旋向。

齿轮的旋向根据传动要求确定，它的选择应保证齿轮副在啮合中具有相互推开的轴向力。

这样可以增大齿侧间隙，避免因无间隙而使齿轮楔合在一起，造成齿轮损坏。

齿轮旋向通常选择的原则是小轮的凹面和大轮的凸面为工作面。

5） 为了保证齿轮副传动时有足够的重合度，设计弧齿锥齿轮副应选择合适的螺旋角。

螺旋角越大，重合度越大，齿轮副的运转将越平稳，但螺旋角太大会增大齿轮的轴向推力，加剧轴向振动，同时会使箱体壁厚增加，反倒引起一些不利因素。

因此，通常将螺旋角选择在30º~40º之间，保证轴面重合度不小于1.25。

6）弧齿锥齿轮的标准压力角有16º、20º、22.5º，通常选20º。

压力角太小会降低轮齿强度，并容易发生根切；压力角太大容易使齿轮的齿顶变尖，降低重合度。

7）锥齿轮的齿面宽b 一般选择大于或等于10m 或0.3 R e 。

将齿面设计得过宽并不能增加齿轮的强度和重合度。

当负荷集中于齿轮内端时，反而会增加齿轮磨损和折断的危险。

14.3.2 弧齿锥齿轮几何参数的计算
基本参数确定之后可进行轮坯几何参数的计算，其过程和步骤如下： 小轮、大轮的节圆直径d 1、d 2
d 1＝mZ 1 d 2＝mZ 2 (14-36） 外锥距R e
R e ＝
2
2
s i n 2d δ (14-37）
为了避免弧齿锥齿轮副在传动时发生轮齿干涉，弧齿锥齿轮一般都采用短齿。

格里森公
司推荐当小轮齿数z １≥12时，其工作齿高系数为1.70，全齿高系数为1.888。

这时，弧齿锥齿轮的工作齿高h k 和全齿高h t 的计算公式为
h k ＝1.70 m (14-38) h t ＝1.888 m (14-39)
当z 1<12时齿轮的齿高必须有特殊的比例，否则将会发生根切。

工作齿高系数、全齿高系数的选取按表14-1进行。

表14-1 z ＜ 12的轮坯参数（压力角20º，螺旋角35º）
在弧齿锥齿轮的背锥上，外端齿顶圆到节圆之间的距离称为齿顶高，节圆到根圆之间的距离称为齿根高，由图14-6可以看到，全齿高是齿顶高和齿根高之和。

为了保证弧齿锥齿轮副在工作时小轮和大轮具有相同的强度，除传动比i12＝1的弧齿锥齿轮副之外，所有弧齿锥齿轮副都采用高度变位和切向变位。

根据美国格里森的标准，高度变位系数取为
x 1＝-x 2 = 0.39 ( 1－
1
22
1cos z cos z δδ) (14-40)
大轮的变位系数x 2为负，小轮的变位系数x 1为正，它们大小相等，符号相反。

因此，小轮
的齿顶高h ae 1和大轮的齿顶高h ae2为
h ae1＝m x h k 12
1
+ (14-41) h ae2＝
m x h k 22
1
+ (14-42） 用全齿高减去齿顶高，就得到弧齿锥齿轮的齿根高
h fe1＝h t －h ae1 h fe ２＝h t －h ae ２ (14-43)
当z 1<12时，齿顶高、齿根高的计算，按表14-1选取大轮齿顶高系数进行。

弧齿锥齿轮副在工作时，小轮（大轮）的齿顶和大轮（小轮）的齿根之间必须留有一定的顶隙，用以储油润滑油和避免干涉。

由图14-6可知，顶隙c 是全齿高和工作齿高之差
c ＝h t －h k (14-44）
弧齿锥齿轮一般都采用收缩齿，即轮齿的高度从外端到内端是逐渐减小的，其中最基本的形式如图14-6所示，齿轮的节锥顶点和根锥顶点是重合的。

这时小轮的齿根角θf 1和大轮的齿根角θf ２可按下面的公式确定
e 1fe 1
f R h t
g =
θ e
2
fe 2f R h tg =θ (14-45） 这样，小轮的根锥角δf 1和大轮的根锥角δf ２的计算公式是
δf 1 ＝δ1－θf 1 δf ２ ＝δ2－θf ２ (14-46）
为了保证弧齿锥齿轮副在工作时从外端到内端都具有相同的顶隙，小轮（大轮）的面锥应该和大轮（小轮）的根锥平行。

小轮的齿顶角θa 1与大轮的齿顶角θa 2应该由公式
θa 1 ＝θf ２ θa2 ＝θf 1 (14-47）
选取。

因此，小轮的面锥角δa 1和大轮的面锥角δa 2的计算公式是
δa1 ＝δ 1 +θa1 δa2 ＝δ 2 +θa2 (14-48）
图14-6上的A 点称为轮冠，齿轮在轮冠处的直径d e1、d e2称为小轮和大轮的外径。

由图14-6可以直接推得外径的计算公式
d e1 ＝ d 1 +2h ae1 cos δ 1 d e2 ＝ d 2 +2h ae2 cos δ 2 (14-49）
轮冠沿齿轮轴线到齿轮节锥顶点的距离称为冠顶距，由图14-6可知小轮冠顶距X e 1和大轮冠顶距X e 2的计算公式为
X e1 ＝ R e cos δ1－h ae1 sin δ 1 X e2 ＝ R e cos δ2－h ae2 sin δ 2 (14-50）
弧齿锥齿轮理论弧齿厚的确定。

如果齿厚不修正，小轮和大轮在轮齿中部应该有相同的弧齿厚，都等于
2
1
p 。

但除传动比i12＝1的弧齿锥齿轮副之外，所有弧齿锥齿轮副都采用高度变位和切向变位。

使小轮的齿厚增加Δ=x t1m ，大轮的齿厚减少Δ，这样修正以后，可使大小轮的轮齿强度接近相等。

x t1是切向变位系数，对于α=20º，β=35 º的弧齿锥齿轮，切向变位系数选取如图14-7所示。

z 1 ＜ 12切向变位系数按表14-2选取, 格里森公司称切向变位系数为齿厚修正系数。

选定径向变位系数和切向变位系数后，可按下式计算大小齿轮的理论弧齿厚
m x tg x S t e ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=112cos 22βαπ (14-51) 221S m S t S -=-=π (14-52）
图14-7 弧齿锥齿轮的齿厚修正系数
x t 1
z 1/z 2
式中，S 2、S 1分别大齿轮及小齿轮的大端端面理论弧齿厚。

βe 为大端螺旋角，按公式(14-5)计算。

弧齿锥齿轮副的法向侧隙与齿轮直径、精度等有关。

格里森公司推荐的法向侧隙如表14-3所示。

表14-3 法向侧隙推荐值
模 数 侧 隙 模 数 侧 隙 0.64 ~ 1.27 0 ~ 0.05 7.26 ~8.47 0.20 ~ 0.28 1.27 ~ 2.54 0.05 ~ 0.10 8.47 ~10.16 0.25 ~ 0.33 2.54 ~ 3.18 0.08 ~ 0.13 10.16 ~12.70 0.31 ~ 0.41 3.18 ~ 4.23 0.10 ~ 0.15 12.70 ~14.51 0.36 ~ 0.46 4.23 ~ 5.08 0.13 ~ 0.18 14.51 ~ 16.90 0.41 ~ 0.56 5.08 ~ 6.35 0.15 ~ 0.20 16.90 ~ 20.32 0.46 ~ 0.66 6.35 ~ 7.26
0.18 ~ 0.23
20.32 ~ 25.40
0.51 ~ 0.76
14.4 双重收缩和齿根倾斜
上节讨论的弧齿锥齿轮，节锥顶点与根锥顶点重合，齿根高与锥距成正比，齿根的这种收缩情况称为标准收缩。

标准收缩的齿厚与锥距成正比，齿线相互倾斜。

但在实际加工中，为了提高生产效率，弧齿锥齿轮的大轮都用双面法加工。

即用安装有内切刀片和外切刀片的双面刀盘在一次安装中同时节出齿槽和两侧齿面。

因为刀盘轴线在加工时是与齿轮的根锥垂直的，外端要比内端切得深一些，这样就引起轮齿不正常的收缩。

因为齿轮的周节总是与锥距成正比的，齿厚与锥距不成比例地收缩不仅会给加工带来困难，而且还会影响轮齿的强度和刀具的寿命。

因此必须通过双重收缩或齿根倾斜加以修正。

14.4.1双重收缩和齿根倾斜的计算
当大轮采用双面法加工时，理想的大轮齿根角为
θ
f2 ≈
tg θ
f2 ＝
)r s i n R 1(c o s g Rt 2s o
1β
-βα (14-53）
当小轮也用双面法加工时，以上公式对小轮也是适合的。

将上式中的s 1改为大轮中点弧
齿厚s 2就可以得到理想的小轮齿根角
θ
f １
＝
)r s i n R 1(c o s g Rt 2s o
2β
-βα (14-54）
大轮和小轮的齿根角之和
∑θＤ ＝θ
f １
＋θf2＝
)r sin R 1(cos g Rt 2s s o
21β
-βα+ (14-55）
其中s 1 + s 2是齿轮中点的周节，应满足公式z o (s 1 + s 2) ＝2πR ，代入之后就得到公式
∑θＤ ＝
)r sin R 1(cos g t z o
o β-βαπ (14-56）
式中，z o 为冠轮齿数z 0=z 2/sin δ2。

由式(14-57）算得的角度单位是弧度，欲得角度单位是度，上式应改为
∑θＤ ＝
)r sin R 1(cos g t z 180o
o β
-βα (14-57）
弧齿锥齿轮大轮和小轮都用双面刀盘同时加工两侧齿面的方法称为双重双面法，两齿轮
齿根角之和满足(14-57)式的齿高收缩方式称为双重收缩。

令标准收缩的齿根角之和
∑θs ＝θf 1 +θf 2 (14-58）
取∑θＤ＝∑θs 得到理想刀盘半径r D 为
r D ＝
180
c o s g t z 1s i n R 0s βαθ∑-
β
(14-59）
式(14-60)可以作为齿轮刀盘半径r D 选择的理论基础。

实际的轮坯修正可以这样来进行：先按(14-58)、(14-60)算出刀盘的理论半径r D ，如果实际选用的刀盘半径r o 与r D 相差不大，则轮坯可以按标准收缩设计；如果实际选用的刀盘半径r 0与r D 相差太大，使得小轮两端的槽宽相差太悬殊，那么轮坯就必须修正。

修正时可将选定的刀盘r o 代入(14-58)式求得双重收缩的齿根角之和∑θD 。

弧齿锥齿轮除小模数齿轮用双重双面法加工之外，在一般情况下都是大轮用双面法加工，小轮用单面法加工，有时用∑θD 来作为齿根角之和就显得过大。

为此，格里森公司提出了最大齿根角之和的概念，规定弧齿锥齿轮副的齿根角之和不得大于
∑θm ＝ ⎩⎨
⎧<∑+≥∑)
12()02.006.1()12(3.1111z z z s
s
θθ (14-60）
实际选用的齿根角之和∑θt ，取∑θD 和∑θm 中的最小值，即
∑θt ＝ min (∑θD ，∑θm ) (14-61） 按(14-62)式确定的齿根角之和可能比∑θs 大，也可能比∑θs 小，这就需要用改变齿轮根
锥角的办法来实现，也就是将齿轮的齿根线绕某一点倾斜，这种办法称为齿根倾斜（图14-8所示）。

齿根倾斜，通常有绕中点倾斜（图14-8所示）和绕大端倾斜两种方式。

齿根倾斜之后，轮坯的根锥顶点不再与节锥顶点重合。

当∑θt ＞∑θs 时，根锥顶点落在节锥顶点之外如图14- 9(α)所示；当∑θt ＜∑θs 时，根锥顶点落在节锥顶点之内（图14-9b ）。

这时，面锥顶点、根锥顶点三者都不重合，通常把这种设计方式称为“三点式”。

图14-8 弧齿锥齿轮根锥倾斜
14.4.2 轮坯修正后的参数计算
实际选用的齿根角之和∑θt 确定之后，关键是如何分配大轮和小轮的齿根角并确定齿根
绕哪一点倾斜。

格里森公司提出两种分配齿根角的方法，最早提出的方法是将差值∑θt －∑θs 平均分配。

即令
Δθf ＝
2
1
（∑θt －∑θs ） (14-62） 然后将齿根角θf 1和θf 2修正为
θ′f1 ＝θf1 + Δθf θ′f 2 ＝θf2 + Δθf (14-63）
齿根绕大端倾斜时，齿轮的齿顶高、齿根高、工作齿高、全齿高都不改变。

但齿轮绕中点倾斜时，齿轮的齿顶高和齿根高都要改变 Δh ＝
2
b
tg Δθf (14-64） 这时齿轮的齿顶高和齿根高都要修正为
h ′ae1 ＝h ae1 +Δh h ′ae 2 ＝h ae2 +Δh (14-65） h ′fe1 ＝h fe1 +Δh h ′fe 2 ＝h fe2 +Δh (14-66）
同时，齿轮的工作齿高和全齿高也要修正为
h ′k ＝ h k +2Δh (14-67a ） h ′t ＝ h t +2Δh (14-67b ） 上面这种计算方法比较简单，但有时大轮和小轮的齿根角修正后悬殊太大，不够理想，因此，格里森公司于1971年又提出一种新的分配方法，按倾斜点的齿高比例进行分配。

齿根绕大端倾斜时齿根角的计算公式是
θ′f2＝
k 2ae h h ∑θt θ′f1＝ k
1
ae h h ∑θt (14-70） 这时齿轮的齿顶高和齿根高不变，常用于理论刀盘半径小于实际刀盘半径的情形。

齿根绕中
点倾斜时先要算出中点齿顶高和齿根高的值：
h a1 ＝ h ae1 －
2b tg θa 1 h a2 ＝ h ae2 －2b
tg θa 2 (14-71） h f1 ＝ h fe1 －2b tg θf 1 h f2 ＝ h fe2 －2
b
tg θf 2 (14-72）
然后按下列公式确定齿根角
(a) ∑θt ＞∑θs (b) ∑θt ＜∑θs
图1.9 齿根倾斜后的情况
θ′f 1 ＝
2a 1a 2a h h h +∑θt θ′f 2 ＝ 2
a 1a 1
a h h h +∑θt (14-73）
这样修正后弧齿锥齿轮的齿顶高、齿根高都要跟着改变、常用于理论刀盘半径比实际刀盘半
径大的情形。

修正后的齿高参数为
h ′ae1 ＝ h a1 +
2b tg θ′a1 h ′ae2 ＝ h a2 +2b
tg θ′a2 (14-74） h ′fe1 ＝ h f1 +2b tg θ′f1 h ′fe2 ＝ h f2 +2
b
tg θ′f2 (14-75）
h ′k ＝ h ′ae1 + h ′ae2 (14-76）
h ′t ＝ h ′ae1 + h ′fe1 (14-77） c ′ ＝ h ′t － h ′K (14-78) 这几种修正方法都能起到修正轮坯的作用。

要注意的是根锥绕大端倾斜时，齿轮的外径和冠顶距都不改变，但齿根绕中点倾斜时，由于齿顶高变了，所以外径和冠顶距也会跟着改变。

在式(14-49)和(14-50）中将h ae1和h ae2的值应改为h ′ae1 、h ′ae2 重新计算就得到了修正后的值。

齿根绕大端倾斜，外端的几何参数不变，内端的几何参数变化较大。

齿根绕中点倾斜，外端和内端的参数都有变化，比绕大端倾斜的变化要均匀一些。

设计时可根据实际情况选用。

与标准收缩相比，齿根倾斜是一种先进的设计方法，国外应用得很普遍，在设计中应尽量采用这种方法。

最后，把上述轮坯计算公式加以总结，列于表14-4和14-5中。

表14-4 弧齿锥齿轮标准参数计算表格
表14-5 弧齿锥齿轮齿根倾斜参数计算表格
§14.5 弧齿锥齿轮“非零变位”
在弧齿锥齿轮的设计中，传统方法是在采用高度和切向方向均采用零传动，即当i12=1时，高度和切向都不变位。

当i12>1时，大轮和小轮的变位系数和为零，即（X 1＋X 2=0；X t1＋X t2=0）。

若采用“非零变位”（X 1＋X 2≠0；X t1＋X t2≠0），传统的概念认为锥齿轮当量中心距就要发生改变，致使锥齿轮的轴交角也发生改变。

而轴交角是在设计之前就已确定的，不可以改变。

梁桂明教授发明的分锥综合变位原理克服了这一弱点，能够在保持轴交角不变的条件下实现“非零变位”。

这种新型的非零变位齿轮具有更为优良的传动啮合性能，更高的承载能力和更广泛的工作适应性。

可获得如等弯强、抗胶合、耐磨损、增加接触强度和弯曲强度的目的。

又可以实现少齿数和的小型传动，低噪声的柔性传动等。

§14.5.1非零变位原理
在弧齿锥齿轮的“非零变位”设计中，以端面的当量齿轮副作为分析基准。

非零变位设计：保持节锥不变而使分锥变位，变位后使分锥和节锥分离，从而使轴交角保持不变，节圆和分圆分离，达到变位的目的。

即变位后节锥角不变而分锥角变化，保持了轴交角不变。

分锥变位就是分锥母线绕自身一点C 相对于节锥母线旋转一角度Δδ（如图14-6所示），使分锥母线和节锥母线分离，则在当量齿轮上分圆和节圆分离，在锥顶处，分锥顶与节锥顶分离。

非零变位中，当量齿轮节圆半径r v ′和分圆半径r v 之间产生差值Δr 。

节圆啮合角αt ′和分圆压力角αt 之间也不同，但满足
r v ′cos αt ′= r v cos αt (14-79)
设当量节圆对分圆半径的变动比为Ka ，则有
'
'
'
cos cos R R r r k t t v v a ===αα (14-80) 对于正变位K a ＞1；负变位K a ＜1；零变位K a ＝1。

§14.5.2 分锥变位的几种形式
(1) ΔR 式：改变锥距式 在节锥角不变的条件下，将节锥距外延或内缩一小量ΔR ，从而使节圆半径增大或减小，相应地分圆半径也按比例增大或减小，使节锥和分锥分离。

对于正变位X ＞0采用延长节锥距R ′的方法，使当量中心矩a v.增大，设移出齿形前的用下标“0”表示，移出后的节锥距用加“′”表示，变位前的锥距为O P 0，变位后锥距为O P 。

过P 0做P 0 P 1∥O O 1 ，P 0 P 2∥O O 2交新齿形截面于P 1，P 2， P 0P 为前后锥距之差ΔR 。

合理地选择ΔR 能变位后的分圆模数恰好等于零传动时的分度圆模数，所以如图14-7的情况时，分度圆模数不变。

由图14-6可知有以下关系存在
''
''cos cos t
t
v v vi vi a a a R R r r k αα==== (14-81)
()2,1......1'
=-=-=∆i r k r r r vi a vi vi i ( 14-82)
1
212v v v v v r r
u r r ==∆∆
(14-83)
'
'
11i a m vi i tg k R r tg δδ⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆=∆… (14-84) ()()
''
00'1i vi vi a tg r r R K R R R δ-=-=-=∆ (14-85)
(2)Δr 式：改变分度圆式
此时采用在节锥距不变条件下，增大（负变位）或缩小（正变位）分锥角，也即增大或缩小分圆半径，以保持变位时节圆大于分圆（正变位）节圆小于分圆（负变位）的特性，这种变位形式变位后，节圆模数m ′不变，而分圆模数m 改变。

m ′= k a m 。

变位形式如图14-7所示。

'
-=-'=∆-vi a vi vi vi r k r r r )1(1 i=1,2 (14-86)
这两种变位形式，在具体应用中，若是在原设计基础上加以改进，以增强强度，箱体内空间合适，则采用ΔR 式，一般应用于正变位，节锥距略有增加。

若对于原设计参数有较大改动，设计对于箱体尺寸要求严格，或进行不同参数的全新设计，则采用Δr 式，一般用于负变位。

§14.5.3切向变位的特点
圆锥齿轮可采用切向变位来调节齿厚。

传统的零变位设计，切向变位系数之和为x t Σ＝x t1＋x t2＝0。

对于非零传动设计，x t Σ可以为任意值。

通过改变齿厚，可以实现： ·配对齿轮副的弯曲强度相等σF1＝σF2。

·保持齿全高不变，即齿顶高变动量σ＝0。

·缓解齿顶变尖S a1＞0。

·缓解齿根部变瘦，增厚齿根。

非零变位可以满足上述四种特性中的两项，而零变位则只可以满足其中一顶。

例如，
在
X 1、X 2比较大时，易出现齿顶变尖，则可以用切向变位来修正，弥补径向变位之不足。

即使在齿顶无变尖的情况下，也可使小轮齿厚增加，以实现等弯强、等寿命。

有时在选择径向变位系数时，若其它条件均满足而出现齿顶变尖时，则可以用切向变位来调节。

将切向变位沿径向的增量与径向变位结合起来，构成分锥综合变位，综合变位系数x h 为
0tan 2≠+
=∑
∑t
t h x x x α (14-87)
切向变位引起的当量齿轮分度圆周节t 方向的变量Δt 为
()m x m x x s s t t t t ∑=+=∆+∆=∆2121 (14-88)
故分圆上的周节不等于定值，将径向变位沿切向的增量与切向变位结合起来，则当量齿轮分圆弧齿厚为
m x tg x s ti t i i ⎪⎭
⎫
⎝⎛++=απ22 i ＝1，2 (14-89)
分圆周节为
t ＝s 1＋s 2＝（π＋2 X Σtg αt ＋X t Σ）m ≠πm (14-90)
式中，αt 是端面分圆压力角。

m 是端面分圆模数。

端面节圆啮合角αt ‘
与分圆压力角αt 的渐开线函数关系为
t v v t
h t v v t t t inv z z x inv z z x x inv ααααα++=+++=
∑∑2
121'
tan tan 2 (14-91 )
而节圆上的周节t ′为一定值
t ′＝πm ′＝πk a m (14-92)
小轮节圆弧齿厚
()[]
t t v a inv inv d s k s αα--='11'1 (14-93)
大轮节圆弧齿厚
()[]
t t v a inv inv d s k s m s ααπ--=-='22'1''
2 (14-94)
弧齿锥齿轮的切向变位可以使径向也发生变化，使当量中心距改变，从而啮合角也发生
改变。

当量中心距分离系数按下式计算
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯+=
1cos cos 2'21t t
v v z z y αα (14-95) 齿顶高变动量σ＝X Σ－y ，σ不但可以大于零，也可以小于零。

还可以通过公式(14-91）
来改变X t Σ使啮合角发生改变。

因此总可以找到一个合适的X t Σ可以使σ＝0。

§14.6 非零变位径向与切向变位系数的选择
§14.6.1径向变位
齿轮变位系数的选择是一个非常复杂的过程，它和许多因素诸如齿数、齿顶高系数、螺旋角等有关。

前苏联学者B.A.加夫里连科提出“利用封闭图的方法选择变位齿轮的变位系
数”。

即将各质量指标曲线（关于x1，x2等的函数）与变位系数x1，x2的曲面图与x1Ox2平面的交线投影在x1Ox2平面上，制成了适用于圆柱齿轮的变位系数的综合线解图——封闭图。

对于直齿锥齿轮，可大致参照圆柱齿轮的封闭图进行选择，而对于曲齿锥齿轮则不太合适。

本文在梁桂明教授提出的分锥综合变位原理的基础上，用计算机编程的方法，用弦位法原理进行求解，绘制出适用于曲齿锥齿轮选择变位系数的封闭图，以配合其变位系数的选取。

封闭图实际上是优化设计的图形化，具有简明和直观的优点。

封闭图的边界曲线即为优化设计的约束条件，质量指标曲线即为所确定的目标函数。

与圆柱齿轮的封闭图不同，锥齿轮的封闭图用当量齿数z v1、z v2、取代圆柱齿轮中的齿数z1、z2；端面压力角αt以取代压力角α0做为基本参数。

如图14-8所示是一张典型的曲齿锥齿轮的封闭图z1＝16，z2＝23，ha*＝0.9，β＝35°，α0＝20°条件下画出的。

当量齿数z v1＝19，z v2＝40，αt＝23.9568°。

图中绘出了边界限制曲线如根切限制曲线x1lim，x2lim；齿顶厚限制曲线Sa*＝0.4、0.25、0.；干涉曲线；重合度曲线ε＝1.2、1.1、1.0；质量指标曲线如等滑动比曲线η1=η2；等滑动系数曲线U1=U2；双齿对啮合区曲线δ2*＝0.3、0.15、0；变位系数的选择范围应在图中阴影区域中。

该封闭图比圆柱齿轮的封闭图多了一条等滑动系数曲线。

图14-8 锥齿轮的封闭图
14.6.2切向变位
切向变位封闭图如图14-9所示。

但由于每一幅径向变位封闭图都有无数幅切向变位封闭图与之对应，每一对径向变位系数都有对应的一幅切向变位封闭图，所以不可能全部绘出。

在实际应用中，刚好符合条件的切向变位封闭图很少，往往没有现成的可利用，所以可用近似算法来确定切向变位系数。

图14-9 切向变位封闭图
按等弯强寿命计算
()()
t t t v v t x inv inv z z x αααtan 2'
21⨯⨯--⨯+=⨯∑∑ (14-96a)
()⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛++⨯+⨯=∑2121'2cos arccos v v v v t t z z x z αα (14-96b) 按正常齿高计算
()[]()()
212111x k k
x x x k k
x y
t y
t Γ+ΓΓ--
=∑ (14-97a)
x t2= x t Σ－x t1 (14-97b)
其中等弯强寿命系数
m
F F N
N N N k 12022012
lim 1lim ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯⨯=
σσ (14-97c) σFlim1，2为小大轮弯曲疲劳极限应力，N 01，2为对应于σFlim1，2的试验寿命。

m 为寿命指数。

当材料为调质钢时，m=6.25，当材料为渗碳表面淬硬钢时，m=8.7。

N 1,2为小大轮的设计寿命，若大于无限寿命则用N 01,2取代，此时
2
lim 1lim F F k σσ=
(14-98)
2
1Fs Fs Y Y Y k =
…Y Fs1 、Y Fs2为齿顶综合系数 (14-99)
()()()1
1
2cos cos sin 1cos 1cos cos sin **4
--⨯-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯⨯++=Γi t t t i t t i x B A x t c ha x βαααβααπ (14-100)。