2019-2020学年河南省南阳市高三(上)期中数学试卷(理科)试题及答案(解析版)

2019-2020学年河南省南阳市高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题|（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合2{|60}M x x x =--<，6|12N x x ⎧⎫
=<-⎨⎬-⎩⎭
，则(M
N = )
A ．(4,3)-
B ．(4,2)--
C ．(2,2)-
D ．(2,3)
2．若复数z 满足(1)3(z i i i -=+为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．3
B ．3i
C ．3-
D ．3i -
3．若函数|2()|(0x b f x a a +=>且1a ≠，a ，)b R ∈为偶函数，则f （a ）与(1)f b -的大小关系是( )
A ．f （a ）(1)f b >-
B ．f （a ）(1)f b <-
C ．f （a ）(1)f b -…
D ．f （a ）与(1)f b -的大小关系与a 的取值有关
4．已知函数2()|log |f x x =，若m n >，有()()f m f n =，则4m n +的取值范围为( ) A
．)+∞
B
．)+∞
C ．(4,)+∞
D ．[4，)+∞
5．函数()sin(2)(0f x A x A ϕ=+>，0)ϕπ<<的图象如图所示，为了得
到()2cos 2g x x x =-的图象，只需将函数()f x 的图象( )
A ．向右平移2
π
个单位长度 B ．向左平移2
π
个单位长度
C ．向右平移
4
π
个单位长度
D ．向左平移
4
π
个单位长度
6．若实数x ，y 满足约束条件1
11x y x y y --⎧⎪
+⎨⎪-⎩
………，则46z x y =+的最大值是( )
A ．14-
B ．2
C ．6
D ．10
7．已知：[1x ∀∈，2]，log (23)0(0a x a a -<>，且1)a ≠恒成立，则实数a 的取值范围为(
)
A ．1
(0,)3
B ．1
(0,]3
C ．1
(0,)
(1,)3
+∞ D ．1
(0,]
(1,)3
+∞
8．|2|
()(
)cos x f x ln x π
=-的部分图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．等差数列前p 项的和为q -，前q 项()p q ≠的和为p -，则该数列前p q +项的和为( )
A ．p q +
B ．p q -
C ．p q -+
D ．p q --
10．设函数()x f x x e =+，直线y kx b =+是曲线()y f x =的切线，则k b +的最大值为( )
A ．e
B ．2
C ．1e -
D ．1e +
11．已知函数||,02
()(4),24lnx x f x f x x <⎧=⎨-<<⎩
…，若当方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，
41234()x x x x x <<<，则2222
12
34x x x x +++的取值范围为( ) A ．[20，)+∞ B ．(20,)+∞ C ．41
(20,
)2
D ．41[20,
]2
12．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ++=．
“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车()Mercedesbenz 的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ==，则必有( )
A ．sin sin sin 0A OA
B OB
C OC ++= B ．cos cos cos 0A OA B OB C OC ++= C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ++=
D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ++= 二、填空（本大题4小题，每题5分，共20分）
13．已知向量(1,3)a =-，(2,3)b =，则向量b 在向量a 方向上的投影等于 ． 14．定义域为R 的奇函数()y f x =满足(1)(1)f x f x -=+，则()y f x =在区间[0，2]上至少有 个零点．
15．如图，在ABC ∆中，3
C π
=
，4BC =，点D 在边AC 上，AD DB =，DE AB ⊥，E 为
垂足，若DE =，求cos A = ．
16．16．设函数()log (0q f x x q =>且1)q ≠，若q 是等比数列{}n a 的公比，且2462020()2019f a a a a ⋯=，则2020
21()i i f a ==∑ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．递增的等比数列{}n a 满足，2420a a +=，1564a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2log n n b a =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．
18
．已知函数2()sin sin()(0)2f x x x x πωωωω=+>的最小正周期为2
π
．
（1）写出函数()f x 的单调递增区间；
（2）求函数()f x 在区间[0，]3
π
上的取值范围．
19．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且满足
：
sin cos 0,4a B A a -==．
（1）求A ∠．
（2）若D 是BC 中点，3AD =，求ABC ∆的面积．
20．n S 为数列{}n a 前n 项和，已知0n a >，2
243n
n n a a S +=+， （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和． 21．设函数2()[(41)43]x f x ax a x a e =-+++．
（1）若曲线()y f x =在点(3，f （3）)处的切线与y 轴垂直，求实数a 的值； （2）若()f x 在2x =处取得极大值，求实数a 的取值范围． 22．已知函数2()1x f x x =
+，设数列{}n a 满足11
2
a =，1()n n a f a +=；()(1)g x ln x x =+-． （1）求函数()y g x =的最大值； （2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）证明：12312n a a a a e
⋯>．
2019-2020学年河南省南阳市高三（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题|（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合2{|60}M x x x =--<，6|12N x x ⎧⎫
=<-⎨⎬-⎩⎭
，则(M
N = )
A ．(4,3)-
B ．(4,2)--
C ．(2,2)-
D ．(2,3)
【解答】解：集合2{|60|(2,3)M x x x =--<=-， 64|1{|0}(4,2)22x N x x x x +⎧⎫
=<-=<=-⎨⎬--⎩⎭
，
则(2,2)M N =-
故选：C ．
2．若复数z 满足(1)3(z i i i -=+为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．3
B ．3i
C ．3-
D ．3i -
【解答】解：由(1)3z i i -=+，得2
3(3)()
1123i i i z i i i ++-=+=+=--， ∴23z i =+．
则z 的虚部为3． 故选：A ．
3．若函数|2()|(0x b f x a a +=>且1a ≠，a ，)b R ∈为偶函数，则f （a ）与(1)f b -的大小关系是( )
A ．f （a ）(1)f b >-
B ．f （a ）(1)f b <-
C ．f （a ）(1)f b -…
D ．f （a ）与(1)f b -的大小关系与a 的取值有关
【解答】解：若函数|2()|(0x b f x a a +=>且1a ≠，a ，)b R ∈为偶函数，所以()()f x f x -=，即|2||2|x b x b a a -++=，0b ∴=．||()x f x a ∴=，f ∴（a ）a a =，1(1)f b a -=；当1a >，()f x 递增，1a a a >，即f （a ）(1)f b >-；当01a <<，()f x 单减，1a a a >，所以f （a ）(1)f b >-，综上，f （a ）(1)f b >-； 故选：A ．
4．已知函数2()|log |f x x =，若m n >，有()()f m f n =，则4m n +的取值范围为( ) A
．)+∞
B
．)+∞
C ．(4,)+∞
D ．[4，)+∞
【解答】解：函数2()|log |f x x =，若m n >，有()()f m f n =， 1m ∴>且01n <<，
22log log n m ∴-=， 2log ∴ 0mn =， 1mn ∴=，
44m n mn ∴+=…（当且仅当4m n =时，即2m =，1
2
n =
，取“=” )． 4m n ∴+取值范围为：[4，)+∞．
故选：D ．
5．函数()sin(2)(0f x A x A ϕ=+>，0)ϕπ<<的图象如图
所示，为了得到()2cos 2g x x x =-
的图象，只需将函数()f x 的图象( )
A ．向右平移2
π
个单位长度 B ．向左平移2
π
个单位长度
C ．向右平移
4
π
个单位长度
D ．向左平移
4
π
个单位长度
【解答】解：根据函数()sin(2)(0f x A x A ϕ=+>，0)ϕπ<<的图象，可得2A =， 再根据五点法作图可得732122ππϕ⨯
+=
，3πϕ∴=，即函数()2sin(2)3
f x
x π
=+． 而()2cos 22sin(2)6
g x x x x π
=-=-，
故要得到()g x 的图象，需把函数()f x 的图象向右平移4
π
个单位长度，
故选：C ．
6．若实数x ，y 满足约束条件111x y x y y --⎧⎪
+⎨⎪-⎩
………，则46z x y =+的最大值是( )
A ．14-
B ．2
C ．6
D ．10
【解答】解：画出约束条件111x y x y y --⎧⎪
+⎨⎪-⎩
………表示的平面区域，如图阴影所示；
所以46z x y =+的最大值就是经过点A 时取得，由1
1x y x y -=-⎧⎨+=⎩
，
解得两条直线的交点坐标为(0,1)， 所以最大值为40616max z =⨯+⨯=． 故选：C ．
7．已知：[1x ∀∈，2]，log (23)0(0a x a a -<>，且1)a ≠恒成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．1
(0,)3
B ．1
(0,]3
C ．1
(0,)
(1,)3
+∞
D ．1
(0,]
(1,)3
+∞
【解答】解：由于0a >，且1a ≠，
①当1a >时，log (23)00231a x a x a -<⇔<-<对[1x ∀∈，2]恒成立； ∴230
431a a ->⎧⎨
-<⎩， 1a ∴>且2
3
a <
；a ∴∈∅； ②当01a <<时，log (23)0231a x a x a -<⇔->；
即21
3
x a -<
对：[1x ∀∈，2]恒成立； 21
(
)3
min x a -∴<，[1x ∈，2]； 设213x y -=
，[1x ∈，2]；则1x =时，1
3max y =； 103
a ∴<<
； 综上述，实数a 的取值范围为1
(0,)3
．
故选：A ． 8．|2|
()(
)cos x f x ln x π
=-的部分图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：()()f x f x -=，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，D ， ()cos 10f ln ln ππππ=-=+>，排除C ，
故选：B ．
9．等差数列前p 项的和为q -，前q 项()p q ≠的和为p -，则该数列前p q +项的和为( )
A ．p q +
B ．p q -
C ．p q -+
D ．p q --
【解答】解：设首项为1a ，公差为d ， 由题意可得，11
(1)2(1)2
p q p p d S pa q q q d S qa p -⎧
=+=-⎪⎪⎨-⎪=+=-⎪⎩，
两式相减可得，1()(1)()2
p q p q d
p q a p q -+--+=-，
p q ≠，
11
12
p q a d +-∴+
=， 1()(1)()2
p q p q p q d
S p q a p q +++-∴=++
=+．
故选：A ．
10．设函数()x f x x e =+，直线y kx b =+是曲线()y f x =的切线，则k b +的最大值为( )
A ．e
B ．2
C ．1e -
D ．1e +
【解答】解：由()x f x x e =+，得()1x f x e '=+， 设切点为0(x ，0)y ，则01x k e =+， 又0000x y x e kx b =+=+，
∴0000(1)x x x e e x b +=++，得000x x b e x e =-．
0000000112x x x x x k b e e x e e x e ∴+=++-=+-．
令12x x y e xe =+-，则2(1)x x x x y e e xe x e '=--=-， 由0y '=，得1x =．
∴当(,1)x ∈-∞时，0y '>，当(1,)x ∈+∞时，0y '<， ∴当1x =时，y k b =+取最大值为121e e e +-=+．
故选：D ．
11．已知函数||,02
()(4),24lnx x f x f x x <⎧=⎨-<<⎩
…，若当方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，
41234()x x x x x <<<，则2222
12
34x x x x +++的取值范围为( ) A ．[20，)+∞ B ．(20,)+∞ C ．41
(20,
)2
D ．41[20,
]2
【解答】解：由题意函数||,02
()(4),24lnx x f x f x x <⎧=⎨-<<⎩
…，图象如下图所示：
()y f x =的图象关于直线2x =对称，
设方程()f x m =的解为：1234x x x x <<<，结合指数与对数的互化， 且02m ln << 可得11m x e =
，2m x e =，34m
x e =-，4
14m
x e =- 令m e t =，(12)t <<
则2222
22123421111
2(
)8()322()8()28x x x x t t t t t t t t
+++=+-++=+-++= 令1t a t +=，5
(2)2
a << 则2222
2212
3428282(2)20x x x x a a a +++=-+=-+ 设函数g （a ）22(2)20a =-+ 522
a <<
25
()2(2)202
g a g ∴>-+>（2）
； 故得则22221234x x x x +++的取值范围为,41
(20,
)2
故选：C ．
12．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ++=．
“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车()Mercedesbenz 的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ==，则必有( )
A ．sin sin sin 0A OA
B OB
C OC ++= B ．cos cos cos 0A OA B OB C OC ++= C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ++=
D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ++=
【解答】解：如图，由题知O 为垂心，所以AOB C π∠=-，
∴||||cos()||||cos OA OB OA OB C OA OB C π=-=-．
同理，∴||||cos OB OC OB OC A =-， ∴||||cos OC OA OC OA B =-，
所以||||cos ||||cos ||||cos OA OB C OB OC A OC OA B ==． ∴||:||:||cos :cos :cos OA OB OC A B C =．
又11
||||sin()|||sin 22
A S O
B O
C A OB OC A π=
-=， ∴sin sin sin ::::
||||||A B C A B C
S S S OA OB OC = sin sin sin ::tan :tan :tan cos cos cos A B C
A B C A B C
=
=． 由奔驰定理得tan tan tan 0A OA B OB C OC ++=， 故选：C ．
二、填空（本大题4小题，每题5分，共20分）
13．已知向量(1,3)a =-，(2,3)b =，则向量b 在向量a 方向上的投影等于 2
． 【解答】解：向量(1,3)a =-，(2,3)b =， ∴231a b =-+=，||2a =，||7b =，
设向量b 与向量a 的夹角为θ，则7
cos 14
||||a b a b θ=
=，
∴向量b 在向量a 方向上的投影为1||cos 2
b θ==， 故答案为：
12
． 14．定义域为R 的奇函数()y f x =满足(1)(1)f x f x -=+，则()y f x =在区间[0，2]上至少有 3 个零点．
【解答】解：(1)(1)f x f x -=+，()(2)f x f x ∴=+， 即函数是周期为2 的周期函数， ()f x 是函数，
(0)0f ∴=，则f （2）(0)0f ==，
当0x =时，(1)f f -=（1）f =-（1）， 则f （1）0=，
即()y f x =在区间[0，2]上的零点为0，1，2，至少有3个， 故答案为：3
15．如图，在ABC ∆中，3
C π
=
，4BC =，点D 在边AC 上，AD DB =，DE AB ⊥，E 为
垂足，若DE =，求cos A
【解答】解：3
C π
=
，4BC =，
点D 在边AC 上，AD DB =，DE AB ⊥，E
为垂足，DE =， A ABD ∴∠=∠，2BDC A ∠=∠，设AD BD x ==， ∴在BCD ∆中，
sin sin BC BD CDB C =∠，可得：4sin 2sin 60x
A =
︒
，① 在AED ∆中，
sin sin ED AD
A AED
=
∠
1x =，② ∴
联立可得：4
2sin cos A A =
，解得：cos A =．
16．16．设函数()log (0q f x x q =>且1)q ≠，若q 是等比数列{}n a 的公比，且2462020()2019f a a a a ⋯=，则2020
21()i i f a ==∑ 6056 ．
【解答】解：202020202020
221
1
1
()()2()i
q i
q i i i i f a log a log a =====∑∑∑
1220202log ()q a a a =⋯ 202024
2420202(
)q a a a log a a a q q q
=⋯ 2420202[2log ()1010]q a a a =⋯-
2(220191010)=⨯- 6056=，
故答案为：6056．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．递增的等比数列{}n a 满足，2420a a +=，1564a a =．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2log n n b a =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ． 【解答】解：（1）由2420a a +=，152464a a a a ==， 解得24a =，416a =或216a =，44a =， 由等比数列{}n a 递增，可得24a =，416a =， 即有24
2
4a q a =
=，即2(2q =-舍去）
，12a =， 所以2n n a =；
（2）由（1）知2log n n b a n ==，
2n n n a b n =，
所以1231222322n n S n =+++⋯+，
23121222(1)22n n n S n n +=++⋯+-+，
相减可得2
3
1
12(12)22222212
n n
n n n S n n ++--=+++⋯+-=--，
化为1(1)22n n S n +=-+．
18．已知函数2()sin sin()(0)2f x x x x πωωωω=+>的最小正周期为2
π
．
（1）写出函数()f x 的单调递增区间；
（2）求函数()f x 在区间[0，]3
π
上的取值范围．
【
解
答
】
解
：
（
1
）
21cos 21
()sin sin()2sin(2)2262
x f x x x x x x π
ωπωωωωω-=+
=
+=-+
函数()f x 的最小正周期为2π．即有222ππ
ω=，可得2ω=，
1()sin(4)6
2f x x π
∴=-+
∴令2422
6
2
k x k π
π
π
ππ-
-
+
剟，得
21226
k k x ππππ
-+剟， ∴函数()f x 的单调递增区间是[
212k ππ-，]()26
k k Z ππ+∈；
（2）[0x ∈，]3π时，7466
6
x ππ
π
--
剟， 1sin(4)[6
2x π
∴-
∈-
，1]，1sin(4)[062x π-+∈，3]2
， 即函数()f x 在区间[0，]3π上的取值范围是[0，3
]2
．
19．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且满足：
sin cos 0,4a B A a -==．
（1）求A ∠．
（2）若D 是BC 中点，3AD =，求ABC ∆的面积．
【解答】解：（1）
sin cos 0a B A =，
∴2sin sin 2sin cos 0R A B R B A =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
则sin 0A A =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
即tan ..A =， ∴..3
A π
=
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）
（2）方法一：在ABC ∆中，222222cos a b c bc BAC b c bc =+-∠=+- 即2216b c bc +=+．
在ABD ∆中22222
9413cos 223212AD BD AB c c ADB AD BD +-+--∠===⨯⨯
同理ACD ∆中22222
9413cos 223212AD CD AC b b ADC AD CD +-+--∠===⨯⨯
而ADB ADC π∠+∠=，有cos cos 0ADC ADB ∠+∠=，
即
22
2213130261212b c b c --+=⇒+=． 联立得162610bc bc +=⇒=，
11sin 1022ABC S bc BAC ∆=∠=⨯=
方法二：又222221
cos 1622b c a A b c bc bc +-=
=⇒+-=① 2
AB AC
AD +=
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2
2
2
294
AB AC AB AC AD ++==⋯⋯⋯⋯⋯⋯
22222cos 9364c b bc A
b c bc ++=⇒++=②
②-①得10bc =⋯⋯⋯⋯
11sin 1022ABC S bc A ∆==⨯=
方法三：（极化式）||||cos ()()945AB AC AB AC A AD DB AD DB ==+-=-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ∴5
||||10cos AB AC A
==⋯⋯⋯⋯
∴1||||sin 2ABC S AB AC A ∆=
= 20．n S 为数列{}n a 前n 项和，已知0n a >，2
243n
n n a a S +=+， （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和． 【解答】解：（1）0n a >，2
243n
n n a a S +=+， 2n …时，2
111243n n n a a S ---+=+，
相减可得：22
112(2)4n n n n n a a a a a --+-+=，
化为：11()(2)0n n n n a a a a --+--=，
0n a >，120n n a a -∴--=，即12n n a a --=，
又2111243a a a +=+，10a >，解得13a =． ∴数列{}n a 是等差数列，首项为3，公差为2．
32(1)21n a n n ∴=+-=+．
（2）111111()(21)(23)22123
n n n b a a n n n n +=
==-++++， ∴数列{}n b 的前n 项和1111111
[()()()]235572123n n =-+-+⋯+-++
111
()2323n =-+ 69
n
n =
+． 21．设函数2()[(41)43]x f x ax a x a e =-+++．
（1）若曲线()y f x =在点(3，f （3）)处的切线与y 轴垂直，求实数a 的值； （2）若()f x 在2x =处取得极大值，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）2()[(21)2](1)(2)x x f x ax a x e ax x e '=-++=--． 由题知f '（3）3(13)0a e =--=，∴1
3
a =
． （2）①0a =时，()f x 在(,2)-∞单增，(2,)+∞单减，()f x 在2x =处取得极大值，符合题意；
②0a <时，()f x 在1(,)a -∞单减，1
(,2)a
单增，(2,)+∞单减，()f x 在2x =处取得极大值，
符合题意； ③102a <<
时，12a >，()f x 在(,2)-∞单增，1(2,)a 单减，1
(,)a
+∞单增，()f x 在2x =处取得极大值，符合题意； ④1
2
a =时，()f x 在R 上单增，无极值，不符合题意； ⑤12a >
时，()f x 在1(,)a -∞单增，1
(,2)a
单减，(2,)+∞单增，()f x 在2x =处取得极小值，不符合题意；
综上所述，实数a 的取值范围为1(,)2
-∞．
22．已知函数2()1x f x x =
+，设数列{}n a 满足11
2
a =，1()n n a f a +=；()(1)g x ln x x =+-． （1）求函数()y g x =的最大值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：1231
2n a a a a e
⋯>
． 【解答】解：（1）函数()(1)g x ln x x =+-．1()111x
g x x x
'=
-=-
++，1x >-， 由()0g x '>得增区间为(1,0)-，由()0g x '<得减区间为(0,)+∞． 故()(0)0max g x g ==； （2）由2()1x f x x =
+得121n n n a a a +=+，两边取倒数后整理得1111
1(1)2n n
a a +-=-， 又
1111a -=，故数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是以1为首项，以1
2为公比的等比数列，
∴
111
12n n a --=，故1
1112n n a -=+． （3）12312n a a a a e ⋯>
等价于01211111
(1)(1)(1)(1)22222
n e -+++⋯+<． 即121111(1)(1)(1)222n e -+
+⋯+<，即证明：121
111
[(1)(1)(1)]1222n ln -++⋯+<，
即证：121
111
(1)(1)(1)1222n ln ln ln -+
+++⋯++<， 由（1）知(0,)x ∀∈+∞，(1)ln x x +<恒成立， 令12n x =
得，11(1)22n n
ln +<． 所以121211
1111111
(1)(1)(1)112222222n n n ln ln ln ---+
+++⋯++<++⋯+=-<． 故1231
2n a a a a e
⋯>
成立．。